PDF MATEMATICA - RACIOCINIO LOGICO

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MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
1. Conjuntos Numéricos: Números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais: Operações fundamentais (adição, subtração, mul-
tiplicação, divisão, potenciação e radiciação) propriedades das operações, múltiplos e divisores, números primos, mínimo múltiplo 
comum, máximo divisor comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
2. Razões e Proporções – grandezas direta e inversamente proporcionais, divisão em partes direta e inversamente proporcionais . . . . .06
3. Regra de três simples e composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08
4. Sistema de Medidas: comprimento, capacidade, massa e tempo (unidades, transformação de unidades) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
5. Sistema monetário brasileiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Calculo algébrico: monômios e polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Funções: Ideia de função, interpretação de gráficos, domínio e imagem, função do 1º grau, função do 2º grau– valor de máximo e 
mínimo de uma função do 2º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8. Equações de 1º e 2º graus. Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9. Triângulo retângulo: relações métricas no triângulo retângulo, teorema de Pitágoras e suas aplicações, relações trigonométricas no 
triangulo retângulo. Teorema de Tales Geometria Plana: cálculo de área e perímetro de polígonos. Circunferência e Círculo: compri-
mento da circunferência, área do círculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10. Noções de Geometria Espacial – cálculo do volume de paralelepípedos e cilindros circulares retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11. Matemática Financeira: porcentagem, juro simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12. Estatística: Cálculo de média aritmética simples e média aritmética ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
13. Aplicação dos conteúdos acima listados em resolução de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações 
fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Diagramas lógicos. Proposições e conectivos: 
Conceito de proposição, valores lógicos das proposições, proposições simples, proposições compostas. Operações lógicas sobre pro-
posições: Negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional, bicondicional. Construção de tabelas-verdade. Tautologias, 
contradições e contingências. Implicação lógica, equivalência lógica, Leis De Morgan. Argumentação e dedução lógica. Sentenças 
abertas, operações lógicas sobre sentenças abertas. Quantificador universal, quantificador existencial, negação de proposições quan-
tificadas. Argumentos Lógicos Dedutivos; Argumentos Categóricos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
1
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS NATURAIS, 
INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS: OPE-
RAÇÕES FUNDAMENTAIS (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO E RADICIA-
ÇÃO) PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES, MÚLTIPLOS E 
DIVISORES, NÚMEROS PRIMOS, MÍNIMO MÚLTIPLO 
COMUM, MÁXIMO DIVISOR COMUM
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático necessário 
para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos o conjunto infinito dos números naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor 
a) O sucessor de 0 é 1.
b) O sucessor de 1000 é 1001.
c) O sucessor de 19 é 20.
Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero.
{1,2,3,4,5,6... . }
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um anteces-
sor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, mul-
tiplicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em 
uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utili-
zamos alguns procedimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, 
devemos resolver a multiplicação ou a divisão primeiramente, na 
ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a sub-
tração, também na ordem em que aparecerem e os parênteses são 
resolvidos primeiro.
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
Números Inteiros
Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números 
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. 
Este conjunto pode ser representado por:
Subconjuntos do conjunto :
1)Conjunto dos números inteiros excluindo o zero
 {...-2, -1, 1, 2, ...}
2) Conjuntos dos números inteiros não negativos
 {0, 1, 2, ...}
3) Conjunto dos números inteiros não positivos
 {...-3, -2, -1}
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que pode ser ex-
presso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0
São exemplos de números racionais:
-12/51
-3
-(-3)
-2,333...
As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, 
portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número de-
cimal terá um número finito de algarismos após a vírgula.
2º) Terá um número infinito de algarismos após a vírgula, mas 
lembrando que a dízima deve ser periódica para ser número racio-
nal
OBS: período da dízima são os números que se repetem, se 
não repetir não é dízima periódica e assim números irracionais, que 
trataremos mais a frente.
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Representação Fracionária dos Números Decimais
1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o 
denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, 
um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim por diante.
2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, então como 
podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízima dada 
de x, ou seja
X=0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplicamos por 
10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período.
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Números Irracionais
Identificação de números irracionais
– Todas as dízimas periódicas são números racionais.
– Todos os números inteiros são racionais.
