QUIZ 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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EPRCAS1DA_2401-2401-701905 2401-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Quiz
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Usuário JESSICA GOMES DOS SANTOS FERREIRA
Curso 2401-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Teste Clique aqui para iniciar o Quiz
Iniciado 15/06/24 16:54
Enviado 15/06/24 17:32
Data de vencimento 19/06/24 23:59
Status Completada
Resultado da tentativa 9 em 10 pontos  
Tempo decorrido 37 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Funções definidas por partes apresentam mais de uma expressão algébrica para
representar a dependência da variável dentro do intervalo de domínio da função.
Considere o gráfico da função g(x) apresentado abaixo:
Analisando-se o gráfico da função g(x), podemos concluir que:
Resposta
Selecionada:
b. 
lim
x →1 +
g (x ) = g ( 1) = 3
Sala de Aula Tutoriais
1 em 1 pontos
JESSICA GOMES DOS SANTOS FERREIRA
1
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Respostas:
a. 
lim
x →1 +
g (x ) = g ( 1) = 1
b. 
lim
x →1 +
g (x ) = g ( 1) = 3
c.
lim
x →1 +
g (x ) = 1, mas a função g não está definida para x= 1.
d.
lim
x →1 +
g (x ) = 3, mas a função g não está definida para x= 1.
e. 
lim
x →1 +
g (x ) = 1 não existe.
Comentário
da resposta:
Justificativa: A função g(1) não é contínua em x=1, pois os
limites laterais são diferentes para este valor de x. A função é
definida em x=1 e assume o valor 3, que é igual ao limite lateral
desta função quando x se aproxima de 1 pela direita (valores de
x maiores que 3).
Pergunta 2
Limites e derivadas são ferramentas matemáticas importantes no estudo do
comportamento de funções. Por exemplo, estimativas de valores de custo e lucro
em empresas considerando-se longos períodos, para avaliar se haverá
estabilização, crescimento ou decrescimento, ou a determinação de valores
máximo e mínimos em intervalos específicos, podem ser realizadas com a
adequada utilização de limites e derivadas.
Com relação ao cálculo de limites e derivadas, considere as seguintes afirmações:
I. O lim
x →1
x 2− 1
x − 1
é igual a 1
II . Se f (x ) = x + x 2, então f ' (x ) =
1
2 x
+ 2x
III. Se f (x ) = (cosx ) 2, então f ' (x ) = − 2( senx ) (cosx )
Está correto o que se afirma em:
Resposta Selecionada: d. II e III, apenas.
Respostas: a. I , apenas.
b. II, apenas. 
c. III, apenas.
1 em 1 pontos
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d. II e III, apenas.
e. I e III apenas.
Comentário
da resposta:
Justificativa: Na afirmativa I, o limite da função racional existe e
pode ser obtido dividindo o numerador e denominador por x-1,
removendo-se a descontinuidade e calculando-se o limite por
substituição direta, obtendo-se um valor diferente do apresentado,
ou seja, esta afirmação não é verdadeira. Na afirmativa II, a função
é constituída pela soma de duas funções potência, portanto a
derivada da soma é igual a soma das derivadas. Na afirmativa III,
temos uma função composta, logo a derivada desta função deve
ser calculada utilizando-se a regra da cadeia, observando-se
também que se f(x)=cos(x) temos que f’(x)= -sen(x).
Pergunta 3
O termo depreciação é utilizado para denominar processos de desvalorização de
bens e produtos. Por exemplo, carros tem seu preço reduzido quando modelos
mais atuais e com mais recursos são lançados ou quando o carro já possui um
determinado tempo de uso.
Um analista de uma revendedora de carros usados estima que o valor de venda,
em reais, de um determinado modelo de automóvel seja dado pela função
p(x)=98000.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1 −
x −2
2 (x −4)
, onde x representa o tempo em anos de uso deste
automóvel. Qual será o valor deste automóvel após quatro anos de uso? 
Resposta Selecionada: c. R$85.750,00
Respostas: a. R$12.250,00
b. R$94.500,00
c. R$85.750,00
d. R$59.500,00
e. R$77.000,00
Comentário da
resposta:
Considere uma função h(x)=k[1-m.f(x)], sendo k e m duas
constantes reais e f(x) uma função em x. Então, pelas
propriedades dos limites, temos:
lim
x →a
h (x ) = lim
x →a
k[1 − m · f (x ) ]=k
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1 − m · ⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
lim
x →a
f (x )
Para a função f(x) dada, que envolve termos com raiz quadrada
e indeterminação do tipo 0/0, é possível multiplicar e dividir f(x)
pelo conjugado do termo da raiz, removendo-se a
indeterminação e permitindo-se o cálculo do limite.
