Aula 01 02 - Números inteiros e indução matemática

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Números inteiros e indução matemática
Apresentação
A Matemática é a ciência do raciocínio lógico e abstrato que se desenvolve por métodos dedutivos, 
objetos abstratos, como conjuntos numéricos, funções, figuras geométricas e as relações existentes 
entre eles. A fim de realizar seus estudos, a Matemática tem seu alicerce em sólidos e rigorosos 
conhecimentos, pois, para que um conceito seja matematicamente aceito, ele deve ser 
demonstrado por meio de um rigoroso processo lógico.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que você esteja 
familiarizado com as definições de conjuntos numéricos e álgebra elementar.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará os números inteiros e as propriedades que os 
definem. Além disso, você aprenderá diferentes tipos de demonstrações e os conectivos utilizados 
nelas. Por fim, desenvolverá demonstrações utilizando indução matemática.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir números inteiros e suas propriedades.•
Identificar os conectivos lógicos e os tipos de demonstrações.•
Explicar a indução matemática.•
Desafio
O princípio da indução finita é uma importante ferramenta matemática para a resolução de 
problemas e demonstrações matemáticas. No entanto, o uso dessa ferramenta não se restringe 
apenas a abstrações teóricas; ela também tem aplicações práticas.
A fim de tornar o aprendizado do princípio da indução finita mais estimulante e motivador, 
considere o proposto a seguir.
Dado o problema, apresente a solução.
Infográfico
As demonstrações matemáticas são essenciais para o desenvolvimento dessa ciência. Nesse 
sentido, inúmeras técnicas podem ser empregadas a fim de se atingir tal objetivo. Uma delas é o 
princípio da indução finita, que está baseado em três passos.
Acesse o Infográfico para conhecer os três passos fundamentais da indução finita.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 
acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/2daf1a84-3011-47cf-a205-2703d5ec067b/344f7133-9856-495c-bca0-7efb674091b1.jpg
Conteúdo do livro
A Matemática está presente em diferentes áreas do conhecimento, auxiliando no tratamento de 
dados, na visualização de resultados por meio de gráficos, no fornecimento de ferramental 
algébrico para a tratativa de diferentes tipos de problemas, etc. Apesar de a Matemática ser 
responsável por fornecer poderosas ferramentas analíticas empregadas por inúmeras outras áreas, 
a construção desse ferramental se inicia com a definição de conceitos abstratos e simples, para, 
posteriormente, serem demonstradas propriedades e estruturas mais complexas.
No capítulo Números inteiros e indução matemática, da obra Álgebra, base teórica desta Unidade 
de Aprendizagem, você estudará os conceitos iniciais de conjuntos e verá com mais detalhes o 
conjunto dos números inteiros, bem como as operações que estão definidas sobre eles. Por fim, 
verá os diferentes tipos de demonstrações matemáticas e o princípio da indução finita.
Boa leitura.
ÁLGEBRA
Fabio Santiago
Números inteiros e 
indução matemática
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir números inteiros e suas propriedades.
 � Identificar os conectivos lógicos e tipos de demonstração.
 � Explicar a indução matemática.
Introdução
Neste capítulo, você vai aprender importantes conceitos matemáticos 
que vão acompanhar você ao longo de sua formação. Inicialmente, você 
vai estudar a ideia intuitiva de conjuntos e do pertencimento ou não de 
um elemento a um determinado conjunto. Ainda no tema dos conjuntos, 
você vai estudar o conjunto dos números inteiros, quais operações estão 
definidas sobre eles e quais são as propriedades dessas operações.
Você também vai compreender um dos alicerces da matemática, que 
são as demonstrações e seus tipos. Toda a matemática se fundamenta 
nesse tipo de estratégia. Por fim, você vai estudar um dos princípios da 
matemática mais simples, que é o princípio da indução finita, que mostra 
propriedades que são verdadeiras para uma sequência de objetos, sem 
a necessidade de provar cada uma delas.
1 Conjunto dos números inteiros ℤ
Para compreender o conjunto dos números inteiros ℤ, faz-se necessário co-
nhecer alguns conceitos iniciais que auxiliam na construção do pensamento 
matemático. Como observam Iezzi e Murakami (2019), quando se considera 
a teoria dos conjuntos, há três noções que são aceitas sem definição, a saber: 
conjunto, elemento e pertinência entre um elemento e um conjunto.
Ainda segundo esses autores, na matemática, a noção de conjunto é pra-
ticamente a mesma que se utiliza na linguagem comum, ou seja, tem-se o 
sentido de agrupamento, classe; por exemplo: conjuntos dos meses de um ano, 
dos dias de um mês, de vogais, entre tantos outros. Assim, considerando-se 
que A é um conjunto e x é um elemento, se x pertence ao conjunto A, então se 
denota x ∈ A. Por sua vez, se x não pertence ao conjunto A, então se escreve x 
∉ A. A Figura 1 também demonstra essa notação de pertencimento.
Na matemática, o conjunto numérico matemático mais elementar é o con-
junto dos números naturais, o qual é denotado por ℕ e possui como elementos 
{1,2,3,4…}. Sobre esse conjunto, podem ser definidas as operações de soma 
e multiplicação.
Figura 1. Representação do conjunto 
A e a notação de pertencimento do 
elemento a ao conjunto A.
Uma extensão do conjunto dos números naturais é o conjunto dos nú-
meros inteiros, o qual é denotado por ℤ. Os seguintes elementos compõem 
esse conjunto: ℤ = {… –3,–2,–1,0,1,2,3, …}. Sobre esse conjunto, é possível 
distinguir três subconjuntos notáveis, a saber:
 � Conjunto dos números inteiros não negativos, denotado por ℤ+ = 
{0,1,2,3,…} = N; portanto, o conjunto dos números naturais é um sub-
conjunto de ℤ.
 � Conjunto dos números inteiros não positivos, denotados por ℤ– = 
{…,–3,–2,–1,0}.
 � Conjunto dos inteiros não nulos, denotados por ℤ* = {…–3,–2,–1,1,2,3,…}.
Números inteiros e indução matemática2
Sobre o conjunto dos números inteiros ℤ, podem ser definidas operações 
de adição e multiplicação, sendo para cada uma delas válidas as propriedades 
apresentadas a seguir.
Para saber mais sobre conjuntos numéricos, assista ao vídeo “Conjuntos Numéricos: 
Números Naturais e Inteiros” no canal Ferretto Matemática no YouTube.
Propriedades do operador adição (+) sobre 
o conjunto dos números inteiros ℤ
Dados quaisquer elementos a, b, c ∈ ℤ e o operador de adição (+), são válidas 
as propriedades descritas a seguir.
Associação em relação à adição: para quaisquer elementos a, b, c pertencentes 
ao conjunto dos números inteiros, matematicamente descrito por ∀ a, b, c ∈ 
ℤ, é válida a seguinte igualdade:
(a + b) + c = a + (b + c), ∀ a, b, c ∈ ℤ
Comutativa em relação à adição: para quaisquer elementos a e b pertencentes 
ao conjunto dos números inteiros, sendo matematicamente descrito por ∀ a, 
b ∈ ℤ, é válida a seguinte igualdade:
a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℤ
Elemento neutro da adição: existe e é único o elemento neutro da adição em 
ℤ, de modo a se obter a igualdade a seguir:
a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ Z, ∃!0 ∈ ℤ
3Números inteiros e indução matemática
Simétrico da adição: para todo a ∈ ℤ, existe –a ∈ ℤ, tal que a igualdade a 
seguir é mantida:
a + (–a) = (–a) + a = 0, ∀ a ∈ ℤ
Propriedades do operador multiplicação (∙) sobre 
o conjunto dos números inteiros ℤ
Dados quaisquer elementos a, b, c ∈ ℤ e o operador de multiplicação (∙), são 
válidas as propriedades descritas a seguir.
Associativa da multiplicação: dados quaisquer a, b, c ∈ ℤ, é válida a as-
sociatividade da multiplicação para esses elementos. Portanto, é válida a 
igualdade a seguir:
(ab)c = a(bc), ∀ a, b, c ∈ ℤ
Comutativa da multiplicação: dados quaisquer a, b ∈ ℤ, é válida a comuta-
tividade da multiplicação para esses elementos. Portanto, é válida a igualdade 
a seguir:
ab = ba, ∀ a, b∈ ℤ
Elemento neutro da multiplicação: existe e é único o elemento neutro da 
multiplicação em ℤ, para ∀ a ∈ ℤ, sendo válida a igualdade a seguir:
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a, ∀ a ∈ Z, ∃!1 ∈ ℤ
Distributiva da adição em relação à multiplicação: dados quaisquer a, b, 
c ∈ ℤ, bem como os operadores de adição (+) e de multiplicação (∙), é válida 
a distribuição da multiplicação em relação à adição à esquerda e à direita. 