– Todas as frações ordinárias são números racionais.
– Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
– Todas as raízesinexatas são números irracionais.
– A soma de um número racional com um número irracional é 
sempre um número irracional.
– A diferença de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
– Os números irracionais não podem ser expressos na forma , 
com a e b inteiros e b≠0.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
– O quociente de dois números irracionais, pode ser um núme-
ro racional.
Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional.
– O produto de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
Exemplo: . = = 7 é um número racional.
Exemplo: radicais( a raiz quadrada de um número na-
tural, se não inteira, é irracional.
Números Reais
Fonte: www.estudokids.com.br
Representação na reta
Intervalos limitados
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais a 
e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x ϵ R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e menores que 
b.
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Intervalo:]a,b[
Conjunto:{xϵR|a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores que a ou 
iguais a A e menores do que B.
Intervalo:{a,b[
Conjunto {x ϵ R|a≤x<b}
Intervalo fechado à direita – números reais maiores que a e 
menores ou iguais a b.
Intervalo:]a,b]
Conjunto:{x ϵ R|a<x≤b}
Intervalos Ilimitados
Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais me-
nores ou iguais a b.
Intervalo:]-∞,b]
Conjunto:{x ϵ R|x≤b}
Semirreta esquerda, aberta de origem b – números reais me-
nores que b.
Intervalo:]-∞,b[
Conjunto:{x ϵ R|x<b}
Semirreta direita, fechada de origem a – números reais maiores 
ou iguais a A.
Intervalo:[a,+ ∞[
Conjunto:{x ϵ R|x≥a}
Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maiores 
que a.
Intervalo:]a,+ ∞[
Conjunto:{x ϵ R|x>a}
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em 
um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta 
em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal 
para positivo e inverter o número que está na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do 
expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma 
base, repete-se a base e soma os expoentes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
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2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. 
Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se 
os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um 
expoente, podemos elevar cada um a esse mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos 
elevar separados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais 
fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. 
Veja: 
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um 
e multiplica.
Observe: 
( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se
,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++
Então:
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é 
igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radi-
cando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++ então: 
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado 
é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do 
radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
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Exemplo
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
Caso tenha: 
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com 
radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos 
radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de 
quadrados no denominador:
Múltiplos 
Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o pri-
meiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo
O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é in-
finito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por 
todos os números naturais.
M(3)={0,3,6,9,12,...}
Divisores
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 
12 e 15.
D(12)={1,2,3,4,6,12}
D(15)={1,3,5,15}
Observações:
– Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
– Todo número natural é múltiplo de 1.
– Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múlti-
plos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais 
não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir 
as etapas:
• Decompor o número em fatores primos
• Tomar o fatores comuns com o menor expoente
• Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
15 = 3.5 24 = 23.3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
(15,24) = 3
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é 
o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
• Decompor os números em fatores primos
• Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
15,24 2
15,12 2
15,6 2
15,3 3
5,1 5
1
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
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Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão 
com algum dos números, não é necessário que os dois sejam divisí-
veis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua 
aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 23.3.5 = 120
Exemplo
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será 
revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, 
de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os 
ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão 
possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Exemplo
(MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aero-
porto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias 
aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da 
companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 mi-
nutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três com-
panhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse 
mesmo dia, às:
(A) 16h 30min.
(B) 17h 30min.
(C) 18h 30min.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas.
Resposta: E.
20,30,44 2
10,15,22 2
5,15,11 3
5,5,11 5
1,1,11 11
1,1,1
Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660
1h---60minutos
x-----660
x=660/60=11
Então será depois de 11horas que se encontrarão
7+11=18h
RAZÕES E PROPORÇÕES – GRANDEZAS DIRETA E IN-
VERSAMENTE PROPORCIONAIS, DIVISÃO EM PARTES 
DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 
0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/bou 
a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazese 25 moças. 
Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. 
(lembrando que razão é divisão) 
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
A/B e C/D é a igualdade:
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os nú-
meros B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos, isto é:
A x D = B x C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja 
em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
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Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois 
primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, 
assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está 
para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
 
Ou 
Ou
Ou 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos an-
tecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, as-
sim como cada antecedente está para o seu respectivo consequen-
te. Temos então:
Ou
Ou
Ou
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente pro-
porcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a 
razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira 
mais informal, se eu pergunto:
Quanto mais.....mais....
