Cálculos Matemáticos Variados

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Aplicando a regra da substituição, obtemos \( -\frac{1}{x + 2} + C \). 
 
17. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + 4} \). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^2 \), o limite se reduz a \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^2}} \). Assim, o limite é \( \frac{3}{5} \). 
 
18. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int e^x \sin(x) \, dx \). 
 Resolução: Usando integração por partes, temos \( \int e^x \sin(x) \, dx = e^x \sin(x) - \int 
e^x \cos(x) \, dx \). Aplicando integração por partes novamente, obtemos \( \frac{1}{2}e^x 
(\sin(x) - \cos(x)) + C \). 
 
19. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \). 
 Resolução: A área é dada pela integral da diferença entre as duas funções. Calculando 
\( \int_{0}^{1} (x - \sqrt{x}) \, dx \), obtemos \( \frac{1}{6} \). 
 
20. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto \( 
(2, \frac{1}{2}) \). 
 Resolução: Calculando a derivada da função em \( x = 2 \), que é \( y' = -\frac{1}{x^2} \), e 
então a equação da reta tangente é \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). 
 
21. Problema: Resolva a equação diferencial \( xy' + y = x^2 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Multiplicando 
ambos os lados por \( e^{x} \), obtemos \( (xy)' = x^2e^{x} \). Integrando ambos os lados, 
obtemos \( xy = (x^2 - 2x + 2)e^{x} + C \), onde \( C \) é uma constante arbitraria. 
 
22. Problema: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = e^{xy} \) em relação a \( y \). 
 Resolução: A derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( y \) é \( \frac{\partial f}{\partial 
y} = xe^{xy} \). 
 
23. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resolução: Usando a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), 
podemos reescrever a integral como \( \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) \, dx \). Após 
integrar, obtemos \( \frac{\pi}{2} \).