AV - Semana 11 - Produto vetorial e produto misto - área e volume (1)

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<p>1</p><p>Álgebra Vetorial - Semana 11 - Produto vetorial e produto misto: área e volume</p><p>1. Produto vetorial (definido apenas em ℝ3)</p><p>• Produto vetorial de dois vetores: �⃗� × �⃗⃗� = �⃗�, 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟</p><p>�⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂ + 𝑎𝑧�̂� e �⃗⃗� = 𝑏𝑥𝑖̂ + 𝑏𝑦𝑗̂ + 𝑏𝑧�̂�</p><p>�⃗� × �⃗⃗� = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑖̂ + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)𝑗̂ + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)�̂� → |</p><p>𝑖̂ 𝑗̂ �̂�</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>|</p><p>�⃗� × �⃗⃗� = |</p><p>𝑖̂ 𝑗̂ �̂�</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>| = 𝑖̂ |</p><p>𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>| − 𝑗̂ |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑧</p><p>| + �̂� |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦</p><p>| (expansão em cofatores)</p><p>Exemplo 2. �⃗⃗⃗� × �⃗⃗⃗� é perpendicular a �⃗⃗⃗� e a �⃗⃗⃗�.</p><p>Considere os vetores �⃗⃗� = 〈1,2, −2〉 𝑒 �⃗� = 〈3,0,1〉. Verifique que �⃗⃗� × �⃗� é ortogonal a �⃗⃗� e a �⃗�.</p><p>Exemplo 3. Versores canônicos e a direção do produto vetorial.</p><p>Considere os versores canônicos 𝑖̂ = 〈1,0,0〉, 𝑗̂ = 〈0,1,0〉 𝑒 �̂� = 〈0,0,1〉. Calcule o produto vetorial de cada par</p><p>de versores.</p><p>Exemplo: Interpretação do módulo e da direção de �⃗⃗⃗� × �⃗⃗⃗� .</p><p>Sejam os vetores �⃗⃗� = 〈2,0,0〉 e �⃗� = 〈0,3,0〉 para calcular ‖�⃗⃗� × �⃗�‖. Relacione as direções de �⃗⃗�, �⃗� e �⃗⃗� × �⃗�.</p><p>• Módulo do produto vetorial:</p><p>- Pela identidade de Lagrange (verifique!):</p><p>‖�⃗⃗� × �⃗�‖2 = ‖�⃗⃗�‖2‖�⃗�‖2 − (�⃗⃗� ∙ �⃗�)2</p><p>‖�⃗⃗� × �⃗�‖ = ‖�⃗⃗�‖ ‖�⃗�‖ sin 𝜃 : á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 �⃗⃗� 𝑒 �⃗�</p><p>• Direção do produto vetorial: �⃗� × �⃗⃗� = ‖�⃗� × �⃗⃗�‖�̂�𝑁 = (‖�⃗�‖‖�⃗⃗�‖ sin 𝜃𝑎𝑏)�̂�𝑁 �̂�𝑁 ⊥ {�⃗�, �⃗⃗�}: regra mão direita</p><p>2</p><p>• Paralelismo: Se �⃗� × �⃗⃗� = 0 ∴ �⃗� ∥ �⃗⃗� (vetores são colineares)</p><p>• Propriedades: não comutatividade: �⃗� × �⃗⃗� = −�⃗⃗� × �⃗� e distributividade: �⃗� × (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� × �⃗⃗� + �⃗� × 𝑐</p><p>não associatividade do produto �⃗� × (�⃗⃗� × 𝑐) ≠ (�⃗� × �⃗⃗�) × 𝑐</p><p>Exemplos.</p><p>(a) Verifique que �⃗� × �⃗� = 0</p><p>(b) Compare os vetores 𝑖̂ × (𝑖̂ × 𝑗̂) 𝑒 (𝑖̂ × 𝑖)̂ × 𝑗̂. Compare os vetores 𝑖̂ × (𝑗̂ × �̂�) 𝑒 (𝑖̂ × 𝑗̂) × �̂�.</p><p>(c) Sejam �⃗� = 3𝑖̂ − 𝑗̂ + �̂� 𝑒 �⃗⃗� = 𝑖̂ + 2 𝑗̂ − �̂�, calcule �⃗� × �⃗⃗�. (i) pela definição e, (ii) pela distributividade.</p><p>(d) Determine a área do paralelogramo varrido pelos vetores do item (c).</p><p>(e) Encontre um vetor unitário e perpendicular aos vetores �⃗� = 𝑖̂ + 𝑗̂ 𝑒 �⃗⃗� = 𝑗̂ + �̂�.