Exemplo
Distância percorrida e combustível gasto
DISTÂNCIA (KM) COMBUSTÍVEL (LITROS)
13 1
26 2
39 3
52 4
Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível?
Diretamente proporcionais
Se eu dobro a distância, dobra o combustível
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente pro-
porcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Quanto mais....menos...
Exemplo
Velocidade x Tempo a tabela abaixo:
VELOCIDADE (M/S) TEMPO (S)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo??
Inversamente proporcional
Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade.
Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn direta-
mente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema 
com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e 
p1+p2+...+pn=P.
A solução segue das propriedades das proporções:
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Exemplo 
Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos 
entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. Caso ganhem o prêmio 
de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado 
entre os dois foi de dividirem o prêmio de forma diretamente pro-
porcional?
Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00.
Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inver-
samente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número 
M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, 
..., 1/pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, 
assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver pro-
blemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três 
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já 
conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de 
espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamen-
te proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, 
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria 
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os nú-
meros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna 
ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na 
segunda coluna vai para cima
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 
5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 
125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de es-
pécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde 
está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos dimi-
nuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente 
proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número 
de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta 
para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido 
das setas.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
9
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
SISTEMA DE MEDIDAS: COMPRIMENTO, CAPACIDADE, MASSA E TEMPO (UNIDADES, 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES)
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medi-
das milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda divide por 10.
Superfície
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes maior que a unidade imedia-
tamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
10
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda divide por 100.
Volume
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encontrar 
sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
Capacidade
Paramedirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúltiplos, 
unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Massa
Unidades de Capacidade
kg hg dag g g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Tempo
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 25 segundos. Demorou 30 minutos 
para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
11
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para 
as horas, sempre que passamos de um para o outro tem que ser na 
mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 mi-
nutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 minutos. Quanto tempo 
ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma for-
ma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demo-
rou o dobro disso. Quanto tempo durou o estudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minu-
tos
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante 
muito tempo, o comércio foi feito por meio da troca de mercado-
rias, mesmo após a introdução da moeda de metal.
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chega-
ram com o início da colonização portuguesa. A unidade monetária 
de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período co-
lonial. Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real) com 
moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 07 
de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro 
de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), múltiplo do real, como 
unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 1942. 
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou 
nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, 
cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real). 
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, 
uma nova unidade monetária, o cruzeiro – Cr$ veio substituir o mil-
-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. 
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pe-
sadas em gramas ao título de 900 milésimos de metal e 100 milési-
mos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 
18 de dezembro de 1926, no regime do ouro como padrão mone-
tário. 
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou 
o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – NCr$, na base de NCr$ 1,00 por 
Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro de 
1986, a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). 
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fa-
zenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de 
fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – 
Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro 
de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o 
Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em 
junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, 
anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado” avaliou 
Mário Henrique Simonsen. 
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da 
Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Provisória nº 32, de 15 
de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado 
novo – NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 
de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). 
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da 
Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida Provisória nº 168, de 15 
de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cru-
zeiro – Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de 
março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a infla-
ção já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente 
a estabilização da moeda. 
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transfor-
mou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – CR$, na base de CR$ 1,00 
por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 
1994). 
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro 
da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cruzeiro real – CR$ se trans-
formou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida 
Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 
9.069, de 29 de junho de 1995). 
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, 
delegou ao Banco Central do Brasil competência para emitir papel-
-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo 
artigo 164 da Constituição Federal de 1988. 
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do 
Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempe-
nhavam o papel de autoridade monetária. 
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
12
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por 
finalidade exercer o controle monetário. A SUMOC fixava os per-
centuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas 
do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como os 
juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, 
orientava a política cambial e representava o País junto a organis-
mos internacionais. 
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e 
o Tesouro Nacional era o órgão emissor de papel-moeda.
Cruzeiro
1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942
O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de 06 
de outubro de 1942), instituiu o Cruzeiro como unidade monetária 
brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o centavo, cor-
respondente à centésima parte do cruzeiro. 
