Módulo I

Prévia do material em texto

1 
 Funções 
 de 
 Várias Variáveis 
Profª. Andréa Souza 
►Funções de Várias Variáveis: 
Definição, representação gráfica, 
limite, continuidade e curvas de 
nível. 
►Derivadas Parciais: definição e 
interpretação geométrica. 
 Definir funções de várias 
variáveis e suas derivadas 
parciais. 
 Funções de Várias Variáveis 
 O volume de um cilindro circular 
depende de seu raio r e sua altura h 
Sabemos que V = r2 h 
Escrevemos V em função de r e h. 
2( , )V r h r h  
 Funções de Várias Variáveis Funções de Várias Variáveis 
Ajudou a fazer 
com que a 
diferenciação 
parcial fizesse 
parte do cálculo. 
(1717-1783) 
2 
 Funções de Várias Variáveis 
Lagrange foi o 
primeiro a 
desenvolver os 
métodos de hoje 
para encontrar 
máximos e mínimos 
usando Cálculo. 
(1736-1813) 
 Funções de Várias Variáveis 
 
Uma função real de n variáveis é uma 
aplicação que associa, a cada n-upla 
 um único valor real 
n
1 n(x ,...,x ) R z .
n
1 n 1 n
f : D R R
(x ,...,x ) z = f(x ,...,x )
 
 Funções de Várias Variáveis 
 
Seja D um subconjunto (região) do 
espaço ² (plano). Chama-se função 
f de D toda relação que associa, a 
cada par (x,y)  D, um único número 
real z = f (x,y). 
 Funções de Várias Variáveis 
2:
( , ) ( , )
   

f D
x y z f x y
x
y
z
(a, b) 
f(a,b) 
 Funções de Várias Variáveis 
2 2( , )  f x y x y
Considere a função 
Observe que: 
2:  f
dada por 
2 2(1,2) 1 2 1 4 5    f
O domínio da função é 
2 D
 Funções de Várias Variáveis 
A função 
2 2( , ) 16 4 16  f x y x y
2:  f D
definida por: 
tem por domínio: 
 2 2 2( , ) |16 4 16 0D x y x y    
 2 2 2( , ) | 4 16 16x y x y   
2
2 2( , ) | 1
4
x
x y y
 
    
 
3 
 Funções de Várias Variáveis 
2
2 2( , ) | 1
2
x
D x y y
   
      
   
   


x
y
2 2( , ) 16 4 16  f x y x y
 Funções de Várias Variáveis 
► Interseção com eixos 
0 (2,0,0) ( 2,0,0)Ox y z e    
0 (0,1,0) (0, 1,0)Oy x z e    
0 (0,0,4)Oz x y    x
y
z
2 2( , ) 16 4 16z f x y x y   
 Funções de Várias Variáveis 
► Interseções com planos 
2
2 2 2
2
0 16 4 16 0 1
2
x
XOY z x y y        
2 2
2 2
2 2
0 16 4 1
4 2
z x
XOZ y z x       
2 2( , ) 16 4 16z f x y x y   
2
2 2 2
2
0 16 4 1
4
z
YOZ x z x y       
 Funções de Várias Variáveis 
2 2
2 1
4 2
z x
y
   
     
   
x y
z
2 2( , ) 16 4 16f x y x y  
2 216 4 16z x y  
2 2 216 4 16z x y  
0z 
 Funções de Várias Variáveis 
2 2( , ) ( )  f x y y sen x
A função 
tem domínio: 
 2 2 2( , ) | ( ) 0D x y y sen x    
 2 2 2( , ) | ( )D x y y sen x  
 2( , ) | ( ) ( )D x y sen x y sen x    
 Funções de Várias Variáveis 
 


x
y
2 2( , ) ( )  f x y y sen x
4 
 Funções de Várias Variáveis 
x
y
z
2 2( , ) ( )  f x y y sen x
 Funções de Várias Variáveis 
Considere a função dada por 
2:f  
2 2( , )f x y x y 
Para cada , 
( , )f x y k
2 2 2 2 2k x y k x y    
Equação da circunferência 
 Funções de Várias Variáveis 
2 2( , )  f x y x y
x
y
z
 Funções de Várias Variáveis 
 Funções de Várias Variáveis 
2 2( , )  f x y y x
x
y
z
2:f  
►Parabolóide Hiperbólico 
 Funções de Várias Variáveis 
 
 2 2( , ) lnf x y x y 
5 
 Funções de Várias Variáveis 
 
3( , )f x y x
 Funções de Várias Variáveis 
 2 2 2( , )f x y sen x y 
 
 Funções de Várias Variáveis 
x
y
z
x
y
x
y
z
2 2II. f (x, y) x y 2 2III. g(x, y) x y 
2 2I. h(x, y) x y 
(ENADE adaptada) Observe cada 
gráfico e relacione com a lei que 
representa a sua função. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 Funções de Várias Variáveis 
(ENADE adaptada) Observando os 
gráficos relacione cada superfície a 
sua curva de nível dada abaixo. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
x
y
z
x
y
x
y
z
I. II. III. 
 Funções de Várias Variáveis 
 Esboce o gráfico das curvas de 
nível da função: 
2 2( , ) 4f x y x y 
 Funções de Várias Variáveis 
Que descrevem uma família de elipses 
com semi-eixos 
2 24x y k 
2 2
1
4
x y
k k
 
