Princípio da conservação do momento linear

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Objetivos
Módulo 1
Momento linear, a quantidade de movimento
identificar o momento linear.
Acessar módulo
Princípio da
conservação do
momento linear
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
Descrição
Conceitos qualitativos e quantitativos de
dinâmica e impulso, definição de momento
linear e sua relação com a força,
conservação do momento linear e suas
aplicações, colisões totalmente elásticas,
parcialmente elásticas e colisões plásticas.
Propósito
Relacionar os conceitos de momento linear e
impulso a aplicações práticas.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos
papel, caneta e uma calculadora científica, ou
use a calculadora de seu
smartphone/computador.
Módulo 2
Aplicação do conceito da conservação do momento
linear
Reconhecer o princípio da conservação do momento linear.
Acessar módulo
Módulo 3
Estudo das colisões
Identificar os tipos de colisão.
Acessar módulo
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os
principais pontos que serão abordados neste conteúdo.

1
Momento linear, a quantidade de movimento
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar o momento linear.
Vamos começar!
Momento e impulso
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.
Momento linear
O momento linear ou quantidade de movimento é uma grandeza vetorial
representada pelo vetor . Esse vetor pode ser:

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional
O momento linear é definido como sendo o produto da massa de um
corpo pela velocidade por ele desenvolvida, como mostra a equação (1):
Eq. 1

→P
→P = m→v
Também pode existir uma variação infinitesimal da velocidade, o que faz
com que a equação (1) se torne:
Eq. 2
A unidade no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) para o impulso é o
quilograma metros por segundo . Note que, na equação (1) e na
equação (2), o momento é uma grandeza vetorial, dessa forma ela
possui módulo, direção e sentido.
Vamos entender melhor. Se você está vendo um carro se locomover,
esse carro possui momento linear. Para determiná-lo, vamos considerar
a velocidade desse carro e a sua massa. Viu? Um exemplo simples e
cotidiano da observação do momento linear.
Agora, vamos exemplificar o momento linear de um conjunto de corpos.
Imagine um soldado prestes a arremessar uma granada. No momento
em que a granada sai da mão do soldado, ela é um único corpo. Todavia,
após alguns segundos, essa granada explode e se transforma em
diversos fragmentos, que continuam a trajetória do arremesso.
Antes da explosão, tínhamos o momento linear de um
corpo. Após a explosão, passamos a ter um momento
linear referente ao conjunto dos fragmentos da
granada após a explosão.
Veja este exemplo:
→P = m∫ dv
−→
( kg.m
s )
Atenção!
O momento tanto se aplica a uma única
partícula ou a um único corpo, como a um
conjunto de partículas ou de corpos.

Representação da explosão de uma granada e da trajetória de seus fragmentos.
A representação da explosão demonstra que os fragmentos da granada
continuam a trajetória original do lançamento da granada. Assim, o
momento linear do conjunto após a explosão é igual ao somatório dos
momentos lineares de cada fragmento, como mostra a equação (3), que
é a equação do momento linear para um conjunto de partículas:
Eq. 3
Vamos considerar que essa granada de massa M é arremessada com
uma velocidade . Logo, temos como momento linear .
Agora, vamos considerar que 3 segundos depois a granada exploda, e
se divida em 100 fragmentos de massas iguais a m, com velocidades
coplanares (ou seja, velocidades existentes no mesmo plano
cartesiano), paralelas e de mesmo módulo.
Assim, o momento linear após a explosão passa a ser:
Eq. 4
Como as massas e as velocidades são iguais, e são 100 fragmentos,
podemos escrever:
Eq. 5
Momento linear do arremesso da
granada
Veja uma demonstração do cálculo relacionado ao momento linear do
arremesso da granada.
→P = ∑m→v
→v →P = Mv0
−→
→P = m→v+m→v+m→v…
→P = 100m→v