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta 
mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro 
mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos)
Cruzeiro
(sem centavos) 02.12.1964
A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de de-
zembro de 1964), extinguiu a fração do cruzeiro denominada centa-
vo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser 
escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinquenta 
cruzeiros).
Cruzeiro Novo
Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 
de novembro de 1965), regulamentado pelo Decreto nº 60.190, de 
08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967), insti-
tuiu o Cruzeiro Novo como unidade monetária transitória, equiva-
lente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Con-
selho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de fevereirode 1967, estabeleceu a data de 13.02.67 para início de vigência do 
novo padrão. 
Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cru-
zeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e 
setenta e cinco centavos).
Cruzeiro
De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970
A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06 de 
abril de 1970), do Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a de-
nominação Cruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo o 
centavo. 
Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco 
centavos) passou a expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta 
e cinco centavos).
Cruzeiros 
(sem centavos) 16.08.1984
A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84), 
extinguiu a fração do Cruzeiro denominada centavo. Assim, a im-
portância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco 
centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os 
algarismos que a sucediam.
Cruzado
Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986
O Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 
28 de fevereiro de 1986), posteriormente substituído pelo Decreto-
-Lei nº 2.284, de 10 de março de 1986 (D.O.U. de 11 de março de 
1986), instituiu o Cruzado como nova unidade monetária, equiva-
lente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de 
padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28 de fevereiro 
de 1986, do Conselho Monetário Nacional. 
Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhen-
tos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezen-
tos cruzados e cinquenta centavos).
Cruzado Novo
Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989
A Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 
16 de janeiro de 1989), convertida na Lei nº 7.730, de 31 de janeiro 
de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado 
Novo como unidade do sistema monetário, correspondente a um 
mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16 de 
janeiro de 1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a im-
plantação do novo padrão. 
Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquen-
ta centavos) passou a expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e 
trinta centavos).
Cruzeiro
De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990
A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U. 
de 16 de março de 1990), convertida na Lei nº 8.024, de 12 de abril 
de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denomi-
nação Cruzeiro para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um 
cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi 
regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990, 
do Conselho Monetário Nacional.
Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) 
passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros).
Cruzeiro Real 
Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U. de 
29 de julho de 1993), convertida na Lei nº 8.697, de 27 de agosto 
de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993), instituiu o Cruzeiro Real, a 
partir de 01 de agosto de 1993, em substituição ao Cruzeiro, equi-
valendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do 
centavo. A Resolução nº 2.010, de 28 de julho de 1993, do Conselho 
Monetário Nacional, disciplinou a mudança na unidade do sistema 
monetário. 
Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e qui-
nhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e 
setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).
Real
CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994
A Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 
30 de junho de 1994), instituiu o Real como unidade do sistema mo-
netário, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalência de CR$ 
2.750,00 (dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual à 
paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de junho 
de 1994. Foi mantido o centavo.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
13
Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a 
URV - Unidade Real de Valor - prevista na Medida Provisória nº 434, 
publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de 1994, reeditada com os 
números 457 (D.O.U. de 30 de março de 1994) e 482 (D.O.U. de 29 
de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 27 de maio de 
1994 (D.O.U. de 28 de maio de 1994). 
Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) 
passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro mil reais).
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País 
responsável pela execução da política financeira do governo. Cuida 
ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de to-
dos os bancos no País.
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão in-
ternacional que visa ajudar países subdesenvolvidos e em desenvol-
vimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está 
sediada em Washington, nos Estados Unidos.
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de 
Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) é conhecido. Órgão inter-
nacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países 
subdesenvolvidos e em desenvolvimento.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BN-
DES) - Empresa pública federal vinculada ao Ministério do Desen-
volvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo 
financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil.
CALCULO ALGÉBRICO: MONÔMIOS E POLINÔMIOS 
Denomina-se polinômio a função:
Grau de um polinômio
Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indi-
camos: gr(P)=n
Exemplo
P(x)=7 gr(P)=0
P(x)=7x+1 gr(P)=1
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número 
que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações.
Exemplo
P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:
P(2)=2³+2²+1=13
O número a é denominado raiz de P(x).
