calculo ensino medio n

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16. **Calcule a integral** \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\arctan(x) + C\) 
 **Explicação**: A integral é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. 
 
17. **Determine o valor da integral imprópria** \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: 1 
 **Explicação**: A integral imprópria converge e pode ser calculada como \(-\frac{1}{x}\) 
avaliado entre 1 e \(\infty\). 
 
18. **Resolva a equação diferencial** \(y' - 2y = e^{3x}\). 
 **Resposta**: \(y(x) = C e^{2x} + \frac{e^{3x}}{1}\) 
 **Explicação**: Usando o método de variação dos parâmetros ou o método dos coeficientes 
indeterminados. 
 
19. **Calcule o valor da série** \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). 
 **Resposta**: \(e^x\) 
 **Explicação**: Essa série é a definição da função exponencial \(e^x\). 
 
20. **Encontre a derivada de** \(f(x) = \ln(\sin(x))\). 
 **Resposta**: \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{u'}{u}\). 
 
21. **Calcule a integral dupla** \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{8}\) 
 **Explicação**: Integrando primeiro em relação a \(x\) e depois a \(y\), obtemos o 
resultado. 
 
22. **Resolva a equação** \(x^3 - 4x = 0\). 
 **Resposta**: \(x = 0, \pm 2\) 
 **Explicação**: Fatorando a equação como \(x(x^2 - 4) = 0\), obtemos as raízes. 
 
23. **Encontre a transformada de Laplace de** \(e^{2t}\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{s - 2}\) 
 **Explicação**: Usando a fórmula básica para a transformada de Laplace. 
 
24. **Calcule a integral** \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4} e^{-1}\) 
 **Explicação**: Utilizando substituição trigonométrica e simplificação. 
 
25. **Encontre a solução geral da equação diferencial** \(y'' - y = 0\). 
 **Resposta**: \(y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) **Explicação**: A equação diferencial é de 
coeficientes constantes; a solução é uma combinação linear de exponenciais. 
 
26. **Calcule o valor de** \(\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\sqrt{\pi}/2\) 
 **Explicação**: A integral é uma forma conhecida e pode ser resolvida usando coordenadas 
polares. 
 
27. **Encontre o valor da integral** \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação**: Usando identidades trigonométricas e integração. 
 
28. **Calcule a série de Fourier para** \(f(x) = x\) no intervalo \([-L, L]\). 
 **Resposta**: \(f(x) = \frac{L}{2} - \frac{4L}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi x/L)}{n}\) 
 **Explicação**: A série de Fourier é encontrada usando a fórmula para funções ímpares. 
 
29. **Determine o valor da integral** \(\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{2a}\) 
 **Explicação**: Usando a fórmula padrão para integrais de funções racionais. 
 
30. **Resolva a equação diferencial** \(y'' + 3y' + 2y = 0\). 
 **Resposta**: \(y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\) 
 **Explicação**: A equação é de coeficientes constantes; resolvemos a equação 
característica.