Matematica ensino medio-1133

Prévia do material em texto

84. Problema: Encontre a solução particular da equação diferencial \( y'' - 4y = 2e^{2x} \) 
com condições iniciais \( y(0) = 0 \) e \( y'(0) = 1 \). 
 Resolução: Utilize o método da transformada de Laplace para resolver a equação 
diferencial. 
 
85. Problema: Calcule a integral tripla \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( V \) é o 
sólido delimitado pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e o plano \( z = 1 \). 
 Resolução: Utilize coordenadas cilíndricas para parametrizar o sólido \( V \) e então 
calcule a integral tripla. 
 
86. Problema: Determine a matriz de rotação em torno do eixo \( z \) por um ângulo de \( 
\frac{\pi}{2} \) radianos. 
 Resolução: Utilize as propriedades das matrizes de rotação para encontrar a matriz 
desejada. 
 
87. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' - 2y = e^x \). 
 Resolução: Utilize o método dos fatores integrantes para resolver a equação diferencial 
linear de primeira ordem. 
 
88. Problema: Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o círculo 
\( x^2 + y^2 = 4 \) percorrido no sentido horário. 
 Resolução: Parametrize a curva \( C \) e então utilize a definição de integral de linha para 
calcular a integral. 
 
89. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais o sistema de equações 
lineares tem uma única solução: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x - y = 1 \\ 
 4x - ky = 2 
 \end{cases} 
 \] 
 Resolução: Utilize critérios de existência e unicidade de soluções de sistemas lineares 
para encontrar os valores de \( k \).