Método de Eliminação de Gauss

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FÓRUM I – ÁLGEBRA LINEAR
REALIZADO EM 23/07/23 
O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e que tenha a mesma solução do sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos de operações matemáticas que visam a eliminar variáveis. 
Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema de equações lineares a seguir.
Resposta:
Devemos primeiro eliminar uma variável. No caso, escolhemos o “x”: 
Para isso, escolheremos 2 equações. 
Depois disso, vamos multiplicar uma das equações com o valor inverso de “x” afim de que possamos anulá-lo. No caso, multiplicamos a 1ª. equação por (-2) e conservaremos a outra equação ( para igualarmos o valor de x porém um positivo e outro negativo)
E em seguida, efetuaremos a diferença entre elas:
 X – 3Y – 2Z = 6 (-2) -2x + 6Y + 4Z = -12
2X -- 4Y – 3Z = 8 		 2X - 4Y – 3Z = 8
 +2Y + Z = -4 1ª. EQUAÇÃO REDUZIDA
Faremos o mesmo processo utilizando outras duas equações. Agora, multiplicamos a 1ª. equação por 3 e conservaremos a outra equação;
E em seguida, efetuaremos a diferença entre elas:
 X – 3Y – 2Z = 6 x3 3X – 9Y – 6Z = 18
-3X+ 6Y + 8Z = -5 -3X+ 6Y + 8Z = -5
 -3Y + 2Z = 13 2ª. EQUAÇÃO REDUZIDA
Agora, trabalharemos a equação linear utilizando as duas equações reduzidas. 
Isolaremos uma variável: 
 2Y + Z = -4 Z = -4 – 2Y
-3Y + 2Z = 13
substituiremos a variável na equação:
-3Y + 2Z = 13
-3Y + 2 (-4 – 2Y) = 13
-3Y - 8 – 4Y = 13
-7Y = 21 (-1_
7Y = -21
 Y = -21/7
 Y = -3 Encontramos o valor da 1ª. variável
. A partir de agora, é só substituir nas equações.
Z = -4 – 2Y
Z = -4 – 2 (-3)
Z = -4 +6
Z = 2 Encontramos o valor da 2ª. variável
 X – 3Y – 2Z = 6
 X – 3. (-3) – 2.2 = 6
 X +9 -4 = 6
 X = 6 – 9 +4
 X = 1 Encontramos o valor da 3ª. variável
Fazendo a Prova Real:
X – 3Y – 2Z = 6 		2X – 4Y – 3Z = 8		-3X+6Y+8Z = -5 
1 – 3(-3) – 2.2 = 6 2.1 – 4. (-3) – 3.2 =8 -3.1 +8(-3) + 8.2 = -5
1 + 9 – 4 = 6 2 + 12 -6 = 8 -3 -18 + 16 = -5
 6 = 6 8 = 8 -5 = -5 
Resposta; Solução: ( 1 , -3 , 2 )
.
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FÓRUM I 
–
 
ÁLGEBRA LI
NEAR
 
REALIZADO EM 23/
07/23 
 
O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares 
por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e que tenha a mesma solução 
do 
sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos de operações matemáticas que 
visam a eliminar variáveis.
 
 
U
se o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema de equações lineares a 
seguir.
 
 
 
Resposta:
 
 
Devemos
 
primeiro 
eliminar uma 
variável. No caso, escolh
emos
 
o “x”: 
 
Para isso, escolheremos 2 
equações
. 
 
Depois disso, vamos multiplicar uma das equações com o valor inverso de “x” afim de que 
possamos
 
anulá
-
lo. No caso, multiplicamos
 
a 1ª. equação por (
-
2) e conservar
emos
 
a outra 
equa
ção ( para igualarmos o valor de x porém um positivo e outro negativo)
 
E em seguida, efetuaremos a diferença entre elas:
 
 
 
X 
–
 
3Y 
–
 
2Z = 6 (
-
2) 
à
 
-
2x + 6Y + 4Z = 
-
12
 
2X 
--
 
4Y 
–
 
3Z = 8 
 
 
 
2X 
-
 
4Y 
–
 
3Z = 8
 
 
+2Y + Z = 
-
4 
à
 
1ª. EQUAÇÃO REDUZIDA
 
 
 
 
Faremos o mesmo processo utilizando outras duas equações. Agora, multiplicamos a 1ª. equação 
por 3 e conservaremos a outra equação;
 
E em segui
da, efetuaremos a diferença entre elas:
 
 
 
 
X 
–
 
3Y 
–
 
2Z = 6 x3 
à
 
3X 
–
 
9Y 
–
 
6Z = 18
 
-
3X+ 6Y + 8Z = 
-
5
 
-
3X+ 6Y + 8Z = 
-
5
 
 
-
3Y + 2Z = 13 
à
 
2ª. EQUAÇÃO REDUZIDA
 
 
 
Agora, trabalharemos a equação linear utilizando as duas equações reduzidas. 
 
Isolaremos uma variável: 
 
 
 
 
2Y + Z = 
-
4 
à
 
Z = 
-
4 
–
 
2Y
 
-
3Y + 2Z = 13
 
 
substituiremos a variável na equação:
 
 
 
FÓRUM I – ÁLGEBRA LINEAR 
REALIZADO EM 23/07/23 
O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares 
por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e que tenha a mesma solução 
do sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos de operações matemáticas que 
visam a eliminar variáveis. 
Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema de equações lineares a 
seguir. 
 
 
Resposta: 
 
Devemos primeiro eliminar uma variável. No caso, escolhemos o “x”: 
Para isso, escolheremos 2 equações. 
Depois disso, vamos multiplicar uma das equações com o valor inverso de “x” afim de que 
possamos anulá-lo. No caso, multiplicamos a 1ª. equação por (-2) e conservaremos a outra 
equação ( para igualarmos o valor de x porém um positivo e outro negativo) 
E em seguida, efetuaremos a diferença entre elas: 
 
 X – 3Y – 2Z = 6 (-2)  -2x + 6Y + 4Z = -12 
2X -- 4Y – 3Z = 8 2X - 4Y – 3Z = 8 
 +2Y + Z = -4  1ª. EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
 
 
Faremos o mesmo processo utilizando outras duas equações. Agora, multiplicamos a 1ª. equação 
por 3 e conservaremos a outra equação; 
E em seguida, efetuaremos a diferença entre elas: 
 
 
 X – 3Y – 2Z = 6 x3  3X – 9Y – 6Z = 18 
-3X+ 6Y + 8Z = -5 -3X+ 6Y + 8Z = -5 
 -3Y + 2Z = 13  2ª. EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
 
Agora, trabalharemos a equação linear utilizando as duas equações reduzidas. 
Isolaremos uma variável: 
 
 
 2Y + Z = -4  Z = -4 – 2Y 
-3Y + 2Z = 13 
 
substituiremos a variável na equação: