material com questão -I

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b) \(\sin(2x)\) 
 c) \(\cos^2(x)\) 
 d) \(2\sin(x)\) 
 **Resposta: a) \(2\sin(x) \cos(x)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, obtemos \(2\sin(x) \cos(x)\). 
 
22. **Qual é a integral definida de \(\frac{1}{x^2 + 4}\) de \(0\) a \(2\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{8}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\) avaliada de \(0\) a 
\(2\), resultando em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
23. **Calcule a integral indefinida \(\int x e^{-x^2} \, dx\).** 
 a) \(-\frac{e^{-x^2}}{2} + C\) 
 b) \(\frac{e^{-x^2}}{2} + C\) 
 c) \(-e^{-x^2} + C\) 
 d) \(\frac{e^{-x^2}}{2x} + C\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{e^{-x^2}}{2} + C\)** 
 **Explicação:** Usando substituição, obtemos \(-\frac{e^{-x^2}}{2} + C\). 
 
24. **Qual é a derivada de \(f(x) = \cos(x) \cdot \ln(x)\)?** 
 a) \(-\sin(x) \cdot \ln(x) + \frac{\cos(x)}{x}\) 
 b) \(-\sin(x) \cdot \ln(x) - \frac{\cos(x)}{x}\) 
 c) \(\sin(x) \cdot \ln(x) + \frac{\cos(x)}{x}\) 
 d) \(\sin(x) \cdot \ln(x) - \frac{\cos(x)}{x}\) 
 **Resposta: a) \(-\sin(x) \cdot \ln(x) + \frac{\cos(x)}{x}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, obtemos \(-\sin(x) \cdot \ln(x) + 
\frac{\cos(x)}{x}\). 
 
25. **Qual é a integral indefinida de \(e^{-2x}\)?** 
 a) \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\) 
 b) \(\frac{e^{-2x}}{2} + C\) 
 c) \(-\frac{e^{-x}}{2} + C\) 
 d) \(\frac{e^{-x}}{2} + C\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(e^{-2x}\) é \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\). 
 
26. **Calcule a integral definida de \(\frac{1}{x}\) de \(1\) a \(e\).** 
 a) \(1\) 
 b) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 c) \(e - 1\) 
 d) \(e\) 
 **Resposta: b) \(\ln(e) - \ln(1)\)** 
 **Explicação:** A integral é \(\ln|x|\) avaliada de \(1\) a \(e\), que resulta em \(\ln(e) - 
\ln(1) = 1\). 
 
27. **Determine a integral indefinida de \(\sin(x) e^x\).** 
 a) \(\sin(x) e^x - \cos(x) e^ 
 
x + C\) 
 b) \(\sin(x) e^x + \cos(x) e^x + C\) 
 c) \(\sin(x) e^x - \cos(x) e^x\) 
 d) \(\sin(x) e^x - \cos(x) e^x + C\) 
 **Resposta: a) \(\sin(x) e^x - \cos(x) e^x + C\)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \(\sin(x) e^x - \cos(x) e^x + C\). 
 
28. **Qual é a derivada de \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)?** 
 a) \(\frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\) 
 b) \(\frac{x \cos(x) + \sin(x)}{x^2}\) 
 c) \(\frac{\cos(x) - \sin(x)}{x}\) 
 d) \(\frac{\cos(x)}{x}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do quociente, obtemos \(\frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\). 
 
29. **Calcule a integral indefinida de \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\).** 
 a) \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C\) 
 b) \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{2} + C\) 
 c) \(\frac{(x^2 + 1)^{1/2}}{2} + C\) 
 d) \(\frac{(x^2 + 1)^{1/2}}{2} + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C\)** 
 **Explicação:** Usando substituição, obtemos \(\frac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C\). 
 
30. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)?** 
 a) \(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 b) \(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 c) \(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 d) \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, obtemos \(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 
31. **Determine a integral definida de \(\cos^2(x)\) de \(0\) a \(\pi\).** 
 a) \(\pi\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{4}\) 
 d) \(\frac{3\pi}{4}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{\pi}{2}\)** 
 **Explicação:** Usando a fórmula \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
32. **Qual é a integral indefinida de \(\frac{1}{x^3}\)?** 
 a) \(-\frac{1}{2x^2} + C\)