lista 2 Bases matemáticas

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Gabarito Terceira Lista de Exercícios
Disciplina: Bases Matemáticas - 2023/2
Docente: Bruno Carvalho Neves - CMCC.
e-mail: neves.bruno@ufabc.edu.br
Questão 1: Verificar quais dos seguintes conjuntos são vazios ou unitários:
1. A = ∅
2. B unitário.
3. C = ∅
4. D = ∅.
5. E unitário.
Questão 2: Representar, com notação de intervalo, os seguintes conjuntos:
1. [−3, 1).
2. [1, 2].
3. (−1, 3].
4. (−∞, 1].
5. (−1,∞).
6. (−∞, 3)
7. (−2, 4)
8. (−∞,∞)
9. ∅
Questão 3: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} e
C = {2, 4, 5}. Verificar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou
falsas:
1
1. A ⊂ B. F
2. A ⊂ C. F
3. B ⊂ A. V
4. B ⊂ C. F
5. C ⊂ A. V
6. ∅ ⊂ B. V
Questão 4: Mostrar a seguinte relação de inclusão:
{x ∈ N; 1 ≤ x3 ≤ 100} ⊂ {x ∈ N; 1 ≤ x2 ≤ 100}
Basta notar que ∀x ∈ N tem-se x3 ≥ x2 ≥ 1.
Questão 5: Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, achar todos os conjuntos
X 6= A tais que {1} ⊂ X e X ⊂ A.
X = {1}, X = {1, 2}, X = {1, 3}.
Questão 6: Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {b, d, e}, achar todos
os conjuntos X tais que X ⊂ A e X ⊂ B.
X = ∅, X = {b}, X = {d}, X = {b, d}.
Questão 7: Determinar todos os subconjuntos do conjunto A = {0, {1, 2}}.
P(A) = {∅, {0}, {{1, 2}}, {0, {1, 2}}}.
Questão 8: Mostrar que o conjunto A = {2, 3, 4, 5} não é um subconjunto
de B = {x ∈ N; x é par}.
Basta exibir um elemento de A que não seja elemento de B, no caso, x = 5.
Ou seja, existe algum elemento de A que não está no conjunto B.
Questão 9: Sendo A = {a}, determinar P(P(A))1.
1Onde P(A) é o conjunto das partes ou potência do conjunto A
2
P(P(A)) = {∅, {∅}, {{a}}, {∅, {a}}}
Questão 10: Determinar P(P(P(∅))). Feito na sala.
Questão 11: Demonstrar que E = F se e somente se P(E) = P(F ). Feito
na sala.
Questão 12: Demonstrar que E ⊂ F se e somente se P(E) ⊂ P(F ). Feito
na sala.
Questão 13: Seja A = {{∅}, ∅}. Verificar quais das seguintes sentenças são
verdadeiras ou falsas:
1. {{∅}} ∈ A F
2. ∅ ∈ A V
3. {∅} ∈ A V
4. {{∅}} ⊂ A V
5. ∅ ⊂ A V
6. {∅} ⊂ A F
Questão 14: Dados os conjuntos, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 6, 8} e
C = {3, 4, 5, 6} calcular
1. A ∩B = {2, 4}.
2. A ∩ C = {3, 4}.
3. B ∩ C = {4, 6}.
4. (A ∩B) ∩ C = {4}.
5. A ∩ (B ∩ C) = {4}. (associatividade!)
Questão 15:
a) [−1, 2) b) ∅ c) (−2, 0] d) [1, 2).
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Questão 16: Se A ⊂ C e B ⊂ C, então A ∩B ⊂ C. Provar.
Questão 17: Provar que: A ⊂ B e C ⊂ D então A ∩ C ⊂ B ∩D.
Questão 18: Provar que:
A ∩B = ∅ ⇒ A ∩BC = A e AC ⊂ BC ⇐⇒ A ∩B = B.
Questão 19: Demonstrar que E ∩ F = ∅ se e somente se
P(E) ∩ P(F ) = {∅}.
Questão 20: Demonstrar que P(E ∩ F ) = P(E) ∩ P(F ).
Questão 21: Se A ∩B = A e A ∩ C 6= ∅, então B ∩ C 6= ∅.
Questão 22: Dados os conjuntos, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} e
C = {3, 4, 5, 6} calcular
1. A ∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.
2. A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 8}.
4. (A ∪B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.
5. A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.
Questão 23: Calcular, dando o resultado com notação de intervalo:
1. (−∞,∞).
2. (−∞, 3];
3. [−1, 3]
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Questão 24: Determinar os elementos dos conjuntos X, Y e Z, sabendo
que:
X ∩ Y = {2, 4}, X ∪ Y = {2, 3, 4, 5}
e
X ∩ Z = {2, 3}, X ∪ Z = {1, 2, 3, 4}.
X = {2, 3, 4}, Y = {2, 4, 5} e Z = {1, 2, 3}.
Dica: Faça uso do diagrama de Venn.
Questão 25: Se A ⊂ B e C ⊂ D então A ∪ C ⊂ B ∪D. Provar.
Questão 26: Demonstrar: A ⊂ B ⊂ C ⇐⇒ A ∪B = B ∩ C..
Questão 27: Demonstrar: P(E) ∪ P(F ) ⊂ P(E ∪ F ). Dê um
contra-exemplo onde mostra que a igualdade não é satisfeita.
Questão 28: Seja |A| a cardinalidade de um conjunto finito, i.e., o número
de elementos do conjunto. Assim, considere os conjuntos finitos A e B.
Demonstrar que:
|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.
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Referências
[1] Armando Caputi e Daniel Miranda, Bases Matemáticas. Disponível em:
https://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/bm/.
[2] Edgard de Alencar Filho, Iniciação a Lógica Matemática, Nobel, 2017.
[3] Edgard de Alencar Filho, Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel, 17
ed., 1978.
[4] Peter D. Lax and Maria S. Terrell, Calculus with Applications, Springer,
2nd ed., 2014.
[5] Paul R. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Ciência Moderna, 2001.
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