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<p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 8</p><p>Equações Trigonométricas</p><p>1. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei</p><p>4 4f(x) (sen x cos x) (sen x cos x)   </p><p>O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a</p><p>a)</p><p>5</p><p>.</p><p>12</p><p>π</p><p>b)</p><p>4</p><p>.</p><p>9</p><p>π</p><p>c)</p><p>3</p><p>.</p><p>8</p><p>π</p><p>d)</p><p>5</p><p>.</p><p>6</p><p>π</p><p>e)</p><p>2</p><p>.</p><p>3</p><p>π</p><p>2. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 22 cos x cos(2x) 2,   em que</p><p>0 x ,π  é dado por:</p><p>a) S x (0, ) | 0 x</p><p>6</p><p>π</p><p>π</p><p></p><p>   </p><p></p><p>ou</p><p>5</p><p>x</p><p>6</p><p>π</p><p>π</p><p></p><p>  </p><p></p><p>b)</p><p>2</p><p>S x (0, ) | x</p><p>3 3</p><p>π π</p><p>π</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>c) S x (0, ) | 0 x</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p></p><p>   </p><p></p><p>ou</p><p>2</p><p>x</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p></p><p>  </p><p></p><p>d)</p><p>5</p><p>S x (0, ) | x</p><p>6 6</p><p>π π</p><p>π</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>e)  S x (0, )π </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 8</p><p>3. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b)</p><p>n</p><p>onde</p><p>a e b são números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação</p><p>4 3 2sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0.     Então, para os valores de x encontrados, teremos</p><p>que cosx é igual a</p><p>a) 1.</p><p>b)</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>c)</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>d) 0.</p><p>4. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x. O valor de sen x é</p><p>a)</p><p>3 1</p><p>.</p><p>2</p><p></p><p>b)</p><p>1 3</p><p>.</p><p>2</p><p></p><p>c)</p><p>5 1</p><p>.</p><p>2</p><p></p><p>d)</p><p>1 5</p><p>.</p><p>2</p><p></p><p>5. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 22sen x 3sen x 1 0   tais que</p><p>senp senq, então o valor da expressão 2 2sen p cos q é igual a</p><p>a) 0.</p><p>b) 0,25.</p><p>c) 0,50.</p><p>d) 1.</p><p>6. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a sequência (c,d,e), denominada S2,</p><p>são progressões aritméticas formadas por números reais.</p><p>a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S1, a nova sequência de três</p><p>números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa</p><p>PG.</p><p>b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se</p><p>forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine</p><p>a razão r de S2, para o caso em que r .</p><p>2</p><p>π</p><p>π </p><p>7. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 2 2π α π   e 0 .β π  Se o sistema</p><p>de equações, dado em notação matricial,</p><p>03 6 tg</p><p>,</p><p>6 8 cos 2 3</p><p>α</p><p>β</p><p>    </p><p>     </p><p>     </p><p>for satisfeito, então α β é igual a</p><p>a)</p><p>3</p><p>π</p><p> b)</p><p>6</p><p>π</p><p> c) 0 d)</p><p>6</p><p>π</p><p>e)</p><p>3</p><p>π</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 8</p><p>8. (Uem 2013) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações</p><p>trigonométricas, assinale o que for correto.</p><p>01) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções.</p><p>02) Se f é definida por      f x sen x cos x ,  então a equação f(x)=0 tem como conjunto</p><p>solução x | x k , k .</p><p>2</p><p>π </p><p>    </p><p> </p><p>04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0, .</p><p>2</p><p>π </p><p>  </p><p>08) O gráfico da função f, definida por        </p><p>1</p><p>f x sen x sen 2x cos x ,</p><p>2</p><p>  coincide com o gráfico</p><p>da função g, definida por g(x)=sen</p><p>3</p><p>(x).