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324. **Problema:** Em um dodecaedro regular, a aresta mede 34 cm. Qual é a área total 
da superfície do dodecaedro? 
 
 
 - **Resposta:** A área total da superfície do dodecaedro é \( 39312\sqrt{3} \) cm². 
Explicação: Calculando a área de cada face e multiplicando pelo número de faces. 
 
325. **Problema:** Determine a medida do ângulo entre a diagonal de uma face e a 
diagonal de uma aresta adjacente em um cubo. 
 - **Resposta:** O ângulo entre as diagonais é \( 35.26^\circ \). Explicação: Utilizando a 
geometria analítica para calcular o ângulo entre vetores. 
 
326. **Problema:** Um prisma reto tem uma base pentagonal regular com lado de 36 cm 
e altura do prisma de 44 cm. Qual é a área total do prisma? 
 - **Resposta:** A área total do prisma é \( 8064\sqrt{5} \) cm². Explicação: Calculando a 
área das faces laterais e da base. 
 
327. **Problema:** Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 96 cm. 
Se um dos catetos mede 68 cm, qual é a medida da hipotenusa? 
 - **Resposta:** A hipotenusa mede \( 120 \) cm. Explicação: Utilizando o Teorema de 
Pitágoras. 
 
328. **Problema:** Determine o volume de uma pirâmide cuja base é um hexágono 
regular com lado de 120 cm e altura da pirâmide de 140 cm. 
 - **Resposta:** O volume da pirâmide é \( 470400\sqrt{3} \) cm³. Explicação: Utilizando 
a fórmula do volume da pirâmide. 
 
329. **Problema:** Em um cubo, determine a medida do ângulo entre a diagonal de uma 
face e a diagonal do espaço. 
 - **Resposta:** O ângulo entre as diagonais é \( 60^\circ \). Explicação: Utilizando a 
geometria analítica para calcular o ângulo entre vetores. 
 
330. **Problema:** Um paralelepípedo tem dimensões 18 cm, 20 cm e 22 cm. Qual é a 
medida da diagonal espacial do paralelepípedo? 
 - **Resposta:** A medida da diagonal espacial do paralelepípedo é \( \sqrt{1328} \) cm. 
Explicação: Utilizando o Teorema de Pitágoras. 
Entendo, aqui estão mais 50 problemas matemáticos desafiadores para você: 
 
51. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}\) converge ou diverge. 
 - Resposta e explicação: A série diverge. Use o critério da razão para verificar. 
 
52. Calcule a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}} \, dx\). 
 - Resposta e explicação: A resposta é \(\frac{2}{3} (1+x^3)^{3/2} + C\). Use a substituição 
\(u = 1 + x^3\) para resolver. 
 
53. Encontre o limite \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}\). 
 - Resposta e explicação: O limite é \(e^{-\frac{1}{6}}\). Use a expansão de Taylor para 
\(\sin x\) e propriedades de limites exponenciais. 
 
54. Resolva a equação diferencial \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\). 
 - Resposta e explicação: A solução é \(y(x) = (A + Bx)e^{2x} + \frac{1}{2}e^{2x}\), onde \(A\) 
e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais. 
 
55. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas 
\(y = \sqrt{x}\), \(y = 0\), e \(x = 4\) em torno do eixo \(y\). 
 - Resposta e explicação: O volume é \(\frac{128\pi}{5}\). Use o método do disco ou do 
anel para calcular o volume. 
 
56. Verifique se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2}\) converge ou diverge. 
 - Resposta e explicação: A série converge. Use o critério da série de comparação. 
 
57. Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{x^2 + 1} \, dx\). 
 - Resposta e explicação: A resposta é \(e^x \arctan x - \int e^x \arctan x \, dx\). Use 
integração por partes para resolver. 
 
58. Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\), \(y = \ln x\), \(x = 1\), e \(x = 
2\). 
 - Resposta e explicação: A área é \(\int_1^2 (e^x - \ln x) \, dx\). 
 
59. Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n\).