material com questão -H

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a) \(1\) 
 b) \(0\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(-1\) 
 **Resposta: a) \(1\)** 
 **Explicação:** A integral é \([ -e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1\). 
 
11. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\)?** 
 a) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 - 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan^{-1}(x)\) é \(\frac{1}{x^2 + 1}\). 
 
12. **Qual é a integral indefinida de \(\frac{1}{x \ln(x)}\)?** 
 a) \(\ln|\ln(x)| + C\) 
 b) \(\ln|x| + C\) 
 c) \(\frac{\ln(x)}{x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 **Resposta: a) \(\ln|\ln(x)| + C\)** 
 **Explicação:** Usando substituição, obtemos \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 
13. **Determine a integral definida \(\int_{0}^{1} x^3 \, dx\).** 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{5}\)** 
 **Explicação:** A integral é \([\frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\). 
 
14. **Qual é a derivada de \(f(x) = x e^{x^2}\)?** 
 a) \(e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2} (1 + 2x^2)\) 
 c) \(e^{x^2} (2x + x^2)\) 
 d) \(e^{x^2} (2x + 1)\) 
 **Resposta: b) \(e^{x^2} (1 + 2x^2)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto e da cadeia, obtemos \(e^{x^2} + 2x^2 e^{x 
 
^2}\). 
 
15. **Qual é a integral indefinida de \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)?** 
 a) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\cos^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\ln|\sqrt{1 - x^2}| + C\) 
 d) \(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C\) 
 **Resposta: a) \(\sin^{-1}(x) + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) é \(\sin^{-1}(x) + C\). 
 
16. **Calcule a integral indefinida \(\int x^2 \ln(x) \, dx\).** 
 a) \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) 
 b) \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{6} + C\) 
 c) \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} + \frac{x^3}{6} + C\) 
 d) \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} + \frac{x^3}{3} + C\) 
 **Resposta: b) \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{6} + C\)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \(\frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{6} 
+ C\). 
 
17. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + x + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) 
 b) \(\frac{x + \frac{1}{2}}{x^2 + x + 1}\) 
 c) \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + x + 1}\) 
 d) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(\ln(x^2 + x + 1)\) é \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\). 
 
18. **Determine a integral definida \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\).** 
 a) \(\frac{1}{2} - 1\) 
 b) \(1 - \frac{1}{2}\) 
 c) \(-\frac{1}{2}\) 
 d) \(-1\) 
 **Resposta: b) \(1 - \frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** A integral é \([ -\frac{1}{x}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}\). 
 
19. **Qual é a derivada de \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)?** 
 a) \(\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\) 
 b) \(\frac{1 + x^2}{(x^2 + 1)^2}\) 
 c) \(\frac{1 - x^2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do quociente, obtemos \(\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 
 
20. **Calcule a integral indefinida \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\).** 
 a) \(\text{Ei}(x) + C\) 
 b) \(\frac{e^x}{x} + C\) 
 c) \(e^x \ln(x) + C\) 
 d) \(\ln|e^x| + C\) 
 **Resposta: a) \(\text{Ei}(x) + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{e^x}{x}\) é conhecida como a função integral 
exponencial, \(\text{Ei}(x) + C\). 
 
21. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sin^2(x)\)?** 
 a) \(2\sin(x) \cos(x)\)