Problemas de Matemática

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1}\). 
 Resposta: A inversa de \(f(x)\) é \(f^{-1}(x) = \frac{x}{2x + 1}\). Explicação: Trocamos \(x\) 
por \(y\) e resolvemos para \(y\). 
 
50. Problema: Calcule o produto vetorial dos vetores \(u = (1, 2, -1)\) e \(v = (3, -1, 4)\). 
 Resposta: O produto vetorial é \((-9, -7, -5)\). Explicação: O produto vetorial de dois 
vetores é um vetor perpendicular a ambos, cujo comprimento é dado pelo produto das 
magnitudes dos vetores originais pelo seno do ângulo entre eles. 
 
51. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x + y - z = 5 \\ 
 x - y + z = 3 \\ 
 3x - 2y + 2z = 8 
 \end{cases} 
 \] 
 Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 0\). Explicação: Podemos resolver este sistema usando 
eliminação Gaussiana ou substituição. 
 
52. Problema: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \(y = e^x\) no ponto \(x = 
0\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \(y = x + 1\). Explicação: Usamos a derivada de 
\(y = e^x\) para encontrar a inclinação da reta tangente e então usamos o ponto dado para 
encontrar a equação da reta. 
 
53. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pela curva \(y 
= \ln(x)\), o eixo \(x\) e as linhas \(x = 1\) e \(x = 3\). 
 Resposta: A área é \(2 - \ln(3)\). Explicação: Usamos integração definida para encontrar 
a área sob a curva \(y = \ln(x)\) entre \(x = 1\) e \(x = 3\). 
 
54. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(\frac{2x}{1 + x^4}\). Explicação: Usamos a regra da 
cadeia e a derivada da tangente inversa.