Exericico fixação-164

Prévia do material em texto

39. Problema: Encontre a área da região limitada pela curva \( y = x^3 \) e pelo eixo \( x \) 
de \( x = 0 \) a \( x = 2 \). 
 Resolução: A área é dada pela integral definida \( \int_{0}^{2} x^3 \, dx \), que é igual a \( 
4 \). 
 
40. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) 
\). 
 Resolução: Calculando a derivada da função em \( x = 0 \), que é \( y' = e^0 = 1 \), a 
equação da reta tangente é \( y = x + 1 \). 
 
41. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \), onde \( C_1 \) 
e \( C_2 \) são constantes arbitrarias. 
 
42. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \( y = x^3 + 3x^2 + 3x \). 
 Resolução: Calculando a segunda derivada e igualando-a a zero, obtemos os pontos de 
inflexão em \( x = -1 \) e \( x = -2 \). 
 
43. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 Resolução: Podemos reescrever o denominador como \( (x + 1)^2 \), e então a integral 
torna-se \( \int \frac{1}{(x + 1)^2} \, dx \). Após integrar, obtemos \( -\frac{1}{x + 1} + C \). 
 
44. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + x^2 - 3}{3x^3 - 2x + 5} \). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), o limite se reduz a \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^3}}{3 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^3}} \). Assim, o limite é \( 
\frac{2}{3} \). 
 
45. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e pelo eixo \( x 
\) de \( x = 1 \) a \( x = e \). 
 Resolução: A área é dada pela integral definida \( \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \), que é igual a \( 
e - 1 \). 
 
46. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 
2) \).