Problemas de Matemática Avançada

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39. Problema: Determine os intervalos de monotonicidade da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 
2x + 1 \). 
 Resolução: Calcule a primeira derivada de \( f \) e identifique os intervalos onde ela é 
positiva (função crescente) e negativa (função decrescente). 
 
40. Proble 
 
ma: Encontre a solução particular da equação diferencial \( y'' + y = \sin(x) \) com 
condições iniciais \( y(0) = 0 \) e \( y'(0) = 1 \). 
 Resolução: Utilize o método da transformada de Laplace para resolver a equação 
diferencial. 
 
41. Problema: Calcule a integral tripla \( \iiint_V xyz \, dV \), onde \( V \) é o sólido 
delimitado pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e o plano \( z = 1 \). 
 Resolução: Utilize coordenadas cilíndricas para parametrizar o sólido \( V \) e então 
calcule a integral tripla. 
 
42. Problema: Determine a matriz de rotação em torno do eixo \( y \) por um ângulo de \( 
\frac{\pi}{3} \) radianos. 
 Resolução: Utilize as propriedades das matrizes de rotação para encontrar a matriz 
desejada. 
 
43. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' - 2y = \sin(x) \). 
 Resolução: Utilize o método dos fatores integrantes para resolver a equação diferencial 
linear de primeira ordem. 
 
44. Problema: Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é a 
interseção do cilindro \( x^2 + y^2 = 4 \) com o plano \( z = 3 \), percorrido no sentido anti-
horário. 
 Resolução: Parametrize a curva \( C \) e então utilize a definição de integral de linha para 
calcular a integral. 
 
45. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais o sistema de equações 
lineares não tem solução: 
 \[ 
 \begin{cases}