Matematica ensino medio-1147

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89. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 
2) \). 
 Resposta: A reta tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). 
 
90. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \). 
 Resposta: A solução particular é \( y_p(x) = -\frac{1}{2}e^{-x} \), então a solução geral é a 
soma da solução homogênea mais a particular. 
 
91. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada 
pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( y \) em torno da linha \( y = 1 \). 
 Resposta: Utilizando o método dos discos cilíndricos, o volume é \( \pi(e^2 - 1) \). 
 
92. Problema: Calcule a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^2} \). 
 Resposta: A soma da série é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
93. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \sqrt{\ln(x)} \). 
 Resposta: O domínio é \( (0, \infty) \). 
 
94. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2 \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{2x + 4} \). 
 
95. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \( 3x - y = 2 \) 
 \( x + 2y = 5 \) 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \) e \( y = 7 \). 
 
96. Problema: Calcule a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y = 
\sqrt{x} \) e \( y = e^x \). 
 Resposta: A área é \( \int_{0}^{1} (e^x - \sqrt{x}) \, dx \), resultando em \( e - \frac{2}{3} \).