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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus: Guarapuava
UTFPR
Lista 2
Dados de Identificação
Professor: Johnny Albert dos Santos Lima
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharia Mecânica/Engenharia Civil
Problema 1 Encontrar as derivadas parciais de 1◦ e 2◦ ordem das funções :
a) f(x, y) =
√
x3 − xy + 6y4x.
b) f(x, y) = x2y − y3.
c) f(x, y) = sin x+ 2y − cosx2 − y.
d) f(x, y) = sin (x+ 2y)− cos (x2 − y).
e) f(x, y) = xxy + yyx.
Problema 2 Usando a definição, mostre que f(x, y) = x
1
5y
1
3 tem derivadas parciais na
origem, valendo
∂f
∂x
(0, 0) = 0,
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Problema 3 Seja f(x, y) =

xy
x2 + 5y2
; (x, y) ̸= (0, 0)
0; (x, y) = (0, 0).
Calcule
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂x
(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1).
Problema 4 Dada a função
f(x, y) =
{
2x+ y − 3; x = 1 ou y = 1
3; x ̸= 1 e y ̸= 1.
a) Calcular
∂f
∂x
(1, 1).
b) Calcular
∂f
∂y
(1, 1).
c) f é diferenciável em (1, 1)?
1
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Campus: Guarapuava
UTFPR
Problema 5 Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação
1
x
∂z
∂y
− 2
3y
∂z
∂x
= 0, para x ̸= 0 e y ̸= 0.
Problema 6 Indique quais das funções z = sin (x+ y) e z = cos (x+ y) satisfazem a
equação
∂z
∂x
− ∂z
∂y
= 0.
Problema 7 Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de
z = f(x, y) com o plano x = x0 no ponto P (x0, y0, z0).
a) z = 5x− 2y; P (3,−1, 17).
b) z =
√
x2 + y2 − 1; P (1,−1, 1).
Problema 8 Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos
pontos indicados:
a) f(x, y) =
√
1− x2 − y2; P1(0, 0, 1) e P2(
1
2
,
1
2
,
√
2
2
).
b) f(x, y) = xy; P1(0, 0, 0) e P2(1, 1, 1).
c) z =
√
(x− 1)2 + (y − 1)2; P1(1, 1, 0) e P2(1, 2, 1).
d) z = xex+y; P1(1, 1, f(1, 1)) e P2(1, 0, f(1, 0)).
Problema 9 Dada a função f(x, y) = e2x+3y:
a) Calcule
∂3f
∂x3
e
∂3f
∂y3
.
b) Verifique que
∂3f
∂y2∂x
=
∂3f
∂x∂y2
.
Problema 10 Determinar as derivadas parciais
∂w
∂u
e
∂w
∂v
.
a) w = x2 + 2y2 − z2, x = 2uv, y = u+ v.
b) w = xy + xz + yz, x = u− v, y = uv, z = u+ v.
Problema 11 Encontrar as derivadas parciais de 3◦ ordem da função
z = x+ y + x3 − x2 − y2.
Problema 12 Dada a função f(x, y) =
x
y
+x2+y2 com x = r cos θ e y = r sin θ, encontrar
∂f
∂r
e
∂f
∂θ
.
Problema 13 Usando a regra da cadeia, encontrar a derivada
dh
dt
com h(t) = f(x(t), y(t)),
paras as funções:
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a) f(x, y) = x2y.
b) f(x, y) = x2y + lnxy2.
c) f(x, y) = x+ y
Problema 14 Sabendo que a função diferenciável z = f(x, y) é definida pela equação
x4y + y3 + z3 + z = 5
determinar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
3