matematica exercicios (139)

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18. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto 
\( (1, 2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (1, 1) \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( D_{\mathbf{v}}f(1, 2) = \frac{5}{\sqrt{2}} \). 
 
19. Problema: Calcule a integral tripla de \( \iiint_V (x + y + z) \, dV \), onde \( V \) é o sólido 
limitado pelo plano \( z = 0 \) e pelo plano \( z = 4 - x - y \). 
 Resposta: A integral tripla é \( \frac{32}{3} \). 
 
20. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y''' - y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = c_1e^x + c_2e^{-x}\cos(x) + c_3e^{-x}\sin(x) \). 
 
21. Problema: Resolva a inequação \( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \leq 0 \). 
 Resposta: A solução da inequação é \( x \in (-\ 
 
infty, 2] \cup (2, \infty) \). 
 
22. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = x \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{4} \). 
 
23. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica infinita \( \sum_{n=0}^\infty 
\frac{1}{2^n} \). 
 Resposta: A soma da série é \( 2 \). 
 
24. Problema: Encontre a solução da equação diferencial não homogênea \( y'' - y = 2x \). 
 Resposta: A solução da equação diferencial é \( y(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + x - 1 \). 
 
25. Problema: Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: A segunda derivada de \( f(x) \) é \( f''(x) = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
26. Problema: Resolva o sistema de equações diferenciais: 
 \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{cases} \]