</p><p>(f) Encontre a equação do plano ao qual os pontos 𝑃(1,4,6), 𝑄(−2,5, −1) 𝑒 𝑅(1, −1,1) pertencem.</p><p>*Exemplo. Usar o produto vetorial para encontrar a lei dos senos.</p><p>*Exemplo. Aplicação - Torque de uma força em relação a um ponto pelo eixo de rotação: 𝜏 = 𝑟 × �⃗�.</p><p>Um parafuso é apertado por uma força de 40 𝑁 aplicada a uma chave de 0,25 𝑚 a força faz um ângulo de 600</p><p>com a direção da chave. Encontre a magnitude do torque em relação ao centro do parafuso.</p><p>- Observação sobre as magnitudes das componentes de 𝐴, paralelas e perpendiculares a direção 𝑒:</p><p>‖𝐴∥�̂�‖ = |𝐴 ∙ �̂�| 𝑒 ‖𝐴⊥�̂�‖ = ‖𝐴 × �̂�‖</p><p>2. Produto misto. 𝑐 ∙ (�⃗� × �⃗⃗�) = 𝑘, 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟</p><p>• Definição</p><p>𝑐 ∙ (�⃗� × �⃗⃗�) = (𝑐𝑥𝑖̂ + 𝑐𝑦𝑗̂ + 𝑐𝑧�̂�) ∙ (𝑖̂ |</p><p>𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>| − 𝑗̂ |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑧</p><p>| + �̂� |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦</p><p>|) = (𝑐𝑥𝑖̂ + 𝑐𝑦𝑗̂ + 𝑐𝑧�̂�) ∙ |</p><p>𝑖̂ 𝑗̂ �̂�</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>|</p><p>= 𝑐𝑥 |</p><p>𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>| − 𝑐𝑦 |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑧</p><p>| + 𝑐𝑧 |</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦</p><p>| (expansão em cofatores, primeira linha = comp. de 𝑐)</p><p>𝑐 ∙ (�⃗� × �⃗⃗�) = |</p><p>𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧</p><p>𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧</p><p>𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧</p><p>|</p><p>3</p><p>• Interpretação geométrica de |�⃗� ∙ (�⃗⃗� × 𝑐)|: volume do paralelepípedo formado pelos vetores no produto</p><p>|�⃗� ∙ (�⃗⃗� × 𝑐)| = | �⃗� ∙ ‖�⃗⃗� × 𝑐‖�̂�𝑁 | = ‖�⃗⃗� × 𝑐‖ |�⃗� ∙ �̂�𝑁| = ‖�⃗⃗� × 𝑐 ‖ | ‖�⃗�‖ cos 𝜃 |</p><p>(á𝑟𝑒𝑎) (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)</p><p>• Propriedade: 𝑐 ∙ (�⃗� × �⃗⃗�) = �⃗⃗� ∙ (𝑐 × �⃗�) = �⃗� ∙ (�⃗⃗� × 𝑐) (𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 �⃗�, �⃗⃗� 𝑒 𝑐)</p><p>• Vetores coplanares: 𝑐 ∙ (�⃗� × �⃗⃗�) = 0</p><p>Exemplos.</p><p>(a) Encontre o volume do paralelepípedo varrido pelos vetores �⃗� = 𝑖̂ + 3�̂�, �⃗⃗� = 2𝑖̂ + 𝑗̂ − 2�̂� 𝑒 𝑐 = 5𝑖̂ + 4�̂�.</p><p>(b) Use o produto escalar triplo para verificar que o vetor �⃗� × �⃗⃗� é ortogonal aos vetores �⃗� e �⃗⃗�.</p><p>(c) Use o produto escalar triplo, para verificar que os vetores �⃗� = 〈1,4, −7〉, �⃗⃗� = 〈2, −1,4〉 e 𝑐 = 〈0, −9,18〉</p><p>são coplanares.</p><p>4</p><p>Obs. Para usar o produto vetorial que está definido em ℝ3, considere a</p><p>coordenada 𝑧 de cada ponto do exercício sendo zero</p><p>_________________________________________________________________________________________________________</p><p>Respostas</p>