Lista 2

Prévia do material em texto

DAS 5112 Sinais e Sistemas Lineares I
Lista de Exerćıcios 2
Hector Bessa Silveira
2013/2
1 Exerćıcios do Caṕıtulo 2 do Lathi
1. 2.2-1 até 2.2-8
2. 2.3-1 até 2.3-4
3. 2.4-4 até 2.4-13, 2.4-16 até 2.4-18, 2.4-21 até 2.4-28, exceto 2.4-27
4. 2.6-1, 2.6-2, 2.6-3, 2.6-5, 2.6-6
Errata do Lathi:
• Em 2.4-12(a), considerem que x(t) = etu(−t)
• Em 2.4-23(e), leia-se vc(0
−) ao invés de vc(0
+)
1
2 RESPOSTAS
2 Respostas
2.2-1(a) Polinômio caracteŕıstico: λ2+5λ+6; equação caracteŕıstica: λ2+
5λ + 6 = 0; ráızes caracteŕısticas: λ1 = −2, λ2 = −3; modos caracteŕısticos:
e−2t, e−3t.
2.2-1(b) y0(t) = 5e−2t − 3e−3t
2.2-2(a) λ2 + 4λ+ 4; λ2 + 4λ+ 4 = 0; λ1 = −2, λ2 = −2; e−2t, te−2t.
2.2-2(b) y0(t) = (3 + 2t)e−2t
2.2-3(a) λ2 + λ; λ2 + λ = 0; λ1 = 0, λ2 = −1; 1, e−t.
2.2-3(b) y0(t) = 2− e−t
2.2-4(a) λ2 + 9; λ2 + 9 = 0; λ1 = j3, λ2 = −j3; ej3t, e−j3t.
2.2-4(b) y0(t) = 2sen(3t)
2.2-5(a) λ2 + 4λ + 13; λ2 + 4λ + 13 = 0; λ1 = −2 + j3, λ2 = −2 − j3;
c1e
(−2+j3)t, c2e
(−2−j3)t.
2.2-5(b) y0(t) = 10e−2tcos(3t− π
3
)
2.2-6(a) λ3 + λ2; λ3 + λ2 = 0; λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = −1; 1, t, e−t.
2.2-6(b) y0(t) = 5 + 2t− e−t
2.2-7(a) (λ+1)(λ2+5λ+6); (λ+1)(λ2+5λ+6) = 0; λ1 = −1, λ2 = −2,
λ3 = −3; e−t, e−2t, e−3t.
2.2-7(b) y0(t) = 6e−t − 7e−2t + 3e−3t
2.2-8(a) Não.
2.2-8(b) Sim.
2.2-8(c) Sim.
2.3-1 h(t) = (2e−t − e−3t)u(t)
2.3-2 h(t) = δ(t) + (e−2t + e−3t)u(t)
2.3-3 h(t) = −δ(t) + 2e−tu(t)
2.3-4 h(t) = (2 + 3t)e−3tu(t)
2.4-4 e−atu(t) ∗ e−btu(t) =
(
e−at−e−bt
a−b
)
u(t)
2.4-5 u(t) ∗ u(t) = tu(t); e−atu(t) ∗ e−atu(t) = te−atu(t); tu(t) ∗ u(t) =
1
2
t2u(t).
2.4-6 sen t u(t) ∗ u(t) = (1− cos t)u(t); cos t u(t) ∗ u(t) = sen t u(t).
2.4-7(a) y(t) = (1− e−t)u(t)
2.4-7(b) y(t) = te−tu(t)
2.4-7(c) y(t) = (e−t − e−2t)u(t)
2.4-7(d) y(t) =
(
0,9486e−t− cos(3t+18,4◦)√
10
)
u(t)
2.4-8(a) y(t) =
(
1
6
− 2
3
e−3t + 1
2
e−2t
)
u(t)
2
2 RESPOSTAS
2.4-8(b) y(t) = (e−2t − e−3t)u(t)
2.4-8(c) y(t) = [(2− t)e−2t − 2e−3t]u(t)
2.4-9 y(t) = te−2tu(t)
2.4-10(a) y(t) = 4√
13
[0, 555− e−2tcos(3t+ 56, 31◦)]u(t)
2.4-10(b) y(t) = 4
[
e−t − 1√
10
e−2tcos(3t+ 71, 56◦)
]
u(t)
2.4-11(a) y(t) = (e−t − e−2t)u(t)
2.4-11(b) y(t) = e6(e−t − e−2t)u(t)
2.4-11(c) y(t) = e−6(e−(t−3)u(t)− e−2(t−3))u(t− 3)
2.4-11(d) y(t) = (1− e−t)u(t)− (1− e−(t−1))u(t− 1)
2.4-12(a) y(t) = e−tu(t)
2.4-13(a) y(−1) = y(6) = 0, y(t) = 1, para t = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2.4-13(b) y(t) = 0, para t ≤ −1 ou t ≥ 6; y(t) = 1 + t, para −1 < t < 0;
y(t) = 1, para 0 ≤ t ≤ 5; y(t) = 6− t, para 5 < t < 6.