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P(x), definidos por:
P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx
n
Q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnx
n
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
ak = bk
Redução de Termos Semelhantes
Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos 
fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus 
termos semelhantes.
No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro 
com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo 
um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.
3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a²
Polinômios reduzidos de dois termos também são denomina-
dos binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são 
denominados trinômios.
Ordenação de um polinômio
A ordem de um polinômio deve ser do maior para o menor 
expoente.
4x4+2x³-x²+5x-1
Este polinômio não está ordenado:
3x³+4x5-x²
Operações
Adição e Subtração de Polinômios
Para somar dois polinômios, adicionamos os termos com expo-
entes de mesmo grau. Da mesma forma, para obter a diferença de 
dois polinômios, subtraímos os termos com expoentes de mesmo 
grau.
Exemplo
Multiplicação de Polinômios
Para obter o produto de dois polinômios, multiplicamos cada 
termo de um deles por todos os termos do outro, somando os co-
eficientes.
Exemplo
Divisão de Polinômios
Considere P(x) e D(x), não nulos, tais que o grau de P(x) seja 
maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condições, podemos efetuar 
a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x):
P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)
P(x)=dividendo
Q(x)=quociente
D(x)=divisor
R(x)=resto
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
14
Método da Chave
Passos
1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decrescentes de x.
2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).
3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos de P(x).
4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de D(x), ou resto nulo.
Exemplo
Divida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientesdo quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Vamos analisar os graus:
Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1
Para que haja igualdade:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
15
Algoritmo de Briot-Ruffini
Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a
Exemplo
Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2
Solução
Passos
– Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave
– Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. 
– Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo 
o segundo coeficiente. E assim sucessivamente.
Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4
Produtos Notáveis
1. O quadrado da soma de dois termos.
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
Exemplos
2. O quadrado da diferença de dois termos.
Seguindo o critério do item anterior, temos:
(a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
16
Exemplos:
3. O produto da soma pela diferença de dois termos.
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos.
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplos:
(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
(a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplos
(2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2 + 12y – 8
(2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3
(c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples. 
Casos de fatoração 
Fator Comum: 
Ex.: ax + bx + cx = x (a + b + c) 
O fator comum é x. 
Ex.: 12x³ - 6x²+ 3x = 3x (4x² - 2x + 1) 
O fator comum é 3x 
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
17
Agrupamento: 
Ex.: ax + ay + bx + by 
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator 
comum. 
(ax + ay) + (bx + by) 
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo 
a(x + y) + b(x + y) 
Colocar o fator comum (x + y) em evidência (x + y) (a + b) Este 
produto é a forma fatorada da expressão dada 
Diferença de Dois Quadrados: a² − b² = (a + b) (a − b) 
Trinômio Quadrado Perfeito: a²± 2ab + b² = (a ± b)²
Trinômio do 2º Grau: Supondo x1 e x2 raízes reais do trinômio, 
temos: ax² + bx + c = a (x - x1) (x - x2), a≠0
MDC e MMC de polinômios
Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios, é formado pelo 
produto dos fatores com os maiores expoentes.
Máximo Divisor Comum é o produto dos fatores primos com o 
menor expoente.
Exemplo
X²+7x+10 e 3x²+12x+12
Primeiro passo é fatorar as expressões:
X²+7x+10=(x+2)(x+5)
3x²+12x+12=3(x²+4x+4)=3(x+2)²
Mmc=3(x+2)²(x+5)
Mdc=x+2
Operação com frações algébricas
Adição e subtração de frações algébricas
Da mesma forma que ocorre com as frações numéricas, as fra-
ções algébricas são somadas ou subtraídas obedecendo dois casos 
diferentes.
Caso 1: denominadores iguais.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denomina-
dores iguais, as mesmas regras aplicadas às frações numéricas aqui 
são aplicadas também.
(2x2-5)/x2 -(x2+3)/x2 +(9-x2)/x2 
(2x2-5-x2-3+9-x2)/x2 =1/x2 
Caso 2: denominadores diferentes.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominado-
res diferentes, siga as mesmas orientações dadas na resolução de 
frações numéricas de denominadores diferentes.
