equacao para todos AM

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**Explicação**: Use integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^x dx \). Então, \( du = 
dx \) e \( v = e^x \). Aplicando a fórmula de integração por partes. 
 
12. **Problema**: Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x^2 + y^2 = 25 \\ 
 x - y = 1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta**: \( (x, y) = (3, 2) \) e \( (-3, -2) \). 
 **Explicação**: Substitua \( y = x - 1 \) na primeira equação para obter \( x^2 + (x - 1)^2 = 25 
\). Resolva a equação quadrática para encontrar \( x \) e \( y \). 
 
13. **Problema**: Encontre o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação**: Esta é a série de Basileia, cuja soma é conhecida como \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
14. **Problema**: Calcule a solução da equação \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) usando a fórmula de 
Bhaskara. 
 **Resposta**: \( x = 3 \) e \( x = -1 \). 
 **Explicação**: Usando a fórmula quadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
para \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \), obtemos as raízes \( x = 3 \) e \( x = -1 \). 
 
15. **Problema**: Determine o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta**: \( 5 \). 
 **Explicação**: Use a fórmula do determinante para uma matriz \( 2 \times 2 \): \( 
\text{det}(A) = ad - bc \), onde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Aqui, \( 
\text{det} = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 5 \). 
 
16. **Problema**: Resolva a equação \( e^x = 5 \). 
 **Resposta**: \( x = \ln(5) \). 
 **Explicação**: Use o logaritmo natural para resolver \( x = \ln(e^x) = \ln(5) \). 
 
17. **Problema**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 **Resposta**: \( 1 \). 
 **Explicação**: Este é um limite padrão conhecido. A função \( \frac{\sin(x)}{x} \) tende a 1 
conforme \( x \) se aproxima de 0. 
 
18. **Problema**: Encontre a equação da reta perpendicular à reta \( 2x - 3y = 6 \) que passa 
pelo ponto \( (4, -2 
 
) \). 
 **Resposta**: \( y = \frac{2}{3}x - \frac{16}{3} \). 
 **Explicação**: A inclinação da reta dada é \( \frac{2}{3} \). A inclinação da reta 
perpendicular é o oposto do recíproco, \( -\frac{3}{2} \). Use a fórmula da reta e o ponto 
fornecido para encontrar a equação. 
 
19. **Problema**: Calcule o valor de \( \sqrt{50} \) simplificado. 
 **Resposta**: \( 5\sqrt{2} \). 
 **Explicação**: Fatorize \( 50 \) como \( 25 \times 2 \), então \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 
2} = 5\sqrt{2} \). 
 
20. **Problema**: Determine a solução da equação \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 
 **Resposta**: \( x = -2 \). 
 **Explicação**: A equação é um quadrado perfeito: \( (x + 2)^2 = 0 \), então \( x = -2 \). 
 
21. **Problema**: Resolva o problema: \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \). 
 **Resposta**: \( e - 2e + 2 \). 
 **Explicação**: Use integração por partes duas vezes. Primeiro, defina \( u = x^2 \) e \( dv = 
e^x dx \). Depois, aplique integração por partes ao resultado. 
 
22. **Problema**: Calcule o produto de \( 2 \times 3 \times 5 \times 7 \). 
 **Resposta**: \( 210 \). 
 **Explicação**: Multiplique os números: \( 2 \times 3 = 6 \), \( 6 \times 5 = 30 \), \( 30 
\times 7 = 210 \).