Aula_01_-_Tenso

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Introdução ao estudo das tensões
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
CENTRO DE TECNOLOGIA
Prof.(a): Yngrid Rayane Freitas do Nascimento
CIV0411 - Resistência dos Materiais I
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
• O sistema de forças e momentos de binário que atuam sobre 
um corpo pode ser reduzido a uma força resultante e um 
momento de binário resultante equivalentes.
• Se essas resultantes de força e de momento de binário são 
iguais a zero, então dizemos que o corpo está em 
equilíbrio.
𝑭𝑹 = ෍ 𝑭 = 𝟎
𝑴𝑹𝑶
= ෍ 𝑴𝑶 = 𝟎
Condições necessárias 
e suficientes
Equilíbrio e cargas resultantes internas
Equilíbrio e cargas resultantes internas
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Corpo em equilíbrio Cargas resultantes internas
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Força normal (N): Essa força age perpendicularmente à área e se desenvolve sempre que as 
cargas externas tendem a “empurrar” ou “puxar” os dois segmentos do corpo.
Momento de torção ou torque (T): Esse efeito é 
desenvolvido quando as cargas externas tendem a 
torcer um segmento do corpo com relação ao outro.
Momento fletor (M): O momento fletor é causado 
pelas cargas externas que tendem a fletir o corpo em 
torno de um eixo que se encontra no plano da área.
Força de cisalhamento (V): A força de 
cisalhamento encontra-se no plano da área e é 
desenvolvida quando as cargas externas tendem a 
provocar o deslizamento de um dos segmentos do 
corpo sobre o outro.
Equilíbrio e cargas resultantes internas
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Equilíbrio e cargas resultantes internas
Cargas coplanares
Força Normal Força de Cisalhamento Momento fletor
Método das seções
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑜 = 0
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Equilíbrio e cargas resultantes internas
Exemplo 1. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em 
C da viga mostrada na figura abaixo.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Equilíbrio e cargas resultantes internas
Diagrama de corpo livre do 
segmento AC
Diagrama de corpo livre do 
segmento CB
Exemplo 1. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em 
C da viga mostrada na figura abaixo.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão
Material de coeso e 
contínuo
Tensão normal: A intensidade da força, ou força 
por unidade de área, que age perpendicularmente à 
ΔA, é definida como tensão normal
Tensão de cisalhamento: A intensidade da força, 
ou força por unidade de área, que age tangente a 
ΔA, é denominada tensão de cisalhamento
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão
Estado geral de 
tensões
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Distribuição da tensão normal média
A intensidade da resultante das forças internas distribuídas é
Mas as condições de equilíbrio exigem que essa intensidade 
seja igual à intensidade P das cargas concentradas.
σ: tensão normal média em qualquer ponto na área da seção 
transversal
P: força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da 
área da seção transversal. P é determinada pelo método das 
seções e pelas equações de equilíbrio
A: área da seção transversal da barra
Tensão média:
+↑ 𝐹𝑅𝑧
= ∑𝐹𝑧 → න 𝑑𝐹 = න
𝐴
𝜎𝑑𝐴
𝑃 = න 𝑑𝐹 = න
𝐴
𝜎𝑑𝐴 → 𝑃 = 𝜎 𝐴
𝜎 =
P
A
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Estado uniaxial de tensões
As duas componentes da tensão normal no 
elemento devem ter valores iguais, mas 
direções opostas
∑𝐹𝑧 = 0 → 𝜎 ∆𝐴 − 𝜎′ ∆𝐴 = 0
𝜎 = 𝜎′
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
1. A barra deve ser prismática, 
permanecendo reta antes e depois da 
aplicação da carga; 
2. Para que a barra sofra deformação 
uniforme é necessário que P seja 
aplicada ao longo do eixo do centroide 
da seção transversal;
3. O material seja homogêneo e isotrópico.
4. Não consideraremos aqui as regiões da 
barra próximas às suas extremidades – 
ocorrem distorções localizadas.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Distribuição de tensão nas regiões próximas à aplicação do carregamento
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Tensão normal média máxima
A tensão normal média não varia dentro da seção transversal;
Mas pode variar ao longo do elemento (barra prismática), quando a força 
normal interna varia ao longo do eixo longitudinal;
Nesse caso, é possível determinar um valor de Tensão normal média 
máxima;
Para este fim, é comum traçar o diagrama de força normal ou axial.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Exemplo 2. A barra na figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga 
mostrada.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Exemplo 2. A barra na figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga 
mostrada.
Determinação das forças resultantes 
internas:
Trecho AB
Trecho BC
Trecho CD
Diagrama de Força Normal
Maior carga
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Exemplo 3. A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a 
figura. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão 
normal média em cada haste.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Exemplo 3. A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a 
Figura. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a 
tensão normal média em cada haste.
Determinação da força axial em cada 
haste:
Tensão normal média:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Se considerarmos apoios rígidos e F 
suficientemente grande, o material da 
barra irá deformar-se e falhar ao longo dos 
planos identificados por AB e CD.