(3x+1)/(2x-2)-(x+1)/(x-1)
(3x+1)/2(x-1) -2(x+1)/2(x-1) 
(3x+1-2x-2)/(2(x-1))=(x-1)/2(x-1) =1/2
Multiplicação de frações algébricas
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo 
processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e 
simplificar os fatores comuns.
2x/(x-4)∙3x/(x+5)
Multiplica-se os denominadores e os numeradores.
(6x2)/((x-4)(x+5))=(6x2)/(x2+x-20)
Divisão de frações algébricas
Multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda.
7x/(3-4x) ∶x/(x+1)
7x/(3-4x)∙((x+1))/x
7x(x+1)/(3-4x)x=(7x2+7x)/(3x-4x²)
FUNÇÕES: IDEIA DE FUNÇÃO, INTERPRETAÇÃO DE 
GRÁFICOS, DOMÍNIO E IMAGEM, FUNÇÃO DO 1º 
GRAU, FUNÇÃO DO 2º GRAU– VALOR DE MÁXIMO E 
MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Diagrama de Flechas
Gráfico Cartesiano
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma 
relação entre grandezas. Assim, o valor a ser pago na conta de luz 
depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem 
de automóvel depende da velocidade no trajeto.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domí-
nio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com 
mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem 
da teoria dos conjuntos.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma rela-
ção de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemen-
to x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do 
conjunto B.
Notação: f: A→B (lê-se função f de A em B)
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
18
Domínio, contradomínio, imagem
O domínio é constituído por todos os valores que podem ser 
atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é forma-
da por todos os valores correspondentes da variável dependente.
O conjunto A é denominado domínio da função, indicada por D. 
O domínio serve para definir em que conjunto estamos trabalhan-
do, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio, CD. 
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no con-
tradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela 
função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de 
valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos 
por Im.
Exemplo
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}criamos 
a função f: A→B. definida por f(x) = x + 5 que também pode ser 
representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, 
desta função, é:
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio é 
= {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12}
Classificação das funções
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio 
apresentam imagens também distintas no contradomínio.
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio fo-
rem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Bijetora: Quando apresentar as características de função inje-
tora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos dis-
tintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do con-
tradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Função 1º grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos 
de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a fun-
ção f(x) = ax + b.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas repre-
sentadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de 
formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + 
b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero.Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura 
de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da 
imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficien-
te a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e 
caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfico que os 
valores de y vão crescendo.
Função Decrescente: a < 0
Nesse caso, os valores de y, caem.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
19
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a 
reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, 
pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a 
representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz 
de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base 
na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando 
o valor de x (raiz da função).
X=-b/a
Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas 
equações para acharmos o valor de a e b.
Exemplo:
Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função.
F(1)=1a+b
3=a+b
F(3)=3a+b
5=3a+b
Isolando a em I
a=3-b
Substituindo em II
3(3-b)+b=5
9-3b+b=5
-2b=-4
b=2
Portanto,
a=3-b
a=3-2=1
Assim, f(x)=x+2
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo 
grau tem a seguinte forma:
f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e 
deve ser o maior termo.
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se 
a<0
Discriminante(∆)
∆ = b²-4ac
∆ > 0
A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos dis-
tintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0
∆ = 0
Quando ∆=0 , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no 
ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante ∆ = 0, as duas 
raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais 
∆<0
A função não tem raízes reais
Raízes
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
20
Vértices e Estudo do Sinal
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e 
um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade 
voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são .
Veja os gráficos:
Equação Exponencial
É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de 
uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo
Resolva a equação no universo dos números reais.
Solução
Função exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é 
uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e 
diferente de 1 e o expoente é uma variável.
Função crescente
Se a > 1 temos uma função exponencial crescente, qualquer 
que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida 
que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos 
que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em 
todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x au-
menta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função 
é decrescente.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
21
A Constante de Euler 
É definida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: 
e = 2,7182818284 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Propriedades dos expoentes
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- ax ay= ax + y
- ax / ay= ax - y
- (ax) y= ax.y
- (a b)x = ax bx
- (a / b)x = ax / bx
- a-x = 1 / ax
Logaritmo
Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a 
≠1, existe um número c tal que:
A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a
Ainda com base na definição podemos estabelecer condições 
de existência:
Exemplo
Consequências da Definição
Propriedades
Mudança de Base
Exemplo
Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:
a) log 6
b) log1,5
c) log 16
Solução
a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781
Função Logarítmica
Uma função dada por , em que a constante 
a é positiva e diferente de 1, denomina-se função logarítmica.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
22
EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS. SISTEMAS DE EQUA-
ÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Equação 1º grau
Equação é toda sentença matemática aberta representada por 
uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam 
números desconhecidos.
