Física do Movimento - webaula 4 - Vetores

Prévia do material em texto

Física do Movimento
D A T A 0 7 - 1 0 - 2 3 
E n g e n h a r i a C i c l o B á s i c o
W E B A U L A 3
D i s c i p l i n a :
Elias Arcanjo
P R O F E S S O R :
D A T A - - 2 0 2 3
Vetores
VETOR 
Origem
Extremidade
0
P
Linha de ação
𝜽
1 unidade
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA
𝑉 = (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦)
𝑜𝑢
𝑉 = 𝑉𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑉𝑦 Ƹ𝑗
𝑜𝑢
𝑉 = 𝑉𝑥 ො𝑎𝑥 + 𝑉𝑦 ො𝑎𝑦
𝑉
𝑦
𝑥
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA
𝑉 = (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦, 𝑉𝑧)
𝑜𝑢
𝑉 = 𝑉𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑉𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑉𝑧
෠𝑘
𝑜𝑢
𝑉 = 𝑉𝑥 ො𝑎𝑥 + 𝑉𝑦 ො𝑎𝑦 + 𝑉𝑧 ො𝑎𝑧
𝑉
MÓDULO DE UM VETOR
No plano: o módulo do vetor 𝑉 = (𝑥, 𝑦) é dado por:
𝑉 = 𝑥2 + 𝑦2
No espaço: o módulo do vetor 𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por:
𝑉 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²
VERSOR
Versor de um vetor não nulo Ԧ𝑣 é o vetor unitário de mesma direção e 
mesmo sentido de Ԧ𝑣
DETERMINANDO O VERSOR DE UM VETOR: 
Ԧ𝑣
ො𝑢𝑣
ො𝑢𝑣 =
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
VETOR DEFINIDO ENTRE DOIS PONTOS
O vetor 𝐴𝐵 definido entre os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é defino por:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (x2,y2,z2) − (x1,y1,z1) 
𝐴𝐵 = (x2−x1,y2−y1,z2−z1)
MÓDULO DE UM VETOR
O módulo do vetor 𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por:
𝑉 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²
EXEMPLO 1:
Uma partícula inicia seu movimento no ponto P(1,2,1) e termina no ponto 
Q(5,6,3). (a)Determine o vetor 𝑂𝑃, 𝑂𝑄 e 𝑃𝑄. (c) Determine a distância entre 
os pontos P e Q. (c) determine o versor do vetor 𝑃𝑄. O ponto O é a origem 
do sistema de coordenadas.
EXEMPLO 1:
Uma partícula inicia seu movimento no ponto P(1,2,1) e termina no ponto Q(5,6,3). (a)Determine o vetor
𝑂𝑃, 𝑂𝑄 e 𝑃𝑄. (c) Determine a distância entre os pontos P e Q. (c) determine o versor do vetor 𝑃𝑄. O ponto 
O é a origem do sistema de coordenadas.
SOLUÇÃO:
OPERAÇÕES COM VETORES: MULTIPLICAÇÃO DE 
UM VETOR POR UM ESCALAR
𝑨 𝟐𝑨
𝟏
𝟐
𝑨
−𝟏𝑨 −𝟐, 𝟓𝑨
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Observação: Um escalar que multiplica ou divide um vetor pode modificar a intensidade e o sentido 
do vetor original, mas não a direção do vetor.
REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA
Se 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 e n é um número pertencente ao conjunto dos números reais, 
temos:
𝑛𝑉 = 𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧
EXEMPLO 2:
Determine a direção e o sentido do vetor força elétrica que 
atua sobre as partículas 𝑞1e 𝑞2, ver figura. 
+
-
Ԧ𝐹 = 𝑞𝐸
OPERAÇÕES COM VETORES: SOMA DE VETORES
OPERAÇÕES VETORIAIS
❑ SOMA DE VETORES: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
❑ Regra do paralelogramo.
Ԧ𝐴
𝐵
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 
Ԧ𝐴
𝐵
|𝑅| = Ԧ𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 2| Ԧ𝐴||𝐵|𝑐𝑜𝑠𝜃
SOMA DE VETORES
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: REGRA DO POLÍGONO
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐶
Ԧ𝑆 = Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐶
REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA
Se Ԧ𝐴 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝐵 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , temos:
Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
OPERAÇÕES VETORIAIS
❑ SUBTRAÇÃO DE VETORES: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
❑ Construção de polígonos.
Ԧ𝐴
𝐵
𝑅´ = Ԧ𝐴 − 𝐵 
 
Problema 1: Represente graficamente o vetor soma e determine o módulo do vetor soma. 
Considere Ԧ𝑎 = 12 e 𝑏 = 16.
 