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lim
x →a
x − a
x − a
= lim
x →a
x − a
x − a
·
x + a
x + a
= lim
x →a
( )x 2− ( )a 2
(x − a) ( )x + a
= lim
x →a
x − a
(x − a) ( )x + a
= lim
x →a
1
x + a
=
1
a + a
=
1
2 a
Pergunta 4
A utilização de gráfico para representar funções permite obter mais facilidade
algumas informações sobre a função. Este recurso é muito útil na identificação de
descontinuidades da função, bem como na determinação de limites.
Observe o gráfico da função f(x) abaixo:
Considere as afirmações sobre o f(x) indicadas a seguir:
I. lim
x →1 +
f (x ) = −
1
2
II . lim
x→2 +
f ( x) = + ∞
III. lim
x→1 −
f ( x) = − ∞
IV. lim
x→0 +
f ( x) = 1
Está correto o que se afirma em:
Resposta Selecionada: d. I e III, apenas.
Respostas: a. I e II, apenas.
b. II e III, apenas. 
c. III e IV, apenas.
d. I e III, apenas.
e. I e IV, apenas.
Comentário
da resposta:
Justificativa: Na determinação de limites laterais graficamente,
deve-se observar em qual lado do ponto será feita a aproximação.
1 em 1 pontos
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Para se obter o limite de uma função f(x) quando x tende a um
valor c pela direita, deve-se aproximar-se de x=c utilizando valores
de x maiores que c (ou seja, à direita de x=c). Para se obter o
limite de uma função f(x) quando x tende a um valor c pela
esquerda, deve-se aproximar-se de x=c utilizando valores de x
menores que c (ou seja, à esquerda de x=c).
Pergunta 5
O termo depreciação é utilizado para denominar processos de desvalorização de
bens e produtos. Por exemplo, carros tem seu preço reduzido quando modelos
mais atuais e com mais recursos são lançados ou quando o carro já possui um
determinado tempo de uso.
Um analista de uma revendedora de carros usados estima que o valor de venda,
em reais, de um determinado modelo de automóvel seja dado pela função
p(x)=88000.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1 −
x −2
2 (x −4)
, onde x representa o tempo em anos de uso deste
automóvel. Qual será o valor deste automóvel após quatro anos de uso? 
Resposta Selecionada: c. R$77.000,00
Respostas: a. R$59.500,00
b. R$94.500,00
c. R$77.000,00d. R$85.750,00
e. R$12.250,00
Comentário da
resposta:
Considere uma função h(x)=k[1-m.f(x)], sendo k e m duas
constantes reais e f(x) uma função em x. Então, pelas
propriedades dos limites, temos:
lim
x →a
h (x ) = lim
x →a
k[1 − m · f (x ) ]=k
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1 − m · ⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
lim
x →a
f (x )
Para a função f(x) dada, que envolve termos com raiz quadrada
e indeterminação do tipo 0/0, é possível multiplicar e dividir f(x)
pelo conjugado do termo da raiz, removendo-se a
indeterminação e permitindo-se o cálculo do limite.
lim
x →a
x − a
x − a
= lim
x →a
x − a
x − a
·
x + a
x + a
= lim
x →a
( )x 2− ( )a 2
(x − a) ( )x + a
= lim
x →a
x − a
(x − a) ( )x + a
= lim
x →a
1
x + a
=
1
a + a
=
1
2 a
Pergunta 6
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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As assíntotas de funções podem ser determinadas utilizando-se limites, quando
uma variável tende ao infinito. Este processo pode ser utilizado para estimar o
custo médio de produtos, fazer projeções da receita e do lucro de empresas a
longo prazo, identificar patamares em curvas de aprendizagem, entre outras
aplicações.
Considere que o lucro de uma empresa possa ser representado pela função do
tempo pela expressão L(x)=50 ·
20x3 −2x − 15
3x3 − x +3
, sendo o lucro L dado em milhões
de reais e o tempo x dado em dias. Para qual valor o lucro desta empresa irá se
estabilizar se considerarmos um período de tempo muito grande?
Resposta Selecionada: a. 366,67 milhões de reais
Respostas: a. 366,67 milhões de reais
b. 333,33 milhões de reais
c. 426,67 milhões de reais
d. 273,33 milhões de reais
e. 306,67 milhões de reais
Comentário da
resposta:
Justiticativa: No cálculo do limite de uma função p(x)/q(x),
sendo p(x) e q(x) polinômios em x, quando x tende ao infinito
podemos calcular o limite considerando apenas os termos de
maior grau de cada polinômio:
Exemplo:
lim
x → ∞
x 2− x − 2
2x 2− 3x − 2
= lim
x → ∞
x 2
2x 2
= lim
x → ∞
1
2
=
1
2
= 0,5
Pergunta 7
Uma das aplicações mais comum do cálculo diferencial é determinar os valores de
máximo ou de mínimo de uma função. Geralmente denominado problema de
otimização. Este processo é utilizado em várias áreas de conhecimento, como por
exemplo na engenharia, e na física. Na economia, um problema de otimização
usual é determinar o lucro máximo que uma empresa pode obter sob
determinadas condições.
