Problemas de Matemática Avançada

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Resposta: \( x = 1, \, y = 0, \, z = 0 \). Explicação: Usando métodos de álgebra linear, como 
eliminação de Gauss. 
 
8. Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 Resposta: 2. Explicação: Aplicando a regra de L'Hôpital ou expandindo \( \sin(2x) \) em 
série de Taylor. 
 
9. Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e os eixos \( x \) e \( y \). 
 Resposta: 2 unidades quadradas. Explicação: Usando integração para encontrar a área 
sob a curva. 
 
10. Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 Resposta: Máximo em \( (0,0) \), mínimo em \( (2,-2) \). Explicação: Encontrando os 
pontos críticos e aplicando o teste da derivada segunda. 
 
11. Encontre a solução particular da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-2x} \) com 
condição inicial \( y(0) = 1 \). 
 Resposta: \( y(x) = e^{-2x} - e^{-x} + 1 \). Explicação: Usando o método da variação dos 
parâmetros. 
 
12. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{n!x^n}{n^n} \). 
 Resposta: \( R = e \). Explicação: Usando o teste da razão para séries de potências. 
 
13. Calcule a integral dupla \( \iint_D (x + y) \, dA \), onde \( D \) é a região delimitada por \( 
y = x^2 \) e \( y = 2x \). 
 Resposta: \( \frac{19}{6} \). Explicação: Integrando a função sobre a região \( D \) usando 
coordenadas cartesianas. 
 
14. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) - \frac{1}{10} \sin(2x) \). Explicação: Usando 
o método da superposição para resolver a equação não homogênea. 
 
15. Determine a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x,y) = e^{xy} \) em relação a \( x 
\) e \( y \).