matematica avançada XXXV

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**33. Cálculo:** 
 
Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
 
a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
b) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
c) \( \frac{1}{2x} \) 
d) \( \frac{1}{x} \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
**Explicação:** A derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), usando a regra da 
potência. 
 
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**34. Análise Numérica:** 
 
Qual é o objetivo principal do método das diferenças finitas? 
 
a) Resolver sistemas lineares 
b) Aproximar a solução de equações diferenciais parciais 
c) Encontrar raízes de polinômios 
d) Melhorar a precisão das integrações 
 
**Resposta:** b) Aproximar a solução de equações diferenciais parciais 
**Explicação:** O método das diferenças finitas é usado para aproximar soluções de equações 
diferenciais parciais discretizando o domínio. 
 
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**35. Cálculo:** 
 
Qual é a integral definida \( \int_{0}^{1} (2x^2 + 3x) \, dx \)? 
 
a) \( \frac{5}{3} \) 
b) \( \frac{7}{3} \) 
c) \( 2 \) 
d) \( \frac{8}{3} \) 
 
**Resposta:** b) \( \frac{7}{3} \) 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} \) e \( \int_{0}^{1} 3x 
\, dx = \frac{3}{2} \). Assim, a integral total é \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} 
= \frac{13}{6} \). 
 
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**36. Análise Numérica:** 
 
Qual é a principal desvantagem do método de Jacobi? 
 
a) Requer que a matriz seja simétrica 
b) Pode convergir lentamente 
c) Não é aplicável a sistemas lineares 
d) Não garante a convergência para todos os sistemas 
 
**Resposta:** b) Pode convergir lentamente 
**Explicação:** O método de Jacobi pode ser mais lento para convergir, especialmente para 
sistemas grandes e mal condicionados. 
 
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**37. Cálculo:** 
 
Qual é a integral indefinida de \( \int \cos(x) \, dx \)? 
 
a) \( \sin(x) + C \) 
b) \( -\sin(x) + C \) 
c) \( \cos(x) + C \) 
d) \( -\cos(x) + C \) 
 
**Resposta:** b) \( -\sin(x) + C \) 
**Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \), e o sinal é invertido, resultando em \( -
\sin(x) + C \). 
 
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**38. Análise Numérica:** 
 
Qual é o método mais eficaz para resolver uma equação diferencial ordinária com condições 
iniciais? 
 
a) Método de Runge-Kutta 
b) Método de Gauss-Seidel 
c) Método de Jacobi 
d) Método da Bisseção 
 
**Resposta:** a) Método de Runge-Kutta 
**Explicação:** O método de Runge-Kutta é eficaz para resolver equações diferenciais 
ordinárias com condições iniciais devido à sua precisão e flexibilidade. 
 
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**39. Cálculo:**