O lucro de uma empresa, referente a um determinado produto, é calculado pela
diferença entre a receita gerada e o custo de produção do item produzido.
Suponha que uma empresa tenha seu custo diário representado pela função
C(x)=28x2+100x+200 e sua receita diária representada pela função
R(x)=20x2+248x+500, no qual x é peso líquido de itens produzidos diariamente
em milhares de quilogramas.
1 em 1 pontos
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O valor de x, em milhares de quilogramas, que maximiza o lucro diário desta
empresa é:
Resposta Selecionada: a. 9,25
Respostas: a. 9,25
b. 8,65
c. 7,85
d. 8,75
e. 9,75
Comentário
da resposta:
Justiticativa: A partir das expressões dadas de C(x) e R(x), a
função lucro é calculada por L(x)=R(x) – C(x). A função L(x) obtida
é uma função do tipo f(x) = ax2+bx+c, com a<0, que possui um
valor de máximo em x=m tal que f’(m)=0. Portanto, calculando-se
a derivada de L(x) e igualando-se a zero, é possível determinar o
valor de x que maximiza esta função.
Pergunta 8
O lucro marginal representa o lucro adicional resultante da venda de uma unidade
adicional do produto em um certo nível de venda x. Em outras palavras, se x
unidades do produto foram vendidas, o lucro marginal indica qual a variação
esperada do lucro ao vender-se uma unidade adicional do produto (x=1).
Considere que uma empresa tenha o lucro associado a venda de x unidades de
um determinado produto dado por L(x)=0,2x3+25x, em milhões de reais. Qual o
lucro marginal quando 15 unidades deste produto são vendidas?
Resposta Selecionada: c. 160,0 milhões de reais
Respostas: a. 155,0 milhões de reais
b. 126,4 milhões de reais
c. 160,0 milhões de reais
d. 131,4 milhões de reais
e. 165,0 milhões de reais
Comentário da
resposta:
Justiticativa: A expressão do lucro marginal é igual a primeira
derivada da função que representa o lucro. Por exemplo, se
L(x)=ax4-bx2, temos que L’(x)=4ax3-2bx. Para x=c, o valor do
lucro marginal é L’(c).
1 em 1 pontos
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Pergunta 9
A continuidade de uma função está relacionada à existência ou não de pontos nos
quais a função não está definida, bem como ao comportamento dos limites laterais
da função quando x se aproxima de determinado valor. 
Considere a função f (x ) =
x
x2 +4x − 12
tenha sido utilizada na descrição de um
processo em uma indústria. Considere os seguintes intervalos fechados em x:
I - [-8,10]
II - [20,100]
III - [-5,12]
IV - [-50,-10]
A função f(x) dada é contínua nos intervalos indicados em:
Resposta Selecionada: a. II e IV, apenas.
Respostas: a. II e IV, apenas.
b. II, apenas. 
c. III e IV, apenas.
d. I e II, apenas.
e. I , II e IV apenas.
Comentário
da resposta:
Justificativa: A função apresentada é uma função racional, logo
o denominador deve ser diferente de zero. O polinômio no
denominador é igual a zero para x=-6 e para x=2, portanto a
função não está definida para estes dois valores de x apenas. A
função será contínua em qualquer intervalo fechado que não
contenha nenhum destes dois valores.
Pergunta 10
Uma das aplicações mais comum do cálculo diferencial é determinar os valores de
máximo ou de mínimo de uma função. Geralmente denominado problema de
otimização. Este processo é utilizado em várias áreas de conhecimento, como por
exemplo na engenharia, e na física. Na economia, um problema de otimização
usual é determinar o lucro máximo que uma empresa pode obter sob
determinadas condições.
O lucro de uma empresa, referente a um determinado produto, é calculado pela
diferença entre a receita gerada e o custo de produção do item produzido.
Suponha que uma empresa tenha seu custo diário representado pela função
C(x)=28x2+100x+200 e sua receita diária representada pela função
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Sábado, 15 de Junho de 2024 17h36min03s BRT
R(x)=20x2+256x+500, no qual x é peso líquido de itens produzidos diariamente
em milhares de quilogramas.
O valor de x, em milhares de quilogramas, que maximiza o lucro diário desta
empresa é:
Resposta Selecionada: a. 9,75
Respostas: a. 9,75
b. 9,25
c. 8,65
d. 7,85
e. 8,75
Comentário
da resposta:
Justiticativa: A partir das expressões dadas de C(x) e R(x), a
função lucro é calculada por L(x)=R(x) – C(x). A função L(x) obtida
é uma função do tipo f(x) = ax2+bx+c, com a<0, que possui um
valor de máximo em x=m tal que f’(m)=0. Portanto, calculando-se
a derivada de L(x) e igualando-se a zero, é possível determinar o
valor de x que maximiza esta função.
← OK