2.4-16 c(t) = 1− cos t, para 0 ≤ t ≤ 2π; c(t) = 0, para t < 0 ou t > 2π.
2.4-17 c(t) = 1− cos t, para 0 ≤ t ≤ 2π; c(t) = cos t−1, para 2π ≤ t ≤ 4π;
c(t) = 0, para t < 0 ou t > 4π.
2.4-18(a) c(t) = AB, para 0 ≤ t ≤ 1; c(t) = AB(2 − t), para 1 ≤ t ≤ 2;
c(t) = AB(t+ 1), para −1 ≤ t ≤ 0; c(t) = 0, para t ≤ −1 ou t ≥ 2.
2.4-18(b) c(t) = AB(2 − t), para 0 ≤ t ≤ 2; c(t) = AB(t + 2), para
−2 ≤ t ≤ 0; c(t) = 0, para −2 ≤ t ≤ 2.
2.4-18(c) c(t) = 3, para t ≥ −1; c(t) = t+4, para −4 ≤ t ≤ −1; c(t) = 0,
para t ≤ −4.
2.4-18(d) c(t) = 0, 95e−t, para t ≥ 0; c(t) = 1−0, 0498e−t, para −3 ≤ t ≤
0; c(t) = 0, para t ≤ −3.
2.4-18(e) c(t) = tan−1(t− 1) + π
2
, para t ≤ 1; c(t) = π
2
, para t ≥ 1.
2.4-18(f) c(t) = 1− e−t, para 0 ≤ t ≤ 3; c(t) = e−(t−3) − e−t, para t ≥ 3;
c(t) = 0, para t ≤ 0.
2.4-18(g) c(t) = 1
2
, para t ≥ 0; c(t) = 1
2
(1− t2), para −1 ≤ t ≤ 0; c(t) = 0,
para t ≤ −1.
2.4-18(h) c(t) = 1
3
(e−2t − e(t−3)), para 0 ≤ t ≤ 1; c(t) = 1
3
(et − e(t−3)),
para −1 ≤ t ≤ 0; c(t) = 1
3
(et − e−2(t+3)), para −2 ≤ t ≤ −1; c(t) = 0, para
t ≤ −2 ou t ≥ 1.
2.4-21 y(t) = 0, para t < −1; y(t) = t2
2
+ t+ 1
2
, para −1 ≤ t < 0; y(t) = 1
2
,
para t ≥ 0.
2.4-22 y(1) = 0, 34375
2.4-23(a) d2y(t)
dt2
+ 1
LC
y(t) = 1
LC
x(t)
3
2 RESPOSTAS
2.4-23(b) λ2 + 1
LC
= 0; λ1,2 =
±j√
LC
.
2.4-23(c) y0(t) = cos
(
t√
LC
)
2.4-23(d) Não.
2.4-23(e) y(t) = (0, 5e−t + cos(t)−
√
2
2
cos(t+ 45o))u(t)
2.4-24(b) hp(t) = (1− t)[u(t)− u(t− 1)] + t[u(t+ 2)− u(t− 2)]
2.4-24(c) hc(t) = − t3
6
+ t2
2
+ 2t + 2
3
, para −2 ≤ t < −1, hc(t) = t
2
− 1
6
,
para −1 ≤ t < 2, hc(t) =
t3
6
− t2
2
− 3t
2
+ 9
2
, para 2 ≤ t < 3, hc(t) = 0, caso
contrário
2.4-25(a) y(t) = (1 + e
−t
RC )u(t)
2.4-25(b) y0(0) = e
1
RC − 0, 5e
2
RC
2.4-26 y(t) = t3
3
, para 0 ≤ t < 1
2
; y(t) = t
4
− 1
12
, para 1
2
≤ t < 1;
y(t) = −t3
3
+ 5t
4
− 3
4
, para 1 ≤ t < 3
2
; y(t) = 0, para qualquer outro t.
λ2 = −
(
R
L1
+ R
L2
)
.
2.4-28 y(t) = (2e−2(t−π) − e−(t−π))u(t− π)− cos(
√
3)(e−t − e−2t)u(t)
2.6-1(a) BIBO estável e assintoticamente estável.
2.6-1(b) BIBO instável e marginalmente estável.
2.6-1(c) BIBO instável e assintoticamente instável.
2.6-1(d) BIBO instável e assintoticamente instável.
2.6-2(a) BIBO estável e assintoticamente estável.
2.6-2(b) BIBO instável e marginalmente estável.
2.6-2(c) BIBO instável e assintoticamente instável.
2.6-2(d) BIBO instável e marginalmente estável.
2.6-3(a) λ = 0
2.6-3(b) Marginalmente estável.
2.6-3(c) Não.
2.6-3(d) Integrador ideal.
2.6-5(a) y(t) = t2
2
+ 2t + 2, para −2 ≤ t < 0; y(t) = 2, para 0 ≤ t < 2;
y(t) = t2
2
+ 2t, para 2 ≤ t < 4; y(t) = 0, para qualquer outro t.
2.6-5(b) Estável, não causal.
2.6-6 Estável, causal.
4
	Exercícios do Capítulo 2 do Lathi
	Respostas