Método de Euler em Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 535
a inclinação em (x0, y0) é y� � F(x0, y0), assim, a Figura 15 nos mostra que o valor aproxi-
mado para a solução quando x � x1 é
y1 � y0 � hF(x0, y0) 
Analogamente, y2 � y1 � hF(x1, y1)
Em geral, yn � yn�1 � hF(xn�1, yn�1)
Método de Euler Os valores aproximados para a solução do problema de valor inicial
y� � F(x, y), y(x0) � y0, com passo h, em xn � xn�1 � h, são
yn � yn�1 � hF(xn�1, yn�1) n � 1,2, 3, …
Use o método de Euler com o passo 0,1 para construir uma tabela de valores
aproximados para a solução do problema de valor inicial
y� � x � yMMMMy(0) � 1 
SOLUÇÃO Sabemos que h � 0,1, x0 � 0, y0 � 1 e F(x, y) � x � y. Logo, temos
y1 � y0 � hF(x0, y0) � 1 � 0,1(0 � 1) � 1,1 
y2 � y1 � hF(x1, y1) � 1,1 � 0,1(0,1 � 1,1) � 1,22 
y3 � y2 � hF(x2, y2) � 1,22 � 0,1(0,2 � 1,22) �1,362 
Isso significa que, se y(x) é a solução exata, então y(0,3) � 1,362. 
Prosseguindo com cálculos similares, temos os valores na tabela:
n xn yn n xn yn
1 0,1 1,100000 6 0,6 1,943122
2 0,2 1,220000 7 0,7 2,197434
3 0,3 1,362000 8 0,8 2,487178
4 0,4 1,528200 9 0,9 2,815895
5 0,5 1,721020 10 1,0 3,187485
Para uma tabela com valores mais precisos no Exemplo 3, poderíamos diminuir o tama-
nho do passo. Contudo, para um número grande de pequenos passos, a quantidade de cálcu-
los é considerável e, assim, precisamos programar uma calculadora ou um computador para
fazer os cálculos. A seguinte tabela mostra os resultados da aplicação do método de Euler
com diminuição do tamanho do passo para o problema de valor inicial do Exemplo 3.
Passo Estimativa de Euler para y (0,5) Estimativa de Euler para y(1) 
0,500 1,500000 2,500000
0,250 1,625000 2,882813
0,100 1,721020 3,187485
0,050 1,757789 3,306595
0,020 1,781212 3,383176
0,010 1,789264 3,409628
0,005 1,793337 3,423034
0,001 1,796619 3,433848 
Observe que as estimativas de Euler na tabela parecem estar se aproximando de limites,
a saber, os valores verdadeiros de y(0,5) e y(1). A Figura 16 mostra os gráficos das aproxi-
mações de Euler com os passos 0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 e 0,005. Eles estão se apro-
ximando da curva solução exata à medida que o passo h se aproxima de 0.
EXEMPLO 3
y
x⁄x¸0
y¸
h
h F(x¸, y¸)
(⁄, ›)
Inclinação=F(x¸, y¸)
FIGURA 15
O Module 9.2B mostra como o
método de Euler funciona numérica e
visualmente por várias equações
diferenciais e passos.
TEC
Os pacotes de software para computador
que produzem aproximações numéricas
para soluções de equações diferenciais
utilizam os métodos que são refinamentos
do método de Euler. Embora o método de
Euler seja simples e não tão preciso, é a
ideia básica em que os métodos mais
precisos são baseados.
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