Impulso
Um corpo, ao ser deslocado pela ação de uma força, realiza trabalho,
mas não só isso. A sua mudança de velocidade também faz com que
haja um impulso no corpo. E esse impulso é definido como sendo o
produto da força pelo tempo em que ela atua sobre o corpo. Observe:
Eq. 6
Ao contrário da energia e do trabalho, o impulso é uma grandeza
vetorial, e não uma grandeza escalar, e a sua unidade no (S.I.) é o
quilograma-metro por segundo (kgm/s), como na determinação do
momento linear, ou o newton segundo (N.s.).
O impulso representa a variação da quantidade de
movimento que um corpo sofre e, por isso, ele também
pode ser definido por esta variação de quantidade de
movimento, ou por seu outro nome: variação do
momento linear.
Vejamos uma demonstração. Temos que o impulso é:
Eq. 7
Da Segunda Lei de Newton, temos que ,e da Cinemática
sabemos que , assim:
Eq. 8
Então, integrando:
Eq. 9
→I = ∫
t
t0
→Fdt
→I = ∫
t
t0
→Fdt
→F = m→a
→a = dv
dt
→I = m∫
t
t0
dv
dt
dt
→I = m∫
v
v0
dv
−→
Como o impulso é uma grandeza vetorial, ela possui direção, módulo e
sentido, porém, apesar disso, o impulso não define a direção, módulo,
nem sentido do trabalho.
Vamos exemplificar sua aplicação.
Teoria na prática
Um automóvel de 700kg se locomove a uma velocidade constante de
72km/h, quando percebe que outro automóvel se aproxima dele com
uma velocidade relativa de 36km/h. Qual deve ser o impulso aplicado ao
primeiro automóvel para que ele iguale a sua velocidade à do segundo
automóvel?
A Segunda Lei da Mecânica Clássica (Segunda Lei de Newton) teve sua
dedução a partir do conceito de impulso. Essa lei assumiu forma
quando Newton variou o impulso em função do tempo. Newton
percebeu que, ao oferecer certo impulso a um corpo por alguns
instantes, uma força atua no corpo, fazendo-o realizar trabalho.
Dessa forma, observe:
→I = m→v
v
v0
→I = m→v−mv0
→I = →P − →P0
→I = Δ →P∣−→
_black
Mostrar solução
 Matematicamente, temos:
Δ →P = →F ⋅ Δt
 Na forma diferencial, temos:
d →P = →F ⋅ dt
A equação (10) é a Segunda Lei de Newton em sua forma diferencial,
uma vez que sabemos da Cinemática que a aceleração é a variação da
velocidade em função do tempo:
Grá�co de impulso
O gráfico de impulso é um gráfico do tipo Força por tempo . Veja
um exemplo:
Um corpo sofrendo um impulso positivo.
 Então, podemos isolar a força e obter:
→F = d →P
dt
 Note na equação que o vetor , então:→p = mv
→F = d(m→v)
dt
 Como m é uma grandeza escalar e constante:
 Eq. (10)→F = m d→v
dt
→a =
Δv
Δt
=
dv
dt
−→−→
→F × t
Um corpo sofrendo um impulso negativo.
Ambos os gráficos são lineares. O gráfico em (A) é um gráfico linear de
uma função afim crescente, e o gráfico em (B) é um gráfico linear de
uma função afim decrescente.
Tudo bem, mas como a gente determina o impulso através desse
gráfico?
Observe o próximo gráfico:
Gráfico de impulso com escala.
Temos um gráfico com escalas de força e tempo. A força está em
Newtons e o tempo em segundos. Vamos agora aprender a determinar o
impulso através da observação do gráfico.
Primeiro, devemos definir o intervalo de tempo ao qual queremos
determinar o impulso. Vamos primeiro fazê-lo de 0 a 3 segundos. Agora
que o intervalo de tempo foi definido, determinar o impulso é simples.
Basta calcular a área embaixo da curva existente entre 0 e 3s.
O gráfico a seguir demonstra essa área:
Resposta
Nós retiramos o impulso através da área
embaixo dessa reta. Vamos demonstrar
como?

Área selecionada para o cálculo do impulso.
A área escolhida está em azul. Note que ela forma um trapézio em que a
base menor (b) tem uma medida de 3N, a base maior (B) uma medida
de 5N e a altura (h) de 3s. Da geometria plana, sabemos que a área de
um trapézio é:
Eq.11
Substituindo os valores da equação (11), temos como área o valor de
12N.s ou 12kgm/s. Assim:
Eq. 12
O que nos mostra que o impulso é de:
Eq. 13
Agora, vamos determinar o impulso entre 3 e 6 segundos. Note que
também estamostratando de um trapézio, em que , e
.
Utilizando a equação (11), temos como área o valor de 16,5, assim, o
impulso nessa região do gráfico é:
Eq. 14
Note que as forças atuantes nos gráficos não são forças constantes,
mas, ao invés disso, são forças que mudam seus módulos com o passar
do tempo. Dessa forma, a única maneira que temos de identificar o
Atrapézio  =
(b+B) ⋅ h
2
Atrapézio  =
(3 + 5) ⋅ 3
2
I = 12N ⋅ s
b = 3N ,B = 8N
h = 6 − 3 = 3s
Atrapézio  =
(3 + 8) ⋅ 3
2
= 16, 5
I = 16, 5 N ⋅ s
impulso atuante no sistema é através da análise gráfica. Neste caso, se
você tentar utilizar as equações (6) ou (9) para determinar o impulso,
você obterá um valor não verdadeiro. Isso porque ambas as equações
levam em conta que a força atuante no sistema é uma força constante.
A teoria de impulso nos permite realizar importantes análises sobre um
sistema, todavia, para análises mais completas, essa teoria
normalmente é combinada com a teoria de energia mecânica.
Mão na massa
Questão 1
Um objeto de 2kg se locomove com velocidade de 25m/s. Seu
momento linear é igual a
Questão 2
Um objeto de 30kg se move com velocidade constante de tal modo
que seu momento linear é equivalente a 78kgm/s. Sua velocidade é
igual a

A 50kgm/s.
B 12,5kgm/s.
C 100kgm/s.
D 625kgm/s.
E 700kgm/s.
Responder
A 0,8m/s.
B 1,1m/s.
Questão 3
Um automóvel percorre 30km em 15 min. O peso dele somado ao
do motorista é de 721kg. Supondo a velocidade constante, o
momento linear deste automóvel é igual a
Questão 4
Um veículo que se movimenta a uma velocidade de 0,5m/s e tem
momento linear de tem massa igual a
C 1,9m/s.
D 2,6m/s.
E 2,9m/s.
Responder
A 24.033,33kgm/s.
B 22.022,33kgm/s.
C 25.055,55kgm/s.
D 21.230,88kgm/s.
E 21.599,77kgm/s.
Responder
2 × 106 kg ⋅ m/s
A 4 x 106kg.
B 8 x 106kg.
Questão 5
Um objeto voador se move de acordo com a função: v(t) = 3t²-2t+5.
Se este objeto tem massa de 840kg, seu momento linear, em t =
30s, é igual a
Questão 6
Um carro de 700kg viaja a 80km/h, quando freia por um espaço de
50m, e então passa a trafegar com 55km/h. O impulso aplicado
pelos freios ao carro é de
C 12 x 106kg.
D 5 x 106kg.
E 3 x 106kg.
Responder
A 1,6 x 106kgm/s.
B 1,8 x 106kgm/s.
C 2,2 x 106kgm/s.
D 2,0 x 106kgm/s.
E 1,0 x 106kgm/s.
Responder
A 4.300N s.⋅
Questão 1
Uma bola de golfe de 0,5kg está rolando no gramado com
velocidade de 0,5m/s, quando uma pessoa com um taco de golfe
lhe aplica uma força pelo instante de tempo de 0,5s, de tal maneira
que ela passa a rolar com velocidade de 1,5m/s. Assinale a
alternativa que representa corretamente a força aplicada pelo taco
de golfe, ao tocar na bola.
B 4.500N s.⋅
C 4858N s.⋅
D 5.000N s.⋅
E 5.600N s.⋅
Responder

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
Questão 2
Um foguete está sendo lançado com um ônibus espacial. De início,
ele está parado em sua plataforma de lançamento, quando, então,
começa a se movimentar com uma aceleração de 12m/s². 74
segundos após o seu lançamento, o foguete libera um
compartimento, que reduz a sua massa em 25%, e 180 segundos
após o lançamento, libera outro compartimento que corresponde a
50% da massa que restou após liberar o primeiro compartimento.
Após isso, o ônibus espacial entra em órbita. Assinale a alternativa
que representa corretamente o valor do impulso sofrido pelo
foguete, do momento do seu lançamento até o momento em que o
ônibus espacial entra em órbita (considere g = 9,8m/s²):
A 1N
B 2N
C 5N
D 7,5N
E 8,0N
Responder
A 1400m0
B 1485m0
C 1390m0
D 1455m0
E 1555m0
2
Aplicação do conceito da conservação do momento linear
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer o princípio da conservação do momento linear.
Responder
Vamos começar!
Momento e a teoria da conservação
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.
Conservação do momento linear
De�nição
O momento linear é uma grandeza física que se conserva quando a
força resultante sobre o sistema é nula. Neste caso, como não há força,
o impulso é nulo, e por isso podemos dizer que a quantidade de
movimento inicial é igual à quantidade de movimento final.
O impulso de um corpo ou de uma partícula é dado por:
Eq. 1
Para que haja a conservação do momento linear, ou da quantidade de
movimento, é necessário que não haja forças atuantes no sistema, o
que faz o impulso ser nulo, uma vez que:
Eq. 2

→I = →Pfinal  − →Pinicial 
→I = →FΔt
Como a força resultante deve ser nula, para que o sistema seja
conservativo, temos que F = 0, o que faz com que o impulso seja nulo:
Eq. 3
Desta maneira, podemos escrever que:
Eq. 4
Com esse entendimento, é possível explicar diversos fenômenos
mecânicos envolvendo ação e reação, como a relação do recuo de uma
arma de fogo após disparar um projétil. Após o disparo, qualquer arma
de fogo apresenta um recuo, indo de encontro ao atirador, enquanto o
projétil (a bala) segue no sentido oposto ao deslocamento do recuo.
Como a arma recua, existe a chamada velocidade de recuo, que é maior
para quanto maior for o calibre de uma arma.
Disparo de projétil de arma de fogo
de longo alcance: o caso do atirador
de elite
Vamos considerar uma cena real, em que um atirador de elite está
posicionado com um fuzil IMBEL 308 AGLC, de calibre .308, com massa
sem munição de 4,7kg, com capacidade de 4+1 cartuchos de Spitzer,
cada um com 125g. Com essa munição, o projétil deixa a arma com
uma velocidade de 3100m/s, como mostra a seguinte imagem:
Representação de um atirador de elite disparando um projétil utilizando um fuzil de alta precisão.
Vamos considerar duas coisas: 1ª, as massas do cartucho do projétil e
da pólvora são insignificantes, e 2ª, o projétil percorre um trajeto
→I = 0 ⋅ Δt
→I = 0
0 = →Pfinal  − →Pinicial 
→Pfinal  = →Pinicial 
retilíneo até o seu alvo. Efetuando 2 disparos, vamos determinar agora
as velocidades de recuo do rifle em cada um deles:
Note que o resultado da velocidade é negativo, o que era de se esperar
quando estamos falando de uma velocidade de recuo que está indo no
sentido oposto ao do disparo. Todavia, se invertermos o sistema de
coordenadas, podemos descrever a velocidade do projétil como
negativa e a velocidade de recuo como positiva.
Viu? Com o conceito da conservação do momento linear, conseguimos
determinar a velocidade de recuo do fuzil. Agora, vamos analisar a
velocidade de recuo, no segundo disparo desta arma:
Note que a velocidade de recuo neste segundo disparo é maior, mesmo
com a velocidade do projétil sendo mantida. Isso ocorre devido à
diminuição da massa do sistema fuzil-cartucho. O que significa que,
quanto menos cartuchos houver no fuzil, maior será a velocidade de
recuo, e por sua vez, maior o tranco a ser aguentado pelo atirador.
Conservação do momento linear em
um jogo de bilhar
Vamos agora a um exemplo mais palpável, que acontece em uma mesa
de bilhar, popularmente chamada de mesa de sinuca. Em um jogo de
bilhar, existe uma bola branca e mais 15 bolas, numeradas de 1 a 15,
todas de cores diferentes. Utiliza-se um taco de madeira para bater na
bola branca, e então, esta deve bater nas demais bolas, a fim de colocá-
las no interior de uma das seis caçapas, que se localizam nas bordas da
mesa.
Representação de um jogo de bilhar.
Temos que considerar que as bolas diferem somente em cores e
numerações. Elas são iguais em geometria e massa. Vamos considerar
a seguinte situação de jogo: Restam somente duas bolas, uma vermelha
1º disparo 
2º disparo 
e uma amarela, e elas estão encostadas uma na outra. O jogador, então,
resolve tentar matar as duas bolas em caçapas distintas, com uma
única tacada. Veja:
Vamos supor que todas as bolas possuam massa m, e que o jogador, ao
bater na bola branca com o taco, a fez se movimentar com velocidade
de 12m/s. Consideremos também que as bolas vermelha e amarela se
movimentem com a mesma velocidade após a colisão, todavia, a bola
branca inverteo seu sentido, com uma velocidade de módulo de 1m/s.
Então, após tantas definições, vamos determinar as velocidades da bola
vermelha e amarela. Observe:
 1 de 2 
Teoria na prática
O princípio da conservação de momento linear também nos permite
analisar, por exemplo, acidentes de trânsito, podendo determinar a
velocidade de um automóvel ao colidir com outro, distância de
arremesso de uma pessoa em um atropelamento etc.
Mão na massa
Questão 1
Uma bola de sinuca amarela de 1,3kg viaja à velocidade de 0,3m/s,
quando colide com outra bola de sinuca vermelha de mesma
massa, daí a bola amarela para, enquanto a bola vermelha passa a
se movimentar. A velocidade da bola vermelha é igual a
_black
Mostrar solução

A 0,3m/s.
B 0,4m/s.
C 0,2m/s.
D 0,15m/s.
 