Equação do 1º grau, na incógnita x, é toda equação redutível 
à forma ax+b=0, em que a e b são números reais, chamados coefi-
cientes, com a≠0.
Uma raiz da equação ax+b =0(a≠0) é um valor numérico de x 
que, substituindo no 1º membro da equação, torna-se igual ao 2º 
membro.
Nada mais é que pensarmos em uma balança.
A balança deixa os dois lados iguais para equilibrar, a equação 
também.
No exemplo temos: 
3x+300 
Outro lado: x+1000+500
E o equilíbrio?
3x+300=x+1500
Quando passamos de um lado para o outro invertemos o sinal
3x-x=1500-300
2x=1200
X=600
Exemplo
(PREF. DE NITERÓI/RJ – Fiscal de Posturas – FGV/2015) A idade 
de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de 
seus dois filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que 
Paulo. Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade 
que Pedro tem hoje.
A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:
(A) 72;
(B) 69;
(C) 66;
(D) 63;
(E) 60.
Resolução
A ideia de resolver as equações é literalmente colocar na lin-
guagem matemática o que está no texto.
“Pierre é três anos mais velho do que Paulo”
Pi=Pa+3
“Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade 
que Pedro tem hoje.”
A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das 
idades de seus dois filhos,
Pe=2(Pi+Pa)
Pe=2Pi+2Pa
Lembrando que:
Pi=Pa+3
Substituindo em Pe
Pe=2(Pa+3)+2Pa
Pe=2Pa+6+2Pa
Pe=4Pa+6
Pa+3+10=2Pa+3
Pa=10
Pi=Pa+3
Pi=10+3=13
Pe=40+6=46
Soma das idades: 10+13+46=69
Resposta: B.
Equação 2º grau
A equação do segundo grau é representada pela fórmula geral:
ax2+bx+c=0
Onde a, b e c são números reais, a≠0.
Discussão das Raízes
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
23
Se for negativo, não há solução no conjunto dos números 
reais.
Se for positivo, a equação tem duas soluções:
Exemplo
 , portanto não há solução real.
Se ∆ < 0 não há solução, pois não existe raiz quadrada real de 
um número negativo.
Se ∆ = 0, há duas soluções iguais:
Se ∆ > 0, há soluções reais diferentes:
Relações entre Coeficientes e Raízes
Dada as duas raízes:
Soma das Raízes
Produto das Raízes
Composição de uma equação do 2ºgrau, conhecidas as raízes
Podemos escrever a equação da seguinte maneira:
x²-Sx+P=0
Exemplo
Dada as raízes -2 e 7. Componha a equação do 2º grau.
Solução
S=x1+x2=-2+7=5
P=x1.x2=-2.7=-14
Então a equação é: x²-5x-14=0
Exemplo
(IMA – Analista Administrativo Jr – SHDIAS/2015) A soma das 
idades de Ana e Júlia é igual a 44 anos, e, quando somamos os qua-
drados dessas idades, obtemos 1000. A mais velha das duas tem:
(A) 24 anos
(B) 26 anos
(C) 31 anos
(D) 33 anos
Resolução
A+J=44
A²+J²=1000
A=44-J
(44-J)²+J²=1000
1936-88J+J²+J²=1000
2J²-88J+936=0 
Dividindo por2:
J²-44J+468=0
∆=(-44)²-4.1.468
∆=1936-1872=64
Substituindo em A
A=44-26=18
Ou A=44-18=26
Resposta: B.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
24
Inequação
Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma 
ou mais incógnitas, que ao contrário da equação que utiliza um sinal 
de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de 
desigualdade:
>: maior
<: menor
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
O princípioresolutivo de uma inequação é o mesmo da equa-
ção, onde temos que organizar os termos semelhantes em cada 
membro, realizando as operações indicadas. No caso das inequa-
ções, ao realizarmos uma multiplicação de seus elementos por
–1com o intuito de deixar a parte da incógnita positiva, invertemos 
o sinal representativo da desigualdade.