A tensão de cisalhamento média 
distribuída sobre cada área secionada 
que desenvolve essa força de 
cisalhamento é definida por:
𝜏𝑚é𝑑 : tensão de cisalhamento média na seção, que 
consideramos ser a mesma em cada ponto localizado na 
seção 
V: força de cisalhamento interna resultante na seção 
determinada pelas equações de equilíbrio
A: área na seção
𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
A
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
As tensões de cisalhamento são encontradas comumente em parafusos, pinos e rebites 
utilizados para conectar vários elementos estruturais e elementos de máquinas
É importante ressaltar que esta fórmula para tensão média é uma aproximação.
As normas de engenharia permitem sua utilização para o cálculo das dimensões de 
elementos de fixação como parafusos e para obtenção da resistência de fixação.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Cisalhamento simples
Por consequência, para equilíbrio, a área da seção transversal do parafuso e a superfície 
de fixação entre os elementos de madeira estão sujeitas somente a uma única força de 
cisalhamento simples V =F.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Cisalhamento duplo
▪ Esses tipos de acoplamentos são 
normalmente denominados juntas de 
dupla superposição;
▪ Duas superfície de cisalhamento;
▪ Deve-se considerar 𝑉 = 𝐹/2 na 
determinação da tensão de 
cisalhamento média.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Considere um elemento de volume de 
material tomado em um ponto localizado 
na superfície de qualquer área secionada 
na qual age uma tensão de cisalhamentomédia:
Propriedade complementar do 
cisalhamento
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 4. A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma 
carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 4. A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma 
carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd.
Escora:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 4. A escora de madeira mostrada na figura está suspensa por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma 
carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao 
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd.
Haste:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 5. O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 5. O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB.
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐴𝐵 − 3000
3
5
= 0
𝐹𝐴𝐵 = 1800 𝑁
𝐹𝐵𝐶 − 3000
4
5
= 0
𝐹𝐵𝐶 = 2400 𝑁
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Exemplo 5. O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB.
∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐴𝐵 − 3000
3
5
= 0
𝐹𝐴𝐵 = 1800 𝑁
𝐹𝐵𝐶 − 3000
4
5
= 0
𝐹𝐵𝐶 = 2400 𝑁
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Tensões normais médias:
Exemplo 5. O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão média de cisalhamento
Tensão de cisalhamento média:
Exemplo 5. O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB.
∑𝐹𝑥 = 0 → 𝑉 = 1800 𝑁
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão admissível e Fator de segurança
Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a 
carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar 
totalmente. 
Um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um 
elemento é o uso de um número denominado fator de segurança (FS)
𝐹𝑟𝑢𝑝: Carga de ruptura, determinado por meio de ensaios experimentais.
𝐹𝑎𝑑𝑚: Carga admissível (Valor utilizado no projeto).
𝐹𝑆 > 1
Escrevendo em termos de tensão:
𝐹𝑆 =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐹𝑆 =
𝜏𝑟𝑢𝑝
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝐹𝑆 =
𝐹𝑟𝑢𝑝
𝐹𝑎𝑑𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão admissível e Fator de segurança
Se um elemento estiver submetido a uma força normal em uma seção, a área de seção 
exigida é determinada por:
𝐴𝑚í𝑛 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Tensão admissível e Fator de segurança
Se, por outro lado, estivermos tratando de tensão de cisalhamento:
𝐴𝑚í𝑛 =
𝑉
𝜏𝑎𝑑𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial
Qual comprimento deve estar “cravado” para que as 
tensões cisalhantes desenvolvidas sejam suficientes 
para resistir à carga axial?
𝐴𝑚í𝑛 =
𝑉
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑙𝑚í𝑛 (𝜋𝑑) =
𝑉
𝜏𝑎𝑑𝑚
𝑙𝑚í𝑛 =
𝑉
𝜏𝑎𝑑𝑚𝜋𝑑
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial
Exemplo 6. Os dois elementos estão interligados por pinos em B como mostra a figura, que 
também apresenta vistas de cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão admissível de 
cisalhamento para os pinos for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 MPa e a tensão de tração admissível para a haste CB 
for 𝜎𝑡 𝑎𝑑𝑚 = 115 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro dos pinos A 
e B e o diâmetro de haste CB necessários para suportar a carga.
Cisalhamento 
duplo
Cisalhamento 
simples
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial
Exemplo 6. Os dois elementos estão interligados por pinos em B como mostra a figura, que 
também apresenta vistas de cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão admissível de 
cisalhamento para os pinos for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 MPa e a tensão de tração admissível para a haste CB 
for 𝜎𝑡 𝑎𝑑𝑚 = 115 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro dos pinos A 
e B e o diâmetro de haste CB necessários para suportar a carga.
Pino em A:
Pino em B:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial
Exemplo 6. Os dois elementos estão interligados por pinos em B como mostra a figura, que 
também apresenta vistas de cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão admissível de 
cisalhamento para os pinos for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 MPa e a tensão de tração admissível para a haste CB 
for 𝜎𝑡 𝑎𝑑𝑚 = 115 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro dos pinos A 
e B e o diâmetro de haste CB necessários para suportar a carga.
Diâmetro da haste:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 5 ed. Porto Alegre: AMGH, 
2011;
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2010.
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 14 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil. 2017;
Yngrid Rayane Freitas do Nascimento
yngrid.rayane.eng@gmail.com
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