( , )f x y k0k 
2kk
 Para cada com 
6 
 Funções de Várias Variáveis 
x
y
z
2 2( , ) 4f x y x y 
 Funções de Várias Variáveis 
0 00, 0 / ( , ) [( , ), ( , )] ( , )x y D d x y x y f x y L          
Seja e . 
Diz-se que tende a quando 
 tende para ou que tem 
limite em e escreve-se 
 
se: 
2:f D  0 0( , )x y D( , )f x yL( , )x y 0 0( , )x y( , ) (x ,y )0 0
lim ( , )
x y
f x y L


L 0 0
( , )x y
 Funções de Várias Variáveis 
Observação: Se o 
limite existe, f(x,y) 
deve se 
aproximar do 
mesmo valor 
independentemen
te do caminho 
pelo qual (x,y) se 
aproxima de (a,b) 
x
y
z
a
b
(a,b)
 Funções de Várias Variáveis 
 
 O , se existir, é único 
   0 0, ,
lim ( , )
x y x y
f x y

Além disso: 
   
   
0 0 0 0, ,
lim ( , ) lim , ( ) lim ( ),
x y x y x x y y
f x y f x y x f x y y
  
 
Em que y(x) e x(y) são caminhos pelo 
qual (x,y) se aproxima de . 
0 0( , )x y
 Funções de Várias Variáveis 
Solução: Primeiramente vamos fazer 
 ao longo do eixo x. 
Tomando 
Mostre que não 
existe.    
2
2 2, 0,0
lim
x y
x
x y
 
 
 
( , ) (0,0)x y 
0y 
2 2
2 2
( ,0) 1
0
x x
f x
x x
  

 Funções de Várias Variáveis 
 
 
Ao longo do eixo y, tomamos x = 0. 
( , ) (0,0) ( , ) 1x y f x y  
2
2 2 2
0 0
(0, ) 0
0
f y
y y
  

( , ) (0,0) ( , ) 0x y f x y  
 
 
7 
 Funções de Várias Variáveis 
Mostre que não existe. 
Solução: Tomando 
 
 
 
O limite depende de m! 
y m x 
   
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4, 0,0 0
( )
lim lim
( ) 1x y x
y x x mx m
x y x mx m 
 
  
   
   
2 2
4 4, 0,0
lim
x y
y x
x y
 
 
 
 Funções de Várias Variáveis 
Sejam funções com 
limites reais quando tende para 
 . Então: 
2, :f g D 
0 0( , )x y
( , )x y
 
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( , )
x y x y x y x y x y x y
f x y g x y f x y g x y
  
  
 Funções de Várias Variáveis 
► 
 
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( , )
x y x y x y x y x y x y
f x y g x y f x y g x y
  
  
► Se 
0 0
0 0
0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
lim ( , )
( , )
lim
( , ) lim ( , )
x y x y
x y x y
x y x y
f x y
f x y
g x y g x y



 
 
 
0 0( , ) ( , )
lim ( , ) (0,0)
x y x y
g x y


 Funções de Várias Variáveis 
   0 0
0 0
, ,
lim ( , ) ( , ).
x y x y
f x y f x y


Uma função é dita 
contínua em se 
2:f D 
0 0( , )x y
 é contínua em D, se for 
contínua em todo ponto 
0 0( , ) .x y D
f
f
 Funções de Várias Variáveis 
Calcule 
   
 2 3 3 2
, 1,2
lim 2 3
x y
x y x y x y

  
Solução: 
   
 
   
2 3 3 2
, 1,2 , 1,2
lim 2 3 lim ( , )
x y x y
x y x y x y f x y
 
   
2 3 3 2( , ) 2 3f x y x y x y x y   
2 3 3 2(1,2) 1 2 1 2 2 1 3 2 16f         
 Funções de Várias Variáveis 
 Verifique se a função 
 
 
 
é contínua em (0,0). 
22
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
x y
se x y
f x y x y
se x y
 

 
 
8 
 Funções de Várias Variáveis 
 
y m x 
Tomando 
   
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2, 0,0 0
( ) 1
lim lim
( ) 1x y x
x y x mx m
x y x mx m 
   
  
   
O limite depende de m e, portanto, não 
existe. 
   , 0,0
lim ( , ) (0,0) 0
x y
f x y f

 

f é descontínua em (0,0). 
 
 Funções de Várias Variáveis 
 Funções de Várias Variáveis 
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x
f f x x y f x y
x y
x x 
  

 
0
( , ) ( , )
( , ) lim
y
f f x y y f x y
x y
y y 
  

 
 Funções de Várias Variáveis 
0
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x x
f x y f x yf
x y
x x x


 
0
0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
y y
f x y f x yf
x y
y y y


 
 Funções de Várias Variáveis 
 
 
  1 1( , ) ,x x x
f z
f x y f f x y f D f D f
x x x
  
      
  
  2 2( , ) ,y y y
f z
f x y f f x y f D f D f
y y y
  
      
  
 Funções de Várias Variáveis 
( ) ( , )
( , ) '( )y
y f a y
f a b y
 

( ) ( , )
( , ) '( )x
x f x b
f a b a
 

 
9 
 Funções de Várias Variáveis 
0z
0y
0x

1t

2t
Y
X
Z
1C
2C0P
0z
0y
0x

1t

2t
Y
X
Z
1C
2C0P
 Funções de Várias Variáveis 
0
0 0 0 0
:
( , ) ( )
t
x x
r f
z z x y y y
y



   
0
0 0 0 0
:
( , ) ( )
t
y y
r f
z z x y x x
x


 
   
 Funções de Várias Variáveis 
0
0 0
0 0
1
: ( )
( , )
t
x x
r z z y y
f
x y
y


   

 
0
0 0
0 0
1: ( )
( , )
t
y y
r z z x x
f
x y
x


    

 
 Funções de Várias Variáveis 
 
Para achar a , mantenha y 
como constante e diferencie 
com relação a x 
xf ( , )f x y
 Funções de Várias Variáveis 
 
2 3 2 3( , ) 2 3f x y x x y y  2 22 2 3 0xf x x y    2 24 3xf x x y 
 Funções de Várias Variáveis 
 
Para achar a , mantenha x 
uma constante e diferencie 
com relação à y. 
yf ( , )f x y
10 
 Funções de Várias Variáveis 
 
2 3 2 3( , ) 2 3f x y x x y y  3 20 2 3 3yf x y y    3 22 9yf x y y  
 Funções de Várias Variáveis 
 
2 2
1
( , )
4
f x y
x y

     
3 3
2 2 2 22 2
2 1
( , ) (2,2)
44 2 2 4
f x f
x y
x xx y
 
      
       
3 3
2 2 2 22 2
2 1
( , ) (2,2)
44 2 2 4
f y f
x y
y yx y
 
      
    
Determinar e 
(2,2)xf (2,2)yf
 Funções de Várias Variáveis 
 
 3 2( , )f x y sen x y 2 3 2( , ) 3 cos( )xf x y x x y  3 2( , ) 2 cos( )yf x y y x y  Determinar e 2 3 2(1,2) 3 1 cos(1 2 ) 3 cos(5)xf      3 2(1,2) 2 1 cos(1 2 ) 2 cos(5)yf      
(1,2)xf (1,2)yf
 Funções de Várias Variáveis 
 
2
2xx
f
f
x



2
2yy
f
f
y



2
xy
f
f
x y


 
2
yx
f
f
y x


 
 Funções de Várias Variáveis 
Determine as derivadas parciais de 
segunda ordem de 
3 3 2( , ) 2f x y y x y x  
 Funções de Várias Variáveis 
 
As derivadas de segunda ordem são: 
2( , ) 6xxf x y xy
2( , ) 6xyf x y x y
2( , ) 6yxf x y x y
3( , ) 6 2yyf x y y x 
2 2( , ) 3 2xf x y x y 
2 3( , ) 3 2yf x y y x y 
As derivadas de primeira ordem são: 
11 
 Funções de Várias Variáveis 
 
Teorema de Schwartz: se f é uma 
função real contínua de variáveis x e y, 
tal que suas derivadas parciais de 1ª 
ordem são contínuas, então 
2 2
.
f f
x y y x
 

   
 Funções de Várias Variáveis 
 Funções de Várias Variáveis 
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: 
Thomson, 2006. v.2. 
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES B. Mirian, 
Howard. Cálculo B: funções de várias variáveis, 
integrais múltiplas, curvilíneas e de superfície. 2. ed. 
Revista e ampliada. São Paulo: Makron Books, 2007. 
 Funções de Várias Variáveis 
THOMAS, B. George. Cálculo. 11. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil. 2008. v.2. 
 Funções de Várias Variáveis 
WINPLOT. Construção Gráfica. Disponível em: 
<http://www.math.exeter.edu/rparris/winplot.html>. 
Acesso em: 02 mar. 2009. 
 
Souza, Sérgio de Albuquerque. Manual WINPLOT. 
Disponível em: 
<www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html>. 
Acesso em: 02 mar. 2009. 
 Funções de Várias Variáveis 
Maxima. Disponível em: 
<http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group
_id=4933>Acesso em: 02 mar 2009. 
Manual Maxima. Disponível em: 
<http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/max
ima.html>Acesso em: 02 mar 2009. 
12 
 Funções de Várias Variáveis 
"Não existe vento favorável para 
aquele que não sabe para onde vai. 
(Arthur Schopenhauer)