Matematicas Simplificadas-335

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 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
978
Obtén la ecuación general de la circunferencia que es tangente a la recta x + y – 2 = 0 y concéntrica con la circun-
ferencia 3x2 + 3y2 – 6x – 4y = 0.
Solución
Se obtiene el centro de 3x2 + 3y2 – 6x – 4y = 0
 3x2 + 3y2 – 6x – 4y = 0 S 
3
3
3
3
6
3
4
3
0
2 2x y
x y+ − − =
 x2 + y2 – 2x –
4
3
y = 0
 x2 – 2x + y2 –
4
3
y = 0
 x2 – 2x + 1 + y2 –
4
3
y +
4
9
= 1 + 
4
9
 (x – 1)2 + y −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
2
 = 
13
9
El centro de la circunferencia es 1
2
3
, 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
El radio es la distancia del punto 1
2
3
, 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ a la recta x + y – 2 = 0, entonces,
r = 
 1
2
3
2
1 1
2 2
+ −
( ) + ( )
 = 
 
1
−
+
1
3
1
 = 
1
3
2
 = 
1
3 2
Por consiguiente, la ecuación general de la circunferencia con centro en 1
2
3
, 
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ y radio 
1
3 2
 es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 → (x – 1)2 + y −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
2
 = 
1
3 2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 x2 – 2x + 1 + y2 –
4
3
y +
4
9
= 
1
18
Al multiplicar por 18,
 18x2 – 36x + 18 + 18y2 – 24y + 8 = 1 
 18x2 + 18y2 – 36x – 24y + 25 = 0
Determina los puntos de intersección de las circunferencias:
C1: x
2 + y2 – 2x + 16y = 0 ; C2: x
2 + y2 – 6x – 4y = 0
Solución
Se restan las ecuaciones de las circunferencias, para eliminar los térmi-
nos cuadráticos:
–
x y x y
x y x y
x y
2 2
2 2
2 16 0
6 4 0
4 20 0
+ − + =
+ − − =( )
+ =
Se despeja x de la última igualdad:
x
y= − 20
4 
S x y= −5
Se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones de las circun-
ferencias:
−( ) + − −( ) + =5 2 5 16 0
2 2y y y y
 25 10 16 02 2y y y y+ + + =
 26 26 02y y+ =
66
5
 
C1 (1, – 8) 
C2 (3, 2) 
X 
Y 
(5, – 1) 
(0, 0) 
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 GEOMETRÍA ANALÍTICA • Circunferencia
979
Esta última ecuación se resuelve y se obtiene:
 26 26 02y y+ = S 26 1 0y y +( ) =
 y = 0; y = –1
Los valores obtenidos de y se sustituyen en la igualdad x = – 5y para obtener los valores de x:
 Para y = 0
 x = – 5(0)
 x = 0
 Para y = – 1
 x = – 5(– 1)
 x = 5
Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son: (0, 0) y (5, – 1).
Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
 1. x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0
 2. x2 + y2 – 6x + 8y + 20 = 0
 3. x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0
 4. x2 + y2 – 4x + 2y + 14 = 0
 5. x2 + y2 + 14x – 8y + 40 = 0
 6. x2 + y2 – 8y + 7 = 0
 7. x2 + y2 + 4x + 3 = 0
 8. 2x2 + 2y2 + 10x – 6y + 3 = 0
 9. 4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0
10. 5x2 + 5y2 – 2x – 30y + 42 = 0
11. 12x2 + 12y2 – 18x + 4y + 5 = 0
12. 36x2 + 36y2 + 48x – 36y – 299 = 0
13. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (7, 5) y es tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 4x + 16y – 22 = 0.
14. Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (3, 5) y es tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 7x + y – 10 = 0, en el punto (1, 1).
15. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia de radio 13 y es tangente a la recta 2x +3y – 7 = 0, en el 
punto (2, 1)?
16. Obtén la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias
x2 + y2 – 4x – 6y – 16 = 0 y x2 + y2 + 17x + 3y + 2 = 0, y cuyo centro está sobre la recta x + 2y + 5 = 0.
17. Determina el valor de k para que la recta kx + y – 15 = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x – 8y – 1 = 0.
18. ¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia x2 + y2 – 2x – 6y – 26 = 0 con la recta x – y + 8 = 0?
19. Encuentra los puntos de intersección de la recta 2x +3y – 10 = 0 con la circunferencia de ecuación
x2 + y2 – 8x – 10y + 28 = 0.
20. ¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta 5x – 7y – 35 = 0 con la circunferencia de ecuación 
x2 + y2 + 6x – 4y – 36 = 0?
21. Encuentra los puntos de intersección de las circunferencias:
x2 + y2 – 12x – 14y + 72 = 0 ; x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0
22. Determina los puntos de intersección de las circunferencias:
x2 + y2 – 6x + 8y + 15 = 0 ; x2 + y2 – 16x – 2y + 45 = 0
 EJERCICIO 21
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 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
980
Familia o haz de circunferencias
Son aquellas circunferencias que satisfacen la condición:
(x – h)2 + (y – k)2 = p2
Donde p es el parámetro y es un número positivo.
Representa gráfi camente la familia de circunferencias con centro en el punto (2, – 3) y p = 1, 2 y 3.
Solución
Se trata de una familia de circunferencias concéntricas.
Las ecuaciones de las circunferencias son:
 C1: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 1 o x2 + y2 – 4x + 6y + 12 = 0
 C2: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 o x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0
 C3: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9 o x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0
Sus representaciones gráfi cas son:
Y
X
C3
C1
C(2, – 3)
C2
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Representa gráfi camente las siguientes familias de circunferencias:
 1. Centro en el punto (1, 2) y p = 1, 2 y 3 6. x2 + y2 = p2
 2. Centro en el punto (– 2, – 3) y p = 1, 3 y 5 7. Centro en el punto (– 3, 4) y p = 2, 
3
2
, 
5
2
 3. Centro en el origen y p = 2, 4 y 6 8. (x + 2)2 + (y – 3)2 = p2
 4. (x – 1)2 + (y – 3)2 = p2 9. (x – 3)2 + y2 = p2
 5. x2 + (y – 2)2 = p2 10. Centro en el punto (0, – 2) y p = 2, 4 y 6
Determina la familia de circunferencias que cumplen las siguientes condiciones:
11. Centro en la intersección de las rectas 2x + 3y – 5 = 0, x – 4y + 3 = 0
12. Centro en el punto medio del segmento, cuyos extremos son (3, – 2) y (– 5, – 4)
13. Concéntricas con x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
14. Concéntricas con la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0), (1, 1), (1, – 1)
 EJERCICIO 22
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