Matematicas Simplificadas-213

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16 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
612
(continuación)
Entonces,
3M − 2N = 3M + (− 2N) = 
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
9 3
12 15
0 3
 + 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4 8
2 0
0 6
 = 
− − +
+ +
+ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
9 4 3 8
12 2 15 0
0 0 3 6
 = 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
13 11
14 15
0 3
Finalmente, 3M − 2N es 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
13 11
14 15
0 3
3 Dada la siguiente igualdad:
3 
m n+⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1 4
 − 
m n
y
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
5
 = 
10 8
3 7
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , determina el valor de las incógnitas.
Solución
Se realizan las operaciones indicadas.
3 
m n+⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1 4
 − 
m n
y
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
5
 = 
3 2 2 3
3 1 3 4 5
m m n n
y
+( ) − −( ) − −
( ) − ( ) −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
( )
 = 
2 8 4
3 7
m n
y
+
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Luego, 
2 8 4
3 7
m n
y
+
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 = 
10 8
3 7
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Los términos resultantes se igualan con los términos correspondientes de la matriz del segundo miembro, y se 
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
2 8 10
4 8
3– 3 
m
n
y
+ =
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Al resolver el sistema se obtienen los siguientes valores: y = 0, m = 1 y n = 2
EJERCICIO 162
Para las siguientes matrices, efectúa A + B, A − B, A − A, 4A − 3B y 2A − 0B
 1. A = 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
0 2
, B = 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
0 2
 2. A = 2 0 1[ ], B= −[ ]6 7 3
 3. A = 
2 7
1 0
2 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
, B = 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4 5
2 6
1 7
 4. A = 
2 3 1
4 6 1
− −
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
, B = 
1 6 4
3 2 7
−
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 5. A = 
2
5
5
1
8
0 3 2
7
1
5
0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
, B = 
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1
1
3
0
1
3
5 8
2
3
4
5
3
2
En las siguientes igualdades, determina el valor de las incógnitas.
 6. 
a w
v c d
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7 5
4 1
 + 2 
3 1 4
3 0
b
v
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
6 7
1 7 5
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
w
 CAPÍTULO 16
 ÁLGEBRA • Matrices
613
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 7. 2 
x
w
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1
5 0
3 1
 − 3 
2
1 2
2 4
n
y − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 = 
2 8
5 6
0
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
n
w
 8. 
1 3
11 9 12
7 2
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
w
y v
 + 
x
z
−
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
4 2
1 1 1
1 3 4
 = 
4 2 5
10 10 13
6 4
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥v
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Multiplicación
Sea A = (aij) una matriz de orden m × n, y B = (bij) una matriz de orden n × p, la multiplicación AB da como resultado 
la matriz C = (cij) de orden m × p, tal que
cij = ai1b1j + ai2b2j
 + ..... + ainbnj
Para:
 i = 1, 2, 3, 4,..., m; j = 1, 2, 3, 4,..., n
El número de columnas de la matriz A, es igual al número de renglones de la matriz B.
 Matriz A Matriz B
 m × n n × p
 igual
 Tamaño de AB es m × p
Ejemplos
Matriz A Matriz B Matriz AB
2 × 3 3 × 4 2 × 4
1 × 2 2 × 3 1 × 3
5 × 4 4 × 2 5 × 2
3 × 1 3 × 1 No defi nida
1 Realiza la multiplicación de las siguientes matrices:
A = 
2 3
5 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ y B = 
2 0 3
1 1 5−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Solución
A es una matriz de 2 × 2 y B de 2 × 3, por tanto, la multiplicación se puede realizar. Al aplicar la defi nición se procede 
de la siguiente manera: se multiplica el primer renglón por cada una de las columnas de la segunda matriz.
AB = 
2 3
5 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
2 0 3
1 1 5−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
2 2 3 1 2 0 3 1 2 3 3 5( ) + −( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
1 3 21⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Se realiza la misma operación con el segundo renglón.
AB = 
2 3
5 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
2 0 3
1 1 5−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
5 2 4 1 5 0 4 1 5 3 4 5( ) + −( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 
6 4 35
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
(continúa)
 16 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
614
(continuación)
Finalmente, se unen los resultados para obtener la matriz AB, 
AB = 
1 3 21
6 4 35
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Su orden es de 2 × 3
2 Determina R2 si R = 
3 1 1
0 4 2
2 1 0
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
.
Solución
Se transforma R2 en R2 = RR; esto es posible si R es una matriz cuadrada y se procede a realizar las operaciones 
indicadas en el ejemplo anterior.
 R2 = 
3 1 1
0 4 2
2 1 0
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 1 1
0 4 2
2 1 0
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 = 
3 3 1 0 1 2 3 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 0( ) + ( ) − −( ) ( ) + ( ) − ( ) −( ) + ( ) − ( ))
( ) + ( ) + −( ) ( ) + ( ) + ( ) −( ) + ( ) +0 3 4 0 2 2 0 1 4 4 2 1 0 1 4 2 2 00
2 3 1 0 0 2 2 1 1 4 0 1 2 1 1
( )
− ( ) + ( ) + −( ) − ( ) + ( ) + ( ) − −( ) + 22 0 0( ) + ( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 = 
11 6 1
4 18 8
6 2 4
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 entonces R2 = 
11 6 1
4 18 8
6 2 4
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Propiedades de las matrices
Sean las matrices P, Q, R de orden m × n, O la matriz nula de m × n, I la matriz identidad y r, s escalares, entonces:
Propiedades
Conmutativa de la suma P + Q = Q + P
Asociativa de la suma P + ( Q + R ) = ( P + Q ) + R
Identidad de la suma P + O = O + P = P
Distributiva izquierda r (P + Q ) = rP + rQ
Distributiva derecha (r + s ) P = r P + s P
Inverso aditivo P + ( − P ) = O
Asociativa de la multiplicación de escalares ( r ⋅ s ) P = r ( s P ) 
Asociativa de la multiplicación P ( QR ) = ( PQ ) R
Identidad de la multiplicación IP = PI = P
Distributiva por la izquierda P( Q + R ) = PQ + PR
Distributiva por la derecha ( Q + R )P = QP + RP