Exericico fixação-163

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2} \). 
 
32. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{4 - x^2} \) e pelo 
eixo \( x \). 
 Resolução: A área é dada pela integral definida \( \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx \), que é 
igual a \( 4\pi \). 
 
33. Problema: Determine a equação da reta normal à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{2}, 0) \). 
 Resolução: Calculando a derivada da função em \( x = \frac{\pi}{2} \), que é \( y' = -
\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 \), a equação da reta normal é \( y = -x \). 
 
34. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \tan(x) \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo não 
homogêneo. A solução geral é \( y = Ce^{-x} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), onde \( C \) é uma 
constante arbitraria. 
 
35. Problema: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2y + \ln(y) \) em relação a \( x \). 
 Resolução: A derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) é \( \frac{\partial f}{\partial 
x} = 2xy \). 
 
36. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \). 
 Resolução: Fazendo a substituição \( u = \tan(x) \), a integral torna-se \( \int_{0}^{1} 
\frac{1}{u} \, du \), que diverge. 
 
37. Problema: Determine o ponto de mínimo global da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resolução: Para encontrar o ponto de mínimo global, encontramos os zeros da derivada 
primeira. Como \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \), o ponto de mínimo ocorre em \( x = 2 \), e o 
mínimo global é \( f(2) = 1 \). 
 
38. Problema: Resolva a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \). 
 Resolução: Podemos decompor a fração em frações parciais, resultando em \( \int 
\frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} \, dx \). Após integrar, obtemos \( \frac{1}{2}\ln|x - 1| - 
\frac{1}{2}\ln|x + 1| + C \).