Questão 2
Uma bola de gude de 50g rola com velocidade de 0,1m/s e colide
com uma bola de gude de 100g. Na colisão, a bola de 50g para, e a
bola de 100g começa a rolar. A velocidade da bola de 100g é
Questão 3
Uma bola de sinuca de 1,3kg branca colide com uma bola de sinuca
de 1,3kg preta. Antes da colisão, a bola branca se movia a 0,4m/s e
a bola preta estava parada. Após a colisão, a bola branca continua o
seu caminho, agora com velocidade v, enquanto a bola preta segue
adiante com uma velocidade 2v. As velocidades das bolas branca e
preta após a colisão, respectivamente, são iguais a
E 0,10m/s.
Responder
A 0,03m/s.
B 0,04m/s.
C 0,02m/s.
D 0,05m/s.
E 0,01m/s.
Responder
A 0,15m/s e 0,22m/s.
B 0,13m/s e 0,26m/s.
C 0,26m/s e 0,13m/s.
Questão 4
Um objeto com propriedades elásticas viaja em direção a uma
parede com velocidade de 40cm/s, quando ricocheteia e retorna
com o mesmo momento linear. É correto afirmar que seu vetor
velocidade no retorno é igual a
Questão 5
Um corpo de 7kg locomove-se com velocidade constante de 8m/s,
quando age sobre ele uma força de 0,07N, na mesma direção e
sentido do vetor velocidade, por 10 segundos. A velocidade final
deste corpo é igual a
D 0,13m/s e 0,22m/s.
E 0,13 m/s e 0,13 m/s.
Responder
A 0cm /s.
B -20cm/s.
C -40cm/s.
D 20cm/s.
E 40cm/s.
Responder
A 8,1m/s.
B 8,0m/s.
Questão 6
Um atirador de elite possui um rifle de 4,2kg e atira um projétil de
300g com velocidade de 340m/s. A velocidade de recuo de sua
arma é de
C 9,5m/s.
D 9,6m/s.
E 9,9m/s.
Responder
A -16,35m/s.
B -24,29m/s.
C -30,00m/s.
D -45,55m/s.
E -52,33m/s.
Responder

Questão 1
Em um jogo de bilhar, o jogador oferece à bola branca de 0,250kg
um impulso de 0,5N s. Essa bola, então, colide com a bola preta,
de mesma massa. Após essa colisão, a bola branca continua a se
deslocar na mesma direção e sentido, com momento linear de
0,19N s. Assinale a alternativa que representa a velocidade com a
qual a bola preta se desloca:
Questão 2
Um corpo está se locomovendo com uma velocidade constante de
3m/s, quando uma força de 0,087N age sobre ele, na mesma
direção e sentido do vetor velocidade, por 10 segundos, porém,
durante a ação da força, por conta do atrito, o corpo perde 10% de
sua massa, na forma de um pequeno pedaço que se desprende
com a mesma velocidade que o corpo desenvolve após a ação da
força. Assinale a opção que revela o valor da velocidade do pedaço
que se desprende, considerando a massa inicial do corpo como 0,1
kg.
Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
⋅
⋅
A 1,24m/s
B 1,33m/s
C 2,00m/s
D 3,50m/s
E 4,00m/s
Responder
3
Estudo das colisões
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar os tipos de colisão.
A 3, 6m/s
B 9, 9m/s
C 11,7m/s
D 12,5m/s
E 13,7m/s
Responder
Vamos começar!
A teoria das colisões
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.
Colisões
Conceito
As colisões fazem parte do nosso cotidiano. Moléculas de oxigênio que
compõem o ar que respiramos estão o tempo todo se chocando umas
com as outras.

Se você parar para pensar, em nossos corpos, o tempo inteiro, também
estão ocorrendo colisões, por exemplo, entre as pálpebras em um piscar
de olhos, entre os dedos que se chocam ao gesticularmos, entre os
dentes ao mastigarmos, entre a língua e o resto da boca etc.
Diante de tantos exemplos, é importante entendermos a mecânica da
colisão entre corpos.
Colisão entre corpos
As colisões podem decorrer da seguinte forma:
Colisão elástica
Quando toda a energia se conserva. Neste caso, temos a
transferência completa de um corpo para o outro, sem nenhum
tipo de perda.
Colisão parcialmente elástica
Quando somente parte da energia é transferida de um corpo
para outro.
Colisão inelástica
Quando, ao se chocarem, os corpos grudam um no outro e
passam a se locomover juntos.
A Física classifica esses três tipos de colisão através do coeficiente de
restituição (e).
Veja a representação do antes e depois de cada tipo de colisão:
Colisão elástica
 1 de 3 
 
Coe�ciente de restituição
O coeficiente de restituição é uma grandeza adimensional dependente
das velocidades relativas de aproximação e afastamento, sendo definida
como:
Eq. 1
Essas velocidades relativas correspondem ao instante um pouco antes
da colisão e um pouco depois da colisão. Através desse coeficiente,
conseguimos entender se houve conservação da energia totalmente,
parcialmente, ou se houve completa dissipação da energia cinética.
Se a velocidade relativa de afastamento for igual à velocidade relativa de
aproximação, a razão na equação (1) resultará em 1. Nesse caso, temos
a total conservação da energia cinética total do sistema observado.
Para compreender este fenômeno, considere uma mesa de bilhar onde
somente existem duas bolas, uma branca e outra preta, de mesma
massa m.
A bola branca se aproxima da bola preta, que está parada, com
velocidade v, choca-se com a bola preta e então fica parada, enquanto a
bola preta passa a se movimentar, afastando-se da bola branca, também
com velocidade v. Observe:
Representação do fenômeno.
Vamos analisar matematicamente.
Antes da colisão, temos a bola branca se movendo e a bola preta
parada. Então, a energia cinética total do sistema é:
Eq. 2
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e
velocidade v:
Eq. 3
e =
|vrelativa de afastamento |
∣ vrelativa de aproximação ∣
K0 = K0branca  +K0preta 
Logo após a colisão, a bola branca para, e a bola preta de
massa m passa a se mover com velocidade v. Dessa forma:
Eq. 4
Note que, nesse caso, tanto a energia cinética inicial do sistema como a
energia cinética final do sistema possuem o mesmo valor, que é , o
que demonstra que a energia cinética se conservou.
Agora, vamos avaliar o fator de restituição. Antes da colisão, a bola
branca se move com velocidade v se aproximando da bola preta que
está parada. Logo, a velocidade de aproximação é v.
Após a colisão, a bola branca fica parada e a bola preta se afasta da
bola branca com velocidade v. Logo, a velocidade de afastamento é v.
Então, o fator de restituição é:
Eq. 4
Esse resultado indica que a colisão é perfeitamente elástica, pois há a
completa conservação da energia cinética do sistema. Note que o
sistema é constituído pelos dois corpos.
Agora, se a velocidade relativa de afastamento for menor do que a
velocidade relativa de aproximação, há uma colisão parcialmente
elástica, pois, neste caso, não há conservação total da energia cinética,
mas apenas parcial. Então, o coeficiente de restituição possui um valor
entre 0 e 1: \(0
Vamos voltar a considerar as duas bolas de bilhar branca e preta de
mesma massa. Considere agora que a bola de bilhar branca se
aproxima da bola de bilhar preta, inicialmente parada, com velocidade de
2v.
Daí, então, a bola de bilhar branca se choca com a bola de bilhar preta, e
ambas passam a se mover na mesma direção e sentido, com
velocidades. Ou seja, , e . Observe:
K0 =
mv2
2
+ 0 =
mv2
2
K = Kbranca  +Kpreta 
K = 0 +
mv2
2
=
mv2
2
mv2
2
e =
|v|
|v|
= 1
vbranca  = v/2 vpreta  = 3v/2
Representação do fenômeno.
Essa direçãoe sentido são os mesmos nos quais a bola branca se
movia antes da colisão. Pois bem, vamos analisar a energia cinética do
