Matemática em Contexto Análise, Probabilidade e computação (9)

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Outra maneira de representar essa situação é utilizando um diagrama de árvore ou árvore de 
possibilidades.
W
Y
M
 D
e
s
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n
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rq
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iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1a etapa: Parque – mercado; 2a etapa: mercado – farmácia. 
Porque a escolha em uma etapa não influencia na escolha 
de outra etapa.
 Esse esquema recebe o nome de diagrama de árvore ou árvore de possibilidades porque se assemelha 
aos galhos de uma árvore.
 Observando a árvore de possibilidades, podemos ver que há 5 possibilidades de caminhos diferentes 
para ir do parque ao mercado e 4 possibilidades de caminhos diferentes para ir do mercado à farmácia.
Dessa maneira, o total de possibilidades de caminhos diferentes é 5 ? 4 5 20.
 Podemos concluir que existem 20 caminhos diferentes para ir do parque à farmácia, passando pelo mercado.
Podemos dizer que o caminho do parque à farmácia é um acontecimento composto de duas etapas sucessivas e 
independentes. Quais são elas? Por que elas são independentes?
Reflita
	c) Em um jogo de tabuleiro a ação do jogador é definida ao jogar 2 dados. Um deles tem 4 faces, de modo 
que cada uma delas tenha uma das letras A, B, C e D. O outro dado possui 6 faces, numeradas de 1 a 6.
Podemos montar uma tabela para indicar todas as possibilidades de resultados a cada jogada.
Possibilidades de resultados a cada jogada
Dado de 4 faces
Dado de 6 faces
A B C D
1 1A 1B 1C 1D
2 2A 2B 2C 2D
3 3A 3B 3C 3D
4 4A 4B 4C 4D
5 5A 5B 5C 5D
6 6A 6B 6C 6D
Tabela elaborada para fins didáticos.
Observe que esse acontecimento tem duas etapas, com quatro possibilidades em uma e seis possibili-
dades em outra, totalizando 24 possibilidades (pois 4 ? 6 5 24).
Podemos fazer uma lista com todas as possibilidades: 1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A, 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 1C, 
2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1D, 2D, 3D, 4D, 5D e 6D.
Caminhos do
parque ao mercado
Caminhos do
mercado à farmácia
Caminhos do parque à farmácia,
passando pelo mercado
A
M
N
O
P
M
N
O
P
M
N
O
P
M
N
O
P
M
N
O
P
AM
AN
AO
AP
BM
BN
BO
BP
CM
CN
CO
CP
DM
DN
DO
DP
EM
EN
EO
EP
B
C
D
E
Não escreva no livro.
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Formalizando o princípio fundamental da contagem
As análises das situações anteriores exemplificam o princípio fundamental da con-
tagem, que pode ser definido da seguinte maneira:
Um acontecimento é composto de n etapas a1, a2, », an, sucessivas e 
independentes, de maneira que
• o número de possibilidades distintas de a1 ocorrer é b1;
• para cada possibilidade da etapa a1, o número de possibilidades distintas de 
a2 ocorrer é b2;
• para cada possibilidade das etapas a1 e a2, o número de possibilidades 
distintas de a3 ocorrer é b3;
æ
• para cada possibilidade das etapas anteriores, o número de possibilidades 
distintas de an ocorrer é bn.
Então, o número de possibilidades de o acontecimento ocorrer é dado por: 
b1 ? b2 ? » ? bn
Esse é o princípio fundamental da contagem.
Analise alguns exemplos que utilizam o princípio fundamental da contagem.
	a) Com as letras A, B, C, D, E, F e G, quantos anagramas de 3 letras podemos formar?
____ ____ ____
1a letra 2a letra 3a letra
Esse acontecimento tem 3 etapas: a 1a letra, a 2a letra e a 3a letra.
Há 7 possibilidades para a 1a letra, 7 possibilidades para a 2a letra e 7 possibili-
dades para a 3a letra.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, podemos calcular: 7 ? 7 ? 7 5 343.
Podemos formar 343 anagramas.
	b) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
______ ______ _______
centena dezena unidade
Esse acontecimento tem 3 etapas: a centena, a dezena e a unidade.
Há 5 possibilidades para a centena (zero não é permitido), 6 para a dezena e 6 
para a unidade.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, calculamos: 5 ? 6 ? 6 5 180.
Podemos formar 180 números.
	c) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com 0, 1, 2, 3, 4, 5 
e 6?
______ ______ _______
centena dezena unidade
Esse acontecimento tem 3 etapas: a centena, a dezena e a unidade.
 Há 6 possibilidades para a centena (o zero não é permitido), 6 para a dezena 
(todas as opções anteriores, menos uma que foi utilizada, mais o zero) e 5 para 
a unidade (todas as opções anteriores, menos uma que foi utilizada na dezena).
Utilizando o princípio fundamental da contagem, calculamos: 6 ? 6 ? 5 5 180.
Podemos formar 180 números com algarismos distintos.
Anagrama
Palavra que é formada 
mudando a ordem 
das letras da palavra 
original. Em Matemática 
consideramos todas as 
possibilidades, mesmo 
se a palavra não tiver 
sentido ou não for 
dicionarizada.
O princípio 
fundamental da 
contagem também 
pode ser chamado 
de princípio da 
multiplicação 
ou princípio 
multiplicativo.
Fique atento
O zero é excluído 
do algarismo das 
centenas, pois o 
número considerado 
deve ter 3 algarismos. 
Justifique.
Reflita
Se tivermos o zero nas 
centenas, significa que 
não há centenas nesse 
número. Por exemplo: 
0 4 5 5 45.
Não escreva no livro.
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