Portanto, é válida a igualdade a seguir:
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c = b ∙ a + c ∙ a = (b + c) ∙ a, ∀ a, b, c ∈ ℤ
Números inteiros e indução matemática4
Divisibilidade no conjunto dos números inteiros ℤ
Sobre o conjunto dos números inteiros ℤ, é possível definir o conceito de 
divisor. Nesse sentido, diz-se que a ∈ ℤ é divisor inteiro de b ∈ ℤ, e se denota 
por a|b quando existe c ∈ ℤ tal que seja válida a seguinte igualdade: ca = b. 
Portanto, matematicamente, tem-se: 
a|b ⇔ (∃ c ∈ ℤ|c ∙ a = b)
Por exemplo:
–2|–14 ⇔ 7(–2) = –14
Quando se tem a divisor de b, diz-se que b é divisível por a ou que b é múltiplo de a.
2 Conectivos lógicos
Na matemática, você vai encontrar essencialmente quatro tipos de conectivos, 
a saber:
 � o conectivo “e”, denotado por “∧”;
 � o conectivo “ou”, denotado por “∨”;
 � o conectivo “se”, matematicamente denotado por “→”; e
 � o conectivo “se e somente se”, denotado por “↔”. 
A partir dos conectivos apresentados, e considerando-se as proposições 
“p” e “q”, obtêm-se a conjunção “p ∧ q", a disjunção “p ∨ q”, a condicional 
“p → q” e a bicondicional “p ↔ q”. A seguir, você vai estudar cada uma delas. 
5Números inteiros e indução matemática
Para saber mais sobre conectivos lógicos, assista ao vídeo “Lógica: conectivos lógicos” 
no canal Equaciona Com Paulo Pereira no YouTube.
Conjunção 
Sejam “p” e “q” duas proposições; ao se colocar o conectivo “e” denotado por 
“∧” entre elas, obtém-se uma nova proposição denominada conjunção entre 
“p” e “q”, a qual é denotada por “p ∧ q”. Por exemplo:
p: 3 > 0, q: 3 ≠ 1, p ∧ q: 3 > 0 e 3 ≠ 1
A conjunção “p ∧ q” será verdadeira apenas se ambas as proposições “p” 
e “q” são verdadeiras. Se uma delas for falsa, isso implica que “p ∧ q” é falso. 
A partir do exposto, obtém-se a tabela verdade expressa no Quadro 1.
“p” “q” “p ∧ q”
V V V
V F F
F V F
F F F
Quadro 1. Tabela verdade da conjunção
Números inteiros e indução matemática6
Disjunção 
Assim como para a conjunção, considere “p” e “q” duas proposições. Ao se 
colocar o conectivo “ou”, denotado por “∨”, entre elas, obtém-se uma nova 
proposição denominada disjunção entre “p” e “q”, a qual é denotada por 
“p ∨ q”. Por exemplo:
p: 4 > 0, q: 4 > 2, p ∨ q: 4 > 0 ou 4 > 2
A disjunção “p ∧ q” será verdadeira se ao menos uma das proposições “p” 
e “q” forem verdadeiras, e “p ∧ q” será falsa apenas se as duas proposições “p” 
e “q” forem falsas. A partir do exposto, obtém-se a tabela verdade apresentada 
no Quadro 2.
“p” “q” “p ∨ q”
V V V
V F V
F V V
F F F
Quadro 2. Tabela verdade da disjunção
Condicional 
Considere as proposições “p” e “q”. Ao se colocar o condicional “→” entre 
elas, é obtida uma nova proposição, dada por “p → q”, que se lê: se “p”, então 
“q”; portanto, “p é condição necessária para q” ou “q é uma condição suficiente 
para p”. Por exemplo:
 � p: quatro é divisor de oito (4|8);
 � q: oito é divisor de quarenta (8|40);
 � p → q: se quatro é divisor de oito, então quatro é divisor de quarenta.
7Números inteiros e indução matemática
O condicional “p → q” assume o valor de falso apenas quando “p” 
é verdadeira e “q” é falsa; caso contrário, “p → q” é verdadeiro. A partir do 
exposto, obtém-se a tabela verdade apresentada no Quadro 3.