</p><p>16) Para qualquer a , existe x , tal que tg(x)>a.</p><p>9. (Ufpr 2013) Considere o hexágono indicado na figura abaixo.</p><p>a) Qual é a área do hexágono, quando 60 ?α  </p><p>b) Sabendo que a expressão que fornece a área em função do ângulo é</p><p>   A 2sen sen ,</p><p>2</p><p>α</p><p>α α</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>e que o ângulo α que fornece a área máxima é uma solução</p><p>da equação trigonométrica  cos cos =0,</p><p>2</p><p>α</p><p>α</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>resolva a equação e calcule a área máxima</p><p>do hexágono.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 8</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>[A]</p><p>Lembrando que 2 2sen cos 1α α  e sen2 2sen cos ,α α α temos</p><p>4 4</p><p>2 2 2 2</p><p>f(x) (senx cosx) (senx cosx)</p><p>[(senx cosx) (senx cosx) ][(senx cosx) (senx cosx) ]</p><p>(1 2senxcosx 1 2senxcosx)(1 2senxcosx 1 2senxcosx)</p><p>4 2senxcosx</p><p>4sen2x.</p><p>   </p><p>      </p><p>      </p><p> </p><p></p><p>Logo, como o período de f é</p><p>2</p><p>,</p><p>| 2 |</p><p>π</p><p>π segue-se que a é o maior número real pertencente ao</p><p>intervalo 0, ,</p><p>2</p><p>π </p><p> </p><p> </p><p>tal que</p><p>f(a) 2 4sen2a 2</p><p>sen2a sen</p><p>6</p><p>5</p><p>a ou a .</p><p>12 12</p><p>π</p><p>π π</p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>Portanto,</p><p>5</p><p>a .</p><p>12</p><p>π</p><p></p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[A]</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2cos x cos 2x 2</p><p>2cos x cos x – sen x 2</p><p>2cos x cos x – 1– cos x 2</p><p>4cos x – 3</p><p>3 3</p><p>cos x ou cosx</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>Logo, o conjunto solução será:</p><p>5</p><p>S x (0, ) | 0 x ou x</p><p>6 6</p><p>π π</p><p>π π</p><p> </p><p>      </p><p> </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 8</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[D]</p><p>4 3 2 4sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0 (senx 1) 0 senx 1 0 senx 1            </p><p>Utilizando a relação Fundamental, temos:</p><p>sen</p><p>2</p><p>x + cos</p><p>2</p><p>x = 1</p><p>1</p><p>2</p><p>+ cos</p><p>2</p><p>x = 1</p><p>cos</p><p>2</p><p>x = 0</p><p>Portanto, cosx = 0.</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[C]</p><p>Sabendo que</p><p>senx</p><p>tgx ,</p><p>cosx</p><p> com x k</p><p>2</p><p>π</p><p>π  e 2 2cos x 1 sen x,  vem</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>senx</p><p>cos x tgx cos x</p><p>cos x</p><p>cos x senx</p><p>sen x senx 1</p><p>11</p><p>1senx</p><p>42</p><p>1 5</p><p>senx</p><p>2 2</p><p>5 1</p><p>senx .</p><p>2</p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p></p><p> </p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[B]</p><p>2</p><p>2</p><p>2sen x 3sen x 1 0</p><p>( 3) 4 2 1</p><p>1</p><p>senx 1( 3) 1</p><p>senx</p><p>senx 1/ 22 2</p><p>Δ</p><p>Δ</p><p>  </p><p>    </p><p></p><p>  </p><p></p><p></p><p>2 2 2 2 2 2 2 2sen p cos q sen p (1 sen q) sen p sen q 1 1 (1/ 2) 1 1/ 4 0,25.           </p><p>Resposta da questão 6:</p><p>a) Como (12,a,b) é uma progressão aritmética, segue que</p><p>b 12</p><p>a b 2a 12.</p><p>2</p><p></p><p>   </p><p>Além disso, sabendo que (12,a 1,b 5)  é uma progressão geométrica crescente, vem</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 8</p><p>2 2</p><p>2</p><p>(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)</p><p>a 22a 85 0</p><p>a 17.</p><p>         </p><p>   </p><p> </p><p>Portanto, a razão pedida é dada por</p><p>a 1 17 1</p><p>12 12</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p> </p><p></p><p></p><p>b) Como (c,d,e) é uma progressão aritmética, segue que e 2d c  e r d c.  Daí, sabendo</p><p>que senc send sene 0   e send 0, vem</p><p>sen(2d c) senc send 0</p><p>2d c c 2d c c</p><p>2 sen cos send 0</p><p>2 2</p><p>2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0</p><p>1</p><p>cosr</p><p>2</p><p>2</p><p>r ,</p><p>3</p><p>π</p><p>    </p><p>      </p><p>       </p><p>   </p><p>         </p><p>  </p><p> </p><p>pois r .</p><p>2</p><p>π</p><p>π </p><p>Resposta da questão 7:</p><p>[B]</p><p>Efetuando o produto matricial, vem</p><p>0 3 tg 6cos 03 6 tg</p><p>6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3</p><p>3 tg 6cos 0</p><p>3 tg 4cos 3</p><p>2cos 3</p><p>3</p><p>cos</p><p>2</p><p>rad.</p><p>6</p><p>         </p><p>      </p><p>            </p><p>   </p><p> </p><p>    </p><p>  </p><p>  </p><p></p><p>  </p><p>Desse modo,</p><p>3 tg 6cos 0 tg 3</p><p>6</p><p>rad</p><p>3</p><p></p><p>      </p><p></p><p>   </p><p>e, portanto,</p><p>rad.</p><p>3 6 6</p><p>  </p><p>       </p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 8</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>02 + 08 + 16 = 26.</p><p>[01] Incorreto. x 0 é solução.</p><p>[02] Correto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o</p><p>domínio, o contradomínio e a lei de associação, iremos supor que o domínio de f seja o</p><p>conjunto dos números reais. Logo,</p><p>1</p><p>sen(x) cos(x) 0 sen(2x) 0</p><p>2</p><p>sen(2x) sen0</p><p>2x k 2</p><p>2x k 2</p><p>x k , k .</p><p>2</p><p>   </p><p> </p><p>  </p><p></p><p>    </p><p></p><p>   </p><p>Portanto, o conjunto solução da equação f(x) 0 é x | x k , k .</p><p>2</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>[04] Incorreto. Temos 0</p><p>3</p><p></p><p> e</p><p>1</p><p>f(0) 1 f .</p><p>2 3</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>[08] Correto. De acordo com o comentário do item (02), iremos supor que o domínio e o</p><p>contradomínio de f e g sejam iguais. Desse modo, temos</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>f(x) sen(x) sen(2x)cos(x)</p><p>2</p><p>1</p><p>sen(x) 2sen(x)cos(x)cosx</p><p>2</p><p>sen(x) sen(x)cos (x)</p><p>sen(x) sen(x)(1 sen (x))</p><p>sen (x)</p><p>g(x).</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p></p><p></p><p>Por conseguinte, como os valores de f e g são iguais para todo x pertencente ao</p><p>domínio de ambas, segue-se que f e g são iguais e, portanto, seus gráficos coincidem.</p><p>[16] Correto. Sabendo que a função f :D , com</p><p>k</p><p>D x | x , k ,</p><p>2</p><p> </p><p>    </p><p> </p><p>definida por</p><p>f(x) tgx, é uma função ilimitada superiormente, segue-se que para todo a existe um real</p><p>x, tal que tg(x) a.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 8</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>a) Admitindo que a região central seja interna de um quadrado, teremos a área A da figura</p><p>dada por:</p><p>2</p><p>21 3 3</p><p>A 2 1 1.</p><p>4 2</p><p></p><p>    </p><p>b)</p><p> </p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>cos cos 0</p><p>2</p><p>cos cos sen 0</p><p>2 2 2</p><p>cos cos 1 cos 0</p><p>2 2 2</p><p>2 cos cos 1 0</p><p>2 2</p><p>1 3</p><p>cos cos 1 180 360 (não convém)</p><p>2 2 2 2</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>     </p><p>       </p><p>     </p><p>      </p><p>         </p><p>      </p><p>   </p><p>      </p><p>   </p><p>      </p><p>              </p><p>     </p><p>α</p><p>α</p><p>α α α</p><p>α α α</p><p>α α</p><p>α α α</p><p>α ou</p><p>1</p><p>cos 60 120</p><p>2 2 2</p><p>   </p><p>       </p><p>   </p><p>α α</p><p>α</p><p>Admitindo que a região interna é um retângulo de lados 1 e 3 e que 120 , α temos o</p><p>seguinte cálculo para a área A da figura.</p><p>1 3 3 3</p><p>A 2 1 1 sen120 1 3 3 .</p><p>2 2 2</p><p>          </p>