Problemas de Matemática

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18. Problema: Resolva a integral tripla \( \iiint_V xyz \, dV \), onde \( V \) é o sólido 
delimitado pelos planos \( z = 0 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( x + y + z = 1 \). 
 Resposta: \( \frac{1}{24} \). 
 Explicação: Para calcular a integral tripla, utilizamos coordenadas cartesianas e 
integramos em relação a \( x \), \( y \) e \( z \) nos limites apropriados. 
 
19. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 
& 2 \\ 2 & k \end{pmatrix} \) é diagonalizável. 
 Resposta: A matriz é diagonalizável se \( k \) não pertencer ao conjunto \( \{ -1, 5 \} \). 
 Explicação: Uma matriz é diagonalizável se ela possuir \( n \) autovetores linearmente 
independentes, onde \( n \) é a ordem da matriz. 
 
20. Problema: Resolva a equação diferencial não homogênea \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^x + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea, 
que pode ser resolvida utilizando o método dos coeficientes a serem determinados. 
 
21. Problema: Calcule a soma dos termos da série alternada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n^2} \). 
 Resposta: \( \frac{\pi^2}{12} \). 
 Explicação: Esta é uma série convergente, para a qual podemos utilizar a expansão em 
série de Taylor da função \( \ln(1+x) \) e substituir \( x = -1 \). 
 
22. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) entre \( x = 0 
\) e \( x = \pi \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades de área. 
 Explicação: Para encontrar a área sob uma curva, calculamos a integral da função no 
intervalo dado. 
 
23. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^a} \) converge. 
 Resposta: A série converge se \( a > 1 \) e diverge para \( a \leq 1 \). 
 Explicação: Podemos determinar o intervalo de convergência utilizando o teste da 
integral ou o teste da comparação.