Exemplo 1
4x + 12 > 2x – 2
4x – 2x > – 2 – 12
2x > – 14
x > –14/2
x > – 7
Inequação - Produto
Quando se trata de inequações - produto, teremos uma desi-
gualdade que envolve o produto de duas ou mais funções. Portanto, 
surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada 
função e obter a resposta final realizando a intersecção do conjunto 
resposta das funções.
Exemplo
a)(-x+2)(2x-3)<0
Inequação -Quociente
Na inequação- quociente, tem-se uma desigualdade de funções 
fracionárias, ou ainda, de duas funções na qual uma está dividindo 
a outra. Diante disso, deveremos nos atentar ao domínio da função 
que se encontra no denominador, pois não existe divisão por zero. 
Com isso, a função que estiver no denominador da inequação deve-
rá ser diferente de zero.
O método de resolução se assemelha muito à resolução de 
uma inequação - produto, de modo que devemos analisar o sinal 
das funções e realizar a intersecção do sinal dessas funções.
Exemplo
Resolva a inequação a seguir:
x-2≠0
x≠2
Sistema de Inequação do 1º Grau
Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou 
mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo 
que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envol-
vidas.
Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:
Vamos achar a solução de cada inequação.
4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1
S1 = {x ϵ R | x ≤ - 1}
Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.
S2 = { x ϵ R | x ≤ - 1}
Calculando agora o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação
Temos:
S = S1 ∩ S2
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
25
Portanto:
S = { x ϵ R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]
Inequação 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau, toda inequação que pode ser 
escrita numa das seguintes formas:
ax²+bx+c>0
ax²+bx+c≥0
ax²+bx+c<0
ax²+bx+c<0
ax²+bx+c≤0
ax²+bx+c≠0
Exemplo 
Vamos resolver a inequação3x² + 10x + 7 < 0.
Resolvendo Inequações
Resolver uma inequação significa determinar os valores reais 
de x que satisfazem a inequação dada.
Assim, no exemplo, devemos obter os valores reais de x que 
tornem a expressão 3x² + 10x +7negativa.
S = {x ϵ R / –7/3 < x < –1}
Sistema do 1º grau
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é for-
mado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferen-
tes em cada equação. Veja um exemplo:
• Resolução de sistemas
Existem dois métodos de resolução dos sistemas. Vejamos:
• Método da substituição
Consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das 
incógnitas e substituir na outra equação, veja como:
Dado o sistema , enumeramos as equações.
Escolhemos a equação 1 (pelo valor da incógnita de x ser 1) e 
isolamos x. Teremos: x = 20 – y e substituímos na equação 2.
3 (20 – y) + 4y = 72, com isso teremos apenas 1 incógnita. Re-
solvendo:
60 – 3y + 4y = 72 → -3y + 4y = 72 -60 → y = 12
Para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 
20 – y. Logo:
x = 20 – y → x = 20 – 12 →x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal 
forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso 
aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas 
equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a 
soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das in-
cógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por 
– 3.
Teremos:
Adicionando as duas equações:
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas 
equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 → x + 12 = 20 → x = 20 – 12 → x = 8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
26
Exemplos:
(SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre as três equi-
pes de uma escola (amarela, vermelha e branca), foram arrecada-
dos 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 
50 quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 
quilogramas a menos que a equipe branca. A quantidade de alimen-
tos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370
Resolução:
Amarela: x
Vermelha: y
Branca: z
x = y + 50
y = z - 30
z = y + 30
Substituindo a II e a III equação na I:
Substituindo na equação II
x = 320 + 50 = 370
z=320+30=350
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg
Resposta: E
(SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) Em 
um campeonato de futebol, as equipes recebem, em cada jogo, três 
pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto 
se forem derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes 
desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e acumulado 58 
pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 
30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
Resolução:
Vitórias: x
Empate: y
Derrotas: 2
Pelo método da adição temos:
Resposta: E
TRIÂNGULO RETÂNGULO: RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO, TEOