disciplina XLII

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6. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - 3y = 0 
\)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 2r - 3 = 0 \), com raízes \( r = 1 \) e \( r = -
3 \). Assim, a solução geral é \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \). 
 
7. **Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \).** 
 - a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 2r + 1 = 0 \), que tem uma raiz dupla \( r 
= 1 \). Portanto, a solução geral é \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \). 
 
8. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2y = 0 \)?** 
 - a) \( y = C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x) \) 
 - b) \( y = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cosh(\sqrt{2}x) + C_2 \sinh(\sqrt{2}x) \) 
 - d) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x) \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 2 = 0 \), cujas raízes são \( \pm i\sqrt{2} 
\). Assim, a solução é dada por funções trigonométricas com argumento \( \sqrt{2}x \). 
 
9. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0 
\)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + r - 2 = 0 \), com raízes \( r = 1 \) e \( r = -2 
\). Assim, a solução geral é \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \). 
 
10. **Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 6 \frac{dy}{dx} + 9y = 0 \).** 
 - a) \( y = C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{3x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( (r + 3)^2 = 0 \), com uma raiz dupla \( r = -3 \). 
Assim, a solução geral é \( y = C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x} \). 
 
11. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 - c) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 4 = 0 \), com raízes \( \pm 2 \). Portanto, 
a solução geral é \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \). 
 
12. **Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \).** 
 - a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 2r + 1 = 0 \), com uma raiz dupla \( r = 1 
\). A solução é \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \). 
 
13. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0 
\)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-6x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{6x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + r - 6 = 0 \), com raízes \( r = 2 \) e \( r = -
3 \). Assim, a solução geral é \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} \). 
 
14. **Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \).** 
 - a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - b) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 - c) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 4 = 0 \), com raízes \( \pm 2i \). 
Portanto, a solução geral é uma combinação de funções trigonométricas. 
 
15. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 
\)?** 
 - a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} \) 
 - c) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} \) 
 - **Resposta:** a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \) 
 - **Explicação:** A equação característica é \( r^2 - 3r + 2 = 0 \), com raízes \( r = 1 \) e \( r = 
2 \). Assim, a solução geral é \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \). 
 
16. **Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0 \).** 
 - a) \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \)