Problemas de Cálculo e Álgebra

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30. Problema: Calcule a integral \( \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \), onde \( R \) é a região 
delimitada pelo círculo \( x^2 + y^2 = 1 \). 
 Resposta: A integral é \( \pi \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas polares para avaliar a integral dupla sobre a região 
\( R \). 
 
31. Problema: Encontre a derivada parcial de segunda ordem \( \frac{\partial^2 f}{\partial x 
\partial y} \) da função \( f(x, y) = 3x^2y - 2xy + 5 \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6y - 2 \). 
 Explicação: Calculamos as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e, em seguida, 
a derivada parcial de segunda ordem. 
 
32. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^2 
\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades de área. 
 Explicação: Calculamos a área da região entre as curvas encontrando os pontos de 
interseção e integrando a diferença das funções. 
 
33. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = \sin(x) \). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{5}\sin(x) - \frac{1}{5}\cos(x) \), onde \( C_1 \) 
e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
34. Problema: Determine a matriz de transformação \( T \) que projeta vetores em \( 
\mathbb{R}^3 \) sobre o plano \( x - y + z = 0 \). 
 Resposta: A matriz de transformação é \( T = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 
& 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da matriz de transformação para encontrar a matriz \( 
T \). 
 
35. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = \sin(x) \). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + \frac{1}{5}\sin(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.