“p” “q” “p → q”
V V V
V F F
F V V
F F V
Quadro 3. Tabela verdade da condicional “se”
Bicondicional 
Considere “p” e “q” duas proposições. Ao se colocar o conectivo “↔” entre 
elas, obtém-se uma nova proposição dada por “p ↔ q”, a qual se lê: “p” se e 
somente se “q”; ou “p” é uma condição necessária e suficiente para “q”; ou, 
ainda, se “p”, então “q” é reciprocamente. Por exemplo:
p: 2|12, q: 27|127, p ⇔ q: 2|12 ⇔ 27|127
O bicondicional “↔” assume valor verdadeiro apenas quando ambas as 
proposições “p” e “q” são verdadeiras, ou quando ambas simultaneamente 
são falsas. Caso contrário, o condicional “↔” é falso. A partir do exposto, 
obtém-se a tabela verdade mostrada no Quadro 4.
Números inteiros e indução matemática8
“p” “q” “p ↔ q”
V V V
V F F
F V F
F F V
Quadro 4. Tabela verdade da condicional “se e somente s…”
Tipos de demonstração 
A matemática é uma ciência formal, e todo o conhecimento desta se alicerça 
em um rigoroso formalismo logico matemático. Nesse sentido, uma importante 
ferramenta empregada na construção do conhecimento matemático é a de-
monstração, que tem como objetivo convencer o leitor sobre uma determinada 
argumentação matemática. A seguir, você vai aprender a demonstração por 
absurdo, a demonstração por contraexemplo e a demonstração por prova direta.
Segundo Mota e Carvalho (2011), a demonstração por contraexemplo 
tem como principal característica a negação da tese — ou seja, não é a tese 
que se deseja provar, mas, sim, a negação da hipótese. Para compreender esse 
conceito, considere o exemplo a seguir.
Se x2 – 6x + 5 é par, então x é ímpar. Para negar a tese neste caso, você deve afirmar 
que x, dessa forma, pode ser escrito como sendo x = 2k, sendo k ∈ ℕ. Voltando com 
essa afirmação no polinômio, tem-se:
A partir do desenvolvimento algébrico anterior, você pode concluir que x2 – 6x + 5 
é ímpar, o que contradiz a hipótese.
9Números inteiros e indução matemática
Outra ferramenta matemática para demonstração que você vai aprender é a 
demonstração por absurdo. Segundo Mota e Carvalho (2011), essa estratégia 
se caracteriza por assumir a validade da hipótese e assumir que a tese é falsa. 
Com essas informações, conclui-se um absurdo ao se chegar a uma proposição 
que contradiz a suposição levantada anteriormente. 
Para compreender como essa técnica funciona, vamos provar a irraciona-
lidade de por absurdo. Para isso, inicialmente, você deve negar a tese, ou 
seja, assumir que seja racional. Ao assumir que é racional, você então 
é capaz de encontrar dois números inteiros e positivos p e q tais que , 
sendo a fração uma fração irredutível — ou seja, p e q são primos entre si. 
Elevando-se ambos os lados da igualdade ao quadrado, e com algumas 
manipulações algébricas, tem-se:
Assim, a partir da igualdade anterior, você encontra p2, portanto, p também 
é par. Nesse sentido, você pode escrever p como sendo p = 2r, com p ∈ ℕ. 
Assim, tem-se que:
p2 = 2q2 ⇒ (2r)2 = 2q2 ⇔ 4r2 = 2q2 ⇒ q2 = 2r2
A partir da última expressão, você consegue concluir que q também é par, 
o que implica que a fração não é irredutível. Portanto, o absurdo a que se 
chega se deve ao fato de se ter feito a hipótese de que fosse racional, o que 
nos leva a desconsiderar esta e concluir que é racional.
Por fim, há a demonstração por prova direta. Segundo Mota e Carvalho 
(2011), a prova direta é bastante estimada pelos matemáticos, pois explica por 
meio de axiomas e resultados já provados a razão de validade da afirmação que 
está sendo demonstrada. Para você entender como esse tipo de demonstração 
funciona, suponha que queira demostrar que se n ∈ ℕ é um número ímpar, 
então n2 também é ímpar.
Números inteiros e indução matemática10
Assumindo-se que n ∈ ℕ é um número ímpar, então existe um número 
natural k ∈ ℕ tal que é válida a igualdade n = 2k + 1. Assim, elevando-se am-
bos os lados da última igualdade ao quadrado, e com algumas manipulações 
algébricas, tem-se:
n = 2k + 1
⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2) + 1
⇒ n2 = 2(2k2 + 2) + 1
Da última igualdade, conclui-se que n2 é ímpar.