Problema 1: Represente graficamente o vetor soma e determine o módulo do vetor soma. 
Considere Ԧ𝑎 = 12 e 𝑏 = 16.
 
Problema Resolvido 1: Represente graficamente o vetor soma e determine o módulo do 
vetor soma. Considere Ԧ𝑎 = 6 e 𝑏 = 8.
https://youtu.be/8157CP4GseQ 
https://youtu.be/8157CP4GseQ
 
Problema Resolvido 2: Represente graficamente o vetor soma e defina 
seu módulo.
https://youtu.be/OfxowJT7AHE 
https://youtu.be/OfxowJT7AHE
PRODUTO ESCALAR
PRODUTO VETORIAL
PRODUTO ESCALAR
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝒄𝒐𝒔𝜽
DEFINIÇÃO
APLICAÇÕES:
• DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DE UM VETOR
• CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
• PROJEÇÃO DE UM VETOR NA DIREÇÃO DE UM 
VETOR UNITÁRIO
“Chama-se produto 
escalar, ou produto 
interno, a operação 
na qual se obtêm um 
número real a partir 
de dois vetores.”
PRODUTO ESCALAR: REPRESENTA ANALÍTICA
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 




++=
++=
kji
kji
222
211


zyxv
zyxu
 :que talv e u vetoresos Sejam

Ex1: Sejam os vetores 𝑢 = (3, 1, -2) e 𝒗 = (-1,2,0 ), determine o 
produto escalar:
Resposta:
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 3 ∙ −1 + 1 ∙ 2 + −2 ∙ 0
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = −3 + 2 + 0 = −1
EXEMPLO:
Ex3: Calcular o ângulo entre os vetores 𝒖 = (2, 1, -1) e 𝒗 = 
(4,0,-4 ).
Resposta
EXEMPLO:
Ex3: Calcular o ângulo entre os vetores 𝒖 = (2, 1, -1) e 𝒗 = 
(4,0,-4 ).
Resposta
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒖∙𝒗
𝒖 𝒗
=
(𝟐,𝟏,−𝟏)∙(𝟒,𝟎,−𝟒)
𝟐 2+𝟏2+ −𝟏 ² 𝟒 2+𝟎2+ −𝟒 ²
=
𝟖+𝟎+𝟒
𝟔 𝟑𝟐
 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟏𝟐
𝟔×𝟒 𝟐 
=
𝟑
𝟏𝟐 
=
𝟑
𝟐 𝟑 
∙
𝟑
𝟑
=
𝟑
𝟐
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟑
𝟐 
= 𝟑𝟎°
Produto Vetorial 
“ Chama-se produto vetorial a operação entre dois 
vetores na qual se obtêm um terceiro vetor ortogonal a 
estes dois vetores.” 




++=
++=
kji
kji
222
211


zyxv
zyxu
 :que talv e u vetoresos Sejam

𝑢 × Ԧ𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2 )Ԧ𝑖 + (𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2 )Ԧ𝑗 + (𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2 )𝑘
Produto Vetorial 
✓ Regra Prática
222
111det
zyx
zyx
kji
vu


=
222
111det
zyx
zyx
kji
vu


=
22
11
yx
yx
ji

=vu

)( 21 jxz

+  )( 21 kyx

+
)( 21 kxy

− )( 21 iyz

− )( 21 jzx

− 
)( 21 izy


𝑢 × Ԧ𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2 )Ԧ𝑖 + (𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2 +)Ԧ𝑗 + (𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2 )𝑘
✓ Regra de Sarrus
Obs2: 𝑣1 × 𝑣2 ≠ 𝑣2 × 𝑣1
Produto Vetorial 
Graficamente 
Assim podemos concluir que 𝑣1 × 𝑣2 = −𝑣2 × 𝑣1
EXEMPLO:
• Ex4: Sejam os vetores 𝒖 = (5, 4, 3) e 𝒗 = (1,0,1), determine o 
produto vetorial entre os vetores 𝒖 e 𝒗.
Respostas:
101
345det
kji
vu


=
101
345det
kji
vu


=
01
45
ji

=vu

)13( j

+ )05( k

+
)14( k

− )03( i

− )15( j

− 
)14( i


𝑢 × Ԧ𝑣 = (4 − 0)Ԧ𝑖 + (3 − 5 )Ԧ𝑗 + (0 − 4)𝑘
𝑢 × Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 2Ԧ𝑗 − 4𝑘
Obrigado!
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: Vetor 
	Slide 4: Representação de um vetor 
	Slide 5: Representação de um vetor 
	Slide 6
	Slide 7: Versor
	Slide 8: Vetor definido entre dois pontos
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12: Multiplicação de um vetor por um escalar
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16: Soma de vetores
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23: Produto escalar
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: Produto Vetorial 
	Slide 28: Produto Vetorial 
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34