provas e provas 124

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**Resposta**: \( \theta = \arctan \left| \frac{2 - (-\frac{1}{2})}{1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2})} 
\right| = \arctan 3 \). 
 **Explicação**: Usamos a fórmula para o ângulo entre duas retas: \(\theta = \arctan \left| 
\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|\). 
 
19. **Problema**: Qual é o valor de \(\frac{d^2}{dx^2} \left( \sin x \cos x \right)\)? 
 **Resposta**: \(-\sin 2x\). 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto e a identidade trigonométrica \(\sin 2x = 2 \sin x 
\cos x\). 
 
20. **Problema**: Encontre a raiz quadrada de 50 usando fatoração. 
 **Resposta**: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). 
 **Explicação**: Fatoramos 50 como \(2 \cdot 25\) e simplificamos. 
 
21. **Problema**: Resolva a equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
 **Resposta**: \( x = 2, 3 \). 
 **Explicação**: Fatoramos o polinômio para encontrar as raízes. 
 
22. **Problema**: Qual é a soma dos primeiros 20 termos de uma progressão aritmética com 
primeiro termo 3 e razão 5? 
 **Resposta**: 2030. 
 **Explicação**: Usamos a fórmula da soma dos termos: \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] \). 
 
23. **Problema**: Determine a integral de \(\int x e^x \, dx\). 
 **Resposta**: \( (x - 1)e^x + C \). 
 **Explicação**: Usamos integração por partes. 
 
24. **Problema**: Encontre o volume de uma esfera com raio 3. 
 **Resposta**: \( 36\pi \). 
 **Explicação**: Usamos a fórmula do volume da esfera: \(\frac{4}{3}\pi r^3\). 
 
25. **Problema**: Qual é a raiz quadrada de 81? 
 **Resposta**: 9. 
 **Explicação**: A raiz quadrada de 81 é 9 porque \(9^2 = 81\). 
 
26. **Problema**: Resolva a equação \( \frac{2x - 1}{x + 2} = 3 \). 
 **Resposta**: \( x = \frac{7}{2} \). 
 **Explicação**: Multiplicamos ambos os lados por \(x + 2\) e resolvemos a equação 
resultante. 
 
27. **Problema**: Qual é a soma dos cubos dos primeiros 4 números inteiros positivos? 
 **Resposta**: 100. 
 **Explicação**: A fórmula é \(\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2\) para \(n = 4\). 
 
28. **Problema**: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 **Resposta**: \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
29. **Problema**: Qual é o determinante da matriz 
 \[ 
 C = \begin{pmatrix} 
 2 & 5 \\ 
 7 & 3 
 \end{pmatrix} 
 \] 
 **Resposta**: -31. 
 **Explicação**: Usamos a fórmula para o determinante de uma matriz 2x2. 
 
30. **Problema**: Encontre a integral de \(\int_1^e \frac{1}{x \ln x} \, dx\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \ln x\). 
 
31. **Problema**: Qual é o valor de \(\log_{10} 1000\)?