Teoremas são proposições verdadeiras que podem ser verificadas diante de uma 
demonstração. Nesse sentido, podem ser validados a partir da hipótese (o que é 
assumido como verdade), e tem-se como objetivo chegar à tese (que é aquilo que 
se quer demostrar).3 Princípio da indução matemática 
Neste último tópico, você vai aprender um dos princípios mais importantes 
da matemática, conhecido como princípio da indução finita. Este é empre-
gado para demostrar que uma sequência de proposições P(1), P(2), …, P(n) 
é verdadeira sem que seja necessário realizar a prova para cada uma delas. 
De acordo com Mota e Carvalho (2011), ao fazer uso do princípio da indução 
matemática, basta mostrar que P(1) é verdadeira; em seguida, deve-se supor 
que P(k) é verdadeira e, por fim, mostrar que P(k + 1) é verdadeira. Nesse tipo 
de demonstração, P(k) é denominada hipótese de indução.
11Números inteiros e indução matemática
Para compreender como funciona o princípio da indução, suponha que 
você queira demonstrar que a sequência:
é verdadeira para todo n ∈ ℕ. Assim, inicialmente, você deve mostrar que 
P(1) é verdadeira; assim:
portanto, a igualdade é válida. Como segundo passo, você deve supor que a 
propriedade é válida para uma quantidade, assumindo assim a hipótese de 
indução:
No terceiro e último passo, você deve mostrar que ela é válida para P(k + 1). 
Assim, tem-se:
Dessa forma, ao assumir P(k) como verdadeira, foi possível provar que 
P(K + 1) é verdadeira, concluindo assim a demonstração.
Números inteiros e indução matemática12
Para saber mais sobre indução matemática, assista ao vídeo “Princípio de Indução 
Matemática” no canal Programa de Iniciação Científica da Olimpíada Brasileira de 
Matemática das Escolas Públicas no YouTube.
De acordo com Hefez (2009), a demonstração mostrada no exemplo anterior 
foi feita pela primeira vez por Francesco Maurolycos no ano de 1575. É impor-
tante compreender que a indução matemática é diferente da indução empírica. 
Como observa Hefez (2009), essa última, após um número necessariamente 
finito de experimentos, permite formular leis gerais que regem o movimento. 
Tais leis são válidas até que seja provado o contrário. Já uma demonstração 
por indução matemática consiste em determinar que certa sentença aberta 
sobre os naturais é sempre verdadeira.
Utilizando o princípio da indução finita, demonstre que para todo número natural 
n é válida a igualdade dada a seguir, ou seja, o somatório dos n primeiros números 
ímpares é igual a n2.
1 + 3 + ⋯ + (2n – 1) = n2
Solução:
Inicialmente, você deve mostrar que a fórmula é válida para n = 1. Para isso, basta 
verificar que:
1 = 12
No segundo passo, você deve supor que P(n) é válida para algum n ∈ ℕ, ou seja, que:
1 + 3 + ⋯ + (2n – 1) = n2
Por fim, você deve demonstrar que P(n + 1) é verdadeira. Após (2n – 1), o próximo 
número ímpar é (2n + 1). Somando esse número em ambos os lados da última igual-
dade, obtém-se:
1 + 3 + ⋯ + (2n – 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)
13Números inteiros e indução matemática
Com algumas manipulações algébricas, é fácil mostrar que n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. 
Logo, voltando com essa igualdade para P(n + 1), tem-se:
1 + 3 + ⋯ + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
A igualdade anterior mostra que P(n + 1) é verdadeira sempre que P(n) é verdadeira. 
Assim, pelo princípio da indução finita, a fórmula é válida para todo n ∈ ℕ.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Conjunto-elemento-persistência. In: IEZZI, G.; MURAKAMI, C. 
Fundamentos de matemática elementar. 9. ed. São Paulo: Saraiva Didáticos, 2019. v. 1, 
cap. II, p. 18–38.
MOTA, M. C.; CARVALHO, M. P. de. Os diferentes tipos de demonstrações: uma reflexão 
para os cursos de licenciatura em matemática. Revista da Educação Matemática da 
UFOP, v. I, 2011. Disponível em: https://wdz.eng.br/WDK/MetodosDemonstracao.pdf. 
Acesso em: 24 set. 2020.
Leituras recomendadas
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica matemática. 
São Paulo: Cengage Learning, 2011.
HEFEZ, A. Indução matemática. [S. l.: s. n.], 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.
br/docs/apostila4.pdf. Acesso em: 24 set. 2020.
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cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
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local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Números inteiros e indução matemática14
Dica do professor
O conhecimento matemático é resultado de um processo histórico, e não da iniciativa individual de 
um único indivíduo. Assim, teorias e ferramentas matemáticas vão sendo desenvolvidas e 
acumuladas, alicerçando os passos que serão dados adiante. O princípio da indução finita, por 
exemplo, tem uma menção, ainda que rudimentar, na obra Os elementos de Euclides, em 300 a.C. No 
entanto, sua formalização foi ocorrer apenas com Peano por volta de 1897.
Nesta Dica do Professor, aprenda a empregar o método da indução finita, a partir da demonstração 
de como determinada expressão algébrica é capaz de fornecer a soma nos n primeiros números 
naturais, sem a necessidade de calcular cada um deles.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/c83dc08e62813027755511aaf0ce9adb
Exercícios
1) Considere o enunciado: 
Clique aqui
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) I e II.
E) II e III.
2) Os conectivos na Matemática servem para unir duas proposições p e q, a fim de se obter 
uma nova proposição, que pode ser verdadeira ou falsa. Os principais conectivos lógicos são 
a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.
Nesse contexto, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Se p: para todo a e b I, então q: a/b é um número irracional I.
PORQUE
II. Para quaisquer a e b I operacionalizados, o resultado é um número irracional.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.
3) 
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/290352da-4d43-42ee-9b4d-b25d86b34351/5268fe15-191d-46f0-a90b-f717a6a966d3.pdf
O conhecimento matemático tem, como um de seus alicerces, as demonstrações, as quais 
têm como objetivo convencer o leitor a respeito de determinada argumentação matemática.
Sobre as demonstrações matemáticas, julgue as afirmações que seguem e marque V para as 
verdadeiras e F para as falsas:
( ) Em teoria dos conjuntos, os conceitos de elemento e pertencimento a um conjunto são 
aceitos mediante as demonstrações. 
( ) Em uma demonstração por contraexemplo, o objetivo é a negação da tese. 
( ) Em uma demonstração por absurdo, assume-se a validade da hipótese e que a tese é 
falsa, chegando, assim, a um absurdo. 
( ) É possível demonstrar que √2 é racional por absurdo.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta de preenchimento das lacunas, de 
cima para baixo:
A) V – V – F – F.
B) F – V – F – V.
C) F – V – V – F.
D) V – F – F – V.
E) V – F – V – F.
4) Importante ferramenta matemática para demonstração, esta estratégia se caracteriza por 
assumir a validade da hipótese e assumir que a tese é falsa. Com essas informações, conclui-
se ______________, ao se chegar a uma proposição que contradiz a suposição levantada 
anteriormente.
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna:
A) uma obviedade.
B) uma coerência.
C) uma indução.
D) um absurdo.
E) uma afirmação.
5) Este princípio é utilizado para demonstrar que uma sequência de proposições P(1), P(2), K, 
P(n) é verdadeira, sem que seja necessário realizar a prova para cada uma delas. Para isso, 
demonstra-se que é válido para P(1), assume-seválido para P(k) e se demonstra para P(k+1).
Assinale a alternativa que define corretamente o princípio explanado:
A) Perturbação.
B) Singularidade.
C) Isomorfismo.
D) Otimização.
E) Indução finita.
Na prática
Atualmente, um dos maiores desafios dos professores de Matemática está em unir teoria e prática, 
pois, muitas vezes, a Matemática é vista pelos alunos como uma ciência abstrata e sem conexão 
com o mundo.
Neste Na Prática, conheça o professor João e veja como ele aproximou teoria e prática em suas 
aulas de Matemática a partir de um exemplo 
de aplicação dessa ciência na Biologia.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/2861bb12-e1ee-4841-a792-4e452e801855/e1ca7650-cbfe-4ec1-b128-63931a812c2b.jpg
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Álgebra linear com aplicações
A álgebra linear é uma ciência com inúmeras aplicações. Nesta obra, você encontrará algumas das 
principais aplicações dessa disciplina.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Álgebra linear contemporânea
O estudo desta obra enriquecerá o seu entendimento sobre a álgebra linear. Aproveite.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Demonstrações
As demonstrações são fundamentais na Matemática. Neste vídeo, disponibilizado pela Univesp, 
aprenda inúmeras técnicas para a realização das demonstrações matemáticas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender números inteiros e indução matemática, é importante que você treine fazendo 
diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/I92EYq0FLaU
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/892394559/37513-saiba-mais-lista-exercicios.pdf?v=347488213