Matematica ensino medio-1146

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81. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 
3x^2 + 2x \). 
 Resposta: Os pontos de máximo e mínimo local ocorrem onde \( f'(x) = 0 \) e \( f''(x) \) 
muda de sinal. Após calcular, os pontos são \( (0, 0) \) e \( (2, 0) \), respectivamente. 
 
82. Problema: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: Utilizando o método dos discos cilíndricos, o volume é \( \frac{56}{15} \pi \). 
 
83. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = Ce^{-x} - \cos(x) + 1 \), onde \( C \) é uma constante. 
 
84. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \). 
 Resposta: Este é um limite do tipo "infinito sobre infinito", então podemos usar a regra 
de L'Hôpital para obter \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} 
= \infty \). 
 
85. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} - \sin(x) - \cos(x) \), onde \( C_1 \) 
e \( C_2 \) são constantes. 
 
86. Problema: Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(\cos(x)) \) de \( x = 0 \) a \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: O comprimento é dado pela integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + 
\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2} \, dx \). 
 
87. Problema: Determine os intervalos de concavidade para a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 
2x \). 
 Resposta: A concavidade muda nos pontos onde a segunda derivada se anula. Após 
calcular, os intervalos são \( (-\infty, 1) \) e \( (2, \infty) \). 
 
88. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: Utilizando a regra de L'Hôpital ou a expansão em série de Taylor de \( \tan(x) 
\), o limite é \( \frac{1}{3} \).