provas e testes dos anos P

Prévia do material em texto

5. Problema: Se \( \log_b(5) = 2 \) e \( \log_b(2) = x \), encontre \( \log_b(10) \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(10) = \log_b(5 \cdot 2) = \log_b(5) + \log_b(2) \). Portanto, \( 
\log_b(10) = 2 + x \). 
 
6. Problema: Resolva \( \log_3(x+1) - \log_3(x-2) = 1 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \). Assim, \( 
\log_3\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = 1 \). Então, \( \frac{x+1}{x-2} = 3^1 = 3 \). Resolva \( x + 1 = 
3(x - 2) \), então \( x = 7 \). 
 
7. Problema: Resolva a equação \( \log_2(2x+1) = 3 - \log_2(x) \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( \log_b(a) = c \) implica \( a = b^c \). Primeiro, reescreva 
a equação: \( \log_2(2x+1) + \log_2(x) = 3 \). Usando a propriedade \( \log_b(a) + \log_b(c) = 
\log_b(ac) \), temos \( \log_2[x(2x+1)] = 3 \). Assim, \( x(2x+1) = 2^3 = 8 \). Resolva \( 2x^2 + x - 
8 = 0 \), que dá \( x = 1 \) ou \( x = -4 \). A solução válida é \( x = 1 \). 
 
8. Problema: Determine \( x \) se \( \log_{10}(x) + \log_{10}(2x) = 2 \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Assim, \( 
\log_{10}(x \cdot 2x) = 2 \). Então, \( \log_{10}(2x^2) = 2 \). Portanto, \( 2x^2 = 10^2 = 100 \). 
Resolva \( x^2 = 50 \), então \( x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). 
 
9. Problema: Resolva \( \log_4(x-2) = \frac{1}{2} \log_4(x+2) \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Assim, \( \log_4(x-2) = 
\log_4[(x+2)^{1/2}] \). Portanto, \( x-2 = \sqrt{x+2} \). Elevando ambos os lados ao quadrado, \( 
(x-2)^2 = x+2 \). Resolva \( x^2 - 4x + 4 = x + 2 \), então \( x^2 - 5x + 2 = 0 \). As soluções são \( x 
= \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} \). A solução válida é \( x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \). 
 
10. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_{10}(x) \cdot \log_{10}(x-1) = 1 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_{10}(x) = a \) e \( \log_{10}(x-1) = b \). Então, \( a \cdot b = 1 \) e 
\( \log_{10}(x) = a \), \( x = 10^a \) e \( \log_{10}(x-1) = b \), \( x - 1 = 10^b \). Portanto, \( 10^a - 
1 = 10^b \). Substitua \( b = \frac{1}{a} \), então \( 10^a - 1 = 10^{1/a} \). Resolver isso implica 
\( x = 10 \) (verificação mostra \( x = 10 \) como solução válida). 
 
11. Problema: Resolva \( \log_2(x) + \log_2(x+4) = 4 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Assim, \( \log_2[x(x+4)] = 4 \). 
Então, \( x(x+4) = 2^4 = 16 \). Resolva \( x^2 + 4x - 16 = 0 \). As soluções são \( x = 2 \) e \( x = -8 
\). A solução válida é \( x = 2 \). 
 
12. Problema: Resolva \( 2 \log_{10}(x) - \log_{10}(x^2 - 1) = 1 \). 
 Resolução: Usamos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Então, a equação se torna \( 
\log_{10}(x^2) - \log_{10}(x^2 - 1) = 1 \). Usando a propriedade \( \log_b(a) - \log_b(c) = 
\log_b\left(\frac{a}{c}\right) \), temos \( \log_{10}\left(\frac{x^2}{x^2 - 1}\right) = 1 \). Então, \( 
\frac{x^2}{x^2 - 1} = 10^1 = 10 \). Resolva \( x^2 = 10(x^2 - 1) \), então \( x^2 = 10 \) e \( x = 
\sqrt{10} \). 
 
13. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_{2}(x-1) = 2\log_{2}(x) - 1 \). 
 Resolução: Usamos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Então, \( \log_{2}(x-1) = \log_{2}(x^2) - 1 
\). Reescreva a equação como \( \log_{2}(x-1) = \log_{2}\left(\frac{x^2}{2}\right) \). Assim, \( x-
1 = \frac{x^2}{2} \). Resolva \( 2(x-1) = x^2 \), então \( x^2 - 2x + 2 = 0 \). As soluções são \( x = 
1 \pm i \), que não são reais, então não há solução real. 
 
14. Problema: Resolva \( \log_3(x) + \log_3(4x) = 2 \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \). Então, \( \log_3(4x^2) = 2 \). 
Portanto, \( 4x^2 = 3^2 = 9 \). Resolva \( x^2 = \frac{9}{4} \), então \( x = \frac{3}{2} \) (a 
solução \( x = -\frac{3}{2} \) não é válida). 
 
15. Problema: Resolva \( \log_5(x+1) - \log_5(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resolução: Usamos \( \log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \). Então, \( 
\log_5\left(\frac{x+1}{x}\right) = \frac{1}{2} \). Então, \( \frac{x+1}{x} = 5^{1/2} = \sqrt{5} \). 
Resolva \( x + 1 = x\sqrt{5} \), então \( x(\sqrt{5} - 1) = 1 \) e \( x = \frac{1}{\sqrt{5} - 1} \). 
 
16. Problema: Encontre \( x \) se \( \log_2(3x - 2) = \log_2(x) + 1 \). 
 Resolução: Reescreva a equação como \( \log_2(3x - 2) = \log_2(2x) \). Então, \( 3x - 2 = 2x \). 
Resolva \( x = 2 \). 
 
17. Problema: Resolva \( \log_{10}(x^2 - 1) = 2 \log_{10}(x) \). 
 Resolução: Usamos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \). Então, a equação se torna \( \log_{10}(x^2 
- 1) = \log_{10}(x^2) \). Assim, \( x^2 - 1 = x^2 \), o que é uma contradição, então não há 
solução. 
 
18. Problema: Resolva \( \log_2(x^2 - x) = 3 \). 
 Resolução: Usamos a propriedade \( \log_b(a) = c \) implica \( a = b^c \). Então, \( x^2 - x = 
2^3 = 8 \). Resolva \( x^2 - x - 8 = 0 \). As soluções são \( x = 4 \) e \( x = -2 \). A solução válida é 
\( x = 4 \).