Limites e derivadas são ferramentas matemáticas importantes no estudo do comportamento de funções. Por exemplo, estimativas de valores de custo e lucro em empresas considerando-se longos períodos, para avaliar se haverá estabilização, crescimento ou decrescimento, ou a determinação de valores máximo e mínimos em intervalos específicos, podem ser realizadas com a adequada utilização de limites e derivadas. Com relação ao cálculo de limites e derivadas, considere as seguintes afirmacoes: I. O lim x →1 x^2 - 1 / x - 1 é igual a 1 II. Se f(x) = x + x^2, então f'(x) = 1/2x + 2x III. Se f(x) = (cosx)^2, então f'(x) = -2(senx)(cosx) Está correto o que se afirma em:
a. I, apenas.
b. II, apenas.
c. III, apenas.
d. II e III, apenas.
e. I e III apenas.

Question

Limites e derivadas são ferramentas matemáticas importantes no estudo do comportamento de funções. Por exemplo, estimativas de valores de custo e l...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I. O limite $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pode ser simplificado. O numerador $x^2 - 1$ pode ser fatorado como $(x - 1)(x + 1)$. Assim, temos:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.
$$
Portanto, a afirmação I é falsa.

II. Se $f(x) = x + x^2$, então a derivada $f'(x)$ é dada por:
$$
f'(x) = 1 + 2x.
$$
A afirmação II está incorreta, pois a expressão apresentada está errada.

III. Se $f(x) = (\cos x)^2$, então usando a regra da cadeia, temos:
$$
f'(x) = 2(\cos x)(-\sin x) = -2(\sin x)(\cos x).
$$
A afirmação III está correta.

Agora, analisando as alternativas:

- a. I, apenas. (Falsa)
- b. II, apenas. (Falsa)
- c. III, apenas. (Verdadeira)
- d. II e III, apenas. (Falsa)
- e. I e III apenas. (Falsa)

A única afirmação correta é a III. Portanto, a alternativa correta é: c) III, apenas.

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

I. O lim x →1 x^2 - 1 / x - 1 é igual a 1
Para resolver essa expressão, podemos simplificar o numerador e o denominador:
(x^2 - 1) / (x - 1) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1
Portanto, lim x →1 x^2 - 1 / x - 1 = lim x →1 x + 1 = 1
A afirmativa I está correta.

II. Se f(x) = x + x^2, então f'(x) = 1/2x + 2x
Para encontrar a derivada de f(x), devemos derivar termo a termo:
f'(x) = 1 + 2x
A afirmativa II está incorreta.

III. Se f(x) = (cosx)^2, então f'(x) = -2(senx)(cosx)
Para encontrar a derivada de f(x), aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = 2(cosx)(-senx) = -2(senx)(cosx)
A afirmativa III está correta.

Portanto, a resposta correta é: e) I e III apenas.

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