provas e testes dos anos AD

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**Explicação**: Use a definição da transformada de Laplace e a fórmula de integração. 
 
68. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 
\). 
 **Resposta**: \( y = C_1 e^x + C_2 x e^x \). 
 **Explicação**: Use a equação característica para encontrar a solução. 
 
69. **Problema**: Calcule o valor da integral \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação**: Esta é a integral da função arco seno. 
 
70. **Problema**: Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \tan(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \ln(\sec(x)) \Big|_{0}^{\pi/2} = \infty \). 
 **Explicação**: A integral diverge, pois a função \( \tan(x) \) não é integrável sobre \( [0, 
\frac{\pi}{2}) \). 
 
71. **Problema**: Determine o número de soluções reais da equação \( x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \). 
 **Resposta**: 2 soluções reais (x = 1 e x = -1). 
 **Explicação**: Reescreva a equação como \( (x^2 - 1)^2 = 0 \). 
 
72. **Problema**: Calcule o valor da integral \( \int_{0}^{2} (x^3 - 2x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{8}{3} - 4 = \frac{4}{3} \). 
 **Explicação**: Integre termo a termo e avalie no intervalo. 
 
73. **Problema**: Encontre a série de Taylor para \( \cosh(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta**: \( \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \). 
 **Explicação**: Use a fórmula da série de Taylor para \( \cosh(x) \). 
 
74. **Problema**: Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{x} \). 
 **Resposta**: \( y = \frac{1 + Cx}{1 - Cx} \). 
 **Explicação**: Use separação de variáveis e integre. 
 
75. **Problema**: Calcule o valor da integral \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)^2} \). 
 **Resposta**: \( 1 \). 
 **Explicação**: Use substituição e a integral \( \frac{-1}{x+1} \). 
 
76. **Problema**: Encontre o valor da integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \sqrt{\pi} \). 
 **Explicação**: Esta é a integral Gaussiana clássica. 
Aqui estão 90 problemas desafiadores de Cálculo 2, cada um com a resposta e a explicação: 
 
1. Calcule a integral ∫(x^2 * e^x) dx. 
 Resposta: (x^2 - 2x + 2)e^x + C 
 Explicação: Use a integração por partes duas vezes. Primeira, escolha u = x^2 e dv = e^x dx; 
depois, aplique a integração por partes novamente à parte restante. 
 
2. Encontre a integral ∫(1 / (x^2 + 1)) dx. 
 Resposta: arctan(x) + C 
 Explicação: Essa integral é uma forma padrão, e sua antiderivada é a função arco-tangente. 
 
3. Calcule a integral ∫(x / sqrt(x^2 + 4)) dx. 
 Resposta: sqrt(x^2 + 4) + C 
 Explicação: Use uma substituição u = x^2 + 4, onde du = 2x dx. 
 
4. Determine a integral ∫(x * ln(x)) dx. 
 Resposta: (x^2 / 2) * ln(x) - x^2 / 4 + C 
 Explicação: Use a integração por partes com u = ln(x) e dv = x dx. 
 
5. Calcule ∫(sin^2(x)) dx. 
 Resposta: x / 2 - sin(2x) / 4 + C 
 Explicação: Use a identidade trigonométrica sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 para simplificar a 
integral. 
 
6. Determine ∫(e^(2x)) dx.