JAGN - Avaliação Final - Cálculo Diferencial e Integral II

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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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Prova 83264014
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
A compreensão das derivadas parciais desempenha um papel crucial na análise de funções de várias 
variáveis. Ao calcular as derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis independentes, 
podemos determinar a taxa de variação da função em direções específicas do espaço 
multidimensional.
Dessa forma, sobre a função f(x, y) = 2x²y – xy, analise as sentenças a seguir:
É correto o que se afirma em:
A II, III e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C I e II, apenas.
D II e III, apenas.
E I, III e IV, apenas.
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30/05/2024, 05:36 Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura 
tridimensional conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, 
transforma a região plana em um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da 
qual a região gira é denominada eixo de rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo 
integral, pois permite calcular volumes de sólidos complexos através da integração de funções que 
descrevem as regiões planas envolvidas.
Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, limitado 
pela curva y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 5, selecione a alternativa correta que apresenta 
esse resultado:
A V = 125π u.v.
B V = 5π u.v.
C V = 25π u.v.
D V = 125π/3 u.v.
E V = 625π u.v.
O domínio de uma função de duas variáveis desempenha um papel crucial na análise de seu 
comportamento em um espaço bidimensional. Compreender os limites e as restrições das variáveis 
independentes é essencial para determinar os pontos onde a função está definida e onde ela pode ser 
avaliada. Para analisar esse importante conceito nas funções, devemos nos ater às restrições que 
envolvem sua estrutura. Veja a função a seguir:
Assinale a alternativa que apresenta o domínio correto desta função:
A Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≤ 2x e x ≠ 5}
B Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≥ -2x e x > -5}
C Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y < -2x e x ≠ 5}
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D Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y > 2x e x ≠ 5}
E Dom(f) ={(x, y) ∈ R; y ≤ 2x e x > -5}
Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é 
crucial escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características 
específicas da região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por 
curvas que se intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então 
dar continuidade no processo de cálculo.
Sendo assim, determine entre as opões a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do 
eixo y, limitado pelas curvas y = x2, y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1:
A V = 35π/6 u.v.
B V = 3π/2 u.v.
C V = 2π u.v.
D V = 4π/3 u.v.
E V = 12π/5 u.v.
No estudo do cálculo integral, destaca-se o método de integração por partes, derivado do princípio da 
derivação do produto de funções. Este método, em suma, envolve a transformação da integração de 
uma função complexa em duas ou mais integrais mais simples, tornando mais acessível o processo de 
resolução.
Sendo a integral
analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução dessa integral pelo método 
de integração por partes:
I. Devemos assumir inicialmente u = x².
II. Necessitaremos utilizar por três vezes o método para resolver a integral.
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III. Na segunda vez que aplicamos o método, devemos utilizar o dv = e2x dx.
IV. A integral de e2x, deve ser resolvido pelo método da substituição.
É correto o que se afirma em:
A II e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C II e III, apenas.
D I, III e IV, apenas.
E I e II, apenas.
As funções homogêneas são aquelas que possuem uma propriedade especial, na qual a alteração 
simultânea das variáveis independentes e dependentes resulta em uma transformação proporcional, 
mantendo a forma geral da função, ou seja, uma função que satisfaz a relação f(λx, λy) = λk · f(x, y).
Considerando a função f(x, y) = x² + 3xy – 4y², avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas:
I. A função f é uma função homogênea de grau 2.
PORQUE
II. Testando a definição apresentada, podemos verificar que f(λx, λy) = λ2 · f(x, y).
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A As asserções I e II são falsas.
B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, 
exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a 
operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em 
achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.
Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todo x e 
com f(1) = 2:
I. f(x) = 6x² - 6
II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2
III. f(x) = x³ - 6x² + 2x
IV. f(x) = 3x² - 2x - 3
É correto apenas o que se afirma em
A II, apenas.
B I e II, apenas.
C II e III, apenas.
D II e IV, apenas.
E I, apenas.
Considerando uma chapa de aço em forma de retângulo com dimensões de 10 por 12 centímetros, 
conforme ilustrado no plano cartesiano a seguir:
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A temperatura medida em graus Celsius varia ao longo de toda a extensão da chapa, seguindo a 
função f(x, y) = 2xy - y² + x + 100, onde x e y, são as coordenadas da placa, conforme ilustrado. 
Portanto, assinale a alternativa que apresenta a temperatura da chapa no ponto P da ilustração:
A 122 °C.
B 116 °C.
C 118 °C.
D 112 °C.
E 124 °C.
O cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma ampla gama de disciplinas, desde a 
física e a engenharia até a economia e as ciências naturais. Sua versatilidade e poder analítico 
permitem modelar e resolver problemas complexos que envolvem taxas de variação e acumulação 
contínua. Ele abrange dois aspectos principais: as integrais definidas e as indefinidas.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I. Uma integral definida tem limites de integração, enquanto uma integral indefinida não os tem.
II. A integral indefinida, tem como princípio, encontrar uma função cuja derivada seja igual à função 
original.
III. Um indicador que podemos usar para definir se a integral é definida ou indefinida, é o diferencial 
de integração, presente no final da integral. 
IV. As integrais indefinidas, resultam em uma família de funções cuja derivada é igual à função 
original.
É correto o que se afirma em:
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A II e III, apenas.
B II, III e IV, apenas.
C I e III, apenas.
D I, II, III e IV.
E I, II e IV, apenas.
O comprimento de arco de uma curva é calculado utilizando integrais, uma ferramenta poderosa da 
análise matemática. Ao dividir a curva em segmentos infinitesimais e somar suas contribuições, 
podemos obter uma estimativa precisa do comprimento total. Esse processo é fundamental em várias 
áreas, como geometria diferencial e física, onde o movimento de partículas é descrito por trajetórias 
curvilíneas.
Sendo assim, assinale entre as opções, aquela que apresentao comprimento do arco da curva para y = 
3x - 1, com 2 ≤ x ≤ 7.
Utilize
A 2√5.
B 5√4.
C 5√10.
D 7√4.
E 7√10.
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