sistema. Primeiro, temos a bola branca se movendo com velocidade 2v
e a bola preta parada. Assim:
Eq. 5
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e
velocidade 2v:
Eq. 6
Logo após a colisão, a bola branca continua se movendo na mesma
direção e sentido, porém, agora, com a velocidade v/2, e a bola preta de
massa m passa a se mover também com velocidade 3v/2. Dessa forma:
Eq. 7
Note que a energia cinética final do sistema corresponde à metade da
energia cinética inicial do sistema, o que indica a perda parcial de
energia. Vamos agora analisar o coeficiente de restituição.
Antes da colisão, a bola branca se aproxima da bola preta, que está
parada, com velocidade 2v, logo, sua velocidade de aproximação é 2v.
Já após a colisão, a bola branca se move com velocidade v/2 e a bola
preta com velocidade 3v/2, o que faz a velocidade relativa de
afastamento ser:
Eq.8
Portanto, o coeficiente de restituição é: .
Uma colisão inelástica, ou colisão plástica, é uma
colisão em que os corpos se unem e passam a se
movimentar juntos. Então, mesmo que haja uma
energia cinética final referente ao movimento dos dois
corpos unidos, a velocidade de afastamento é nula, o
que faz o coeficiente de restituição ser nulo: .
K0 = K0branca  +K0preta 
K0 =
m(2v)2
2
+ 0 = 2mv2
K = Kbranca  +Kpreta 
K =
m(v/2)2
2
+
m(v3/2)2
2
+
5mv2
4
vrelativaafastamento  = vbola preta  − vbola branca  =
3v
2
−
v
2
= v
e = v
v2 − 1
2 = 0, 5
e = 0
Voltemos a analisar as duas bolas branca e preta, ambas com massa m.
Vamos considerar que a bola branca se aproxima da bola preta que está
parada com velocidade v, colide com a bola preta e que, logo após a
colisão, ambas continuam se movimentando na mesma direção e
sentido, porém, agora, com velocidade v/10 cada uma. Observe:
Representação do fenômeno.
Nessa situação, a velocidade relativa de aproximação é v, porém a
velocidade relativa de afastamento é 0. Vamos ver:
Eq. 9
Desta maneira: . Vamos analisar agora a energia cinética do
sistema nesse caso. De forma análoga aos dois casos anteriores:
Eq. 10
Logo após a colisão, as bolas se unem e passam a se mover juntas com
velocidade v/10. Assim:
Eq. 11
Você consegue enxergar o quão menor a energia cinética final é do que
a energia cinética inicial?
Sendo a colisão inelástica, a energia cinética final é 50 vezes menor do
que a energia cinética inicial, ou seja: .
Apesar de muito útil, o fator de restituição é um fator de análise
qualitativa, fornecendo a você somente a informação se houve
conservação da energia cinética total, parcial ou completa dissipação da
energia.
A tabela a seguir resume as condições do coeficiente de restituição:
vrelativa afastamento
= vbola preta  − vbola branca  =
v
10
−
v
10
= 0
e = 0
v = 0
K0 =
m(v)2
2
+ 0 =
mv2
2
K = Kbranca  +Kpreta 
K =
m(v/10)2
2
+
m(v/10)2
2
=
mv2
100
E = E−0/50
Coeficiente de
restituição
Relação entre as velocidades relativas
Resumo das condições do coeficiente de restituição.
Gabriel Burlandy Mota de Melo
Condições relevantes para análise de
colisões
Apesar de ser uma poderosa ferramenta, o coeficiente de restituição
não permite realizar uma análise quantitativa. Somente qualitativa. Para
analisar as reais condições de uma colisão, é necessário considerar
dois fenômenos físicos:

O princípio da conservação da energia cinética do sistema.

O princípio da conservação do momento linear do sistema.
Com essas duas informações, é realizável montar um sistema possível
e determinado (S. P. D.) para poder retirar informações importantes,
como velocidades e valores de massa.
e = 1 vrelativa de afastamento  = vrelativa de aproxim
0 < e < 1 vrelativa de afastamento  < vrelativa de aproxim
e = 0 vrelativa de af astamento  = 0
_black
Teoria na prática
Vamos considerar novamente as duas bolas de bilhar branca e preta.
Imagine que a bola branca se movesse, antes da colisão, com
velocidade v, e a bola preta estivesse parada. Lembre-se de que as
massas de ambas as bolas são iguais a m.
Após a colisão, a bola branca muda o seu sentido de deslocamento e
retorna com uma velocidade v1. Será que nessa colisão a bola preta se
move?
Mão na massa
Questão 1
Em uma colisão, a velocidade de aproximação entre dois corpos é
de 650m/s e a de afastamento é de 300m/s. O coeficiente de
restituição da colisão é igual a
Questão 2
Em uma colisão, a velocidade de afastamento é de 0,20m/s e o
coeficiente de restituição é 0,99. A velocidade de aproximação é
Mostrar solução

A 0,44.
B 0,45.
C 0,46.
D 0,47.
E 0,50.
Responder
igual a
Questão 3
Duas bolas estão se locomovendo uma em direção a outra. A
primeira bola tem velocidade igual a 4m/s e a segunda velocidade
de -3m/s. Após a colisão, a primeira bola passa a se mover com
velocidade de -1m/s e a segunda com velocidade de 2,5m/s. O
coeficiente de restituição dessa colisão parcialmente elástica é
igual a
A 0,19m/s.
B 0,20m/s.
C 0,21m/s.
D 0,22m/s.
E 0,18m/s.
Responder
A 0,5.
B 0,4.
C 0,3.
D 0,2.
E 0,1.
Responder
Questão 4
Um corpo de massa m se aproxima de um corpo de massa M que
está parado com velocidade de 1m/s. Ao colidirem, o corpo de
massa m se move com velocidade de –(0,5)m/s e o corpo de
massa M com velocidade de 0,5m/s. O coeficiente de restituição
dessa colisão é igual a
Questão 5
Uma massa de 45kg viaja a 23km/h, quando colide com um corpo
de massa M que estava parado. Após a colisão, o corpo de massa
M se locomove com velocidade de 1m/s. Qual deve ser a massa M
para que a colisão seja completamente elástica?
A 1.
B 0,98.
C 0,96.
D 0,5.
E 0,3.
Responder
A 100,20kg
B 530,10kg
C 200,16kg
D 1.000,00kg
E 1.200,98kg
Questão 6
Um projétil de massa 300g se aproxima de uma placa de madeira
de massa 6kg, com velocidade de 780m/s. Ao atingir essa placa, o
projétil se aloja nela e arrasta a placa por 5cm, em um intervalo de
tempo de 0,39s. Podemos afirmar que o seu coeficiente de
restituição é igual a
Responder
A 1.
B 0,66.
C 0,33.
D 0,28.
E 0,00.
Responder

Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
Questão 1
Considere uma bola quicando. Essa bola é abandonada de uma
altura de 1,50m, bate no chão e então retorna a uma altura de
1,45m. Podemos afirmar sobre essa colisão que ela é
Questão 2
Uma bola de 400g se locomove a uma velocidade de 20m/s quando
se choca com um cubo de 550g, que está parado. Desconsiderando
o atrito, assinale a opção que apresenta respectivamente as
velocidades da bola e do cubo após a colisão:
Vamos praticar alguns conceitos?
A
totalmente elástica, uma vez que a bola é feita de um
material elastômero, e esses materiais sempre
conservam a energia.
B
totalmente inelástica, pois a bola precisa se deformar
para poder quicar.
C
totalmente elástica, pois a velocidade de aproximação
da bola com o chão é igual à velocidade de
afastamento da bola com o chão.
D
parcialmente elástica, pois o fato de a bola retornar a
uma altura máxima mais baixa do que a altura que ela
foi largada indica perda de parte da energia inicial.
E
totalmente elástica, pois há total conservação da
energia mecânica.
Responder
A 0m/s e 20m/s
B -20m/s e 0m/s
Considerações �nais
Identificamos aqui o conceito de momento linear, o qual se remete ao
produto da massa pela velocidade desenvolvida por um objeto.
Observamos que essa grandeza é vetorial e a sua variação em função
do tempo nos leva à Segunda Lei de Newton. Vimos que o impulso é a
variação do momento linear em relação ao tempo, e que ele é definido
considerando o momento linear final e o momento linear inicial do corpo
em movimento.
Consideramos que o momento linear é conservativo em um caso no
qual a força resultante seja nula, e que também podemos aplicar essa
teoria na quantificação de massa ou velocidade em pares ação-reação,
como no caso do atirador de elite. Por fim, percebemosque o conceito
de momento linear e sua conservação é útil para as aplicações reais de
perícia, como em acidentes de carro.
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo sobre os principais assuntos
abordados neste conteúdo.
00:00 06:38
1x
C 2,87m/s e -16,84m/s
D -2,87m/s e 16,84m/s
E -3,00m/s e 19,35m/s
Responder


https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00267/index.html?brand=estacio
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/00267/index.html?brand=estacio
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Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Para verificar uma aplicação da teoria de impulso em colisões, leia
Investigando o impulso em crash tests utilizando vídeo-análise.Revista
Brasileira de Ensino de Física. São Paulo: 2014. v. 36, n. 1.
Sobre colisão entre dois corpos, leia Proposta experimental do estudo
de colisões entre bolas de borracha e superfície plana.Revista Brasileira
de Ensino de Física. São Paulo: 2017. v. 40, n. 2. .
Sobre as colisões e a importância do coeficiente de restituição, leiaUma
discussão sobre o coeficiente de restituição.Revista Brasileira de
Ensino da Física. São Paulo: 2017. v. 39, n. 4.
Referências
CUTNELL, John D. et al. Física. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HALLIDAY, David. et al. Fundamentos de Física. 10. ed. Rio de Janeiro,
RJ: LTC, 2016, v. 1.
MOSSMANN, V. L. F. et al. Determinação dos Coeficientes de Atrito
Estático e Cinético Utilizando-se a Aquisição Automática de Dados.
Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 2002. v. 24, n. 2, p. 146-
149.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado
pela força de atrito cinético? Revista Brasileira de Ensino de Física, São
Paulo, 2018, v. 41, n. 1, p. 1-9, 6.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. 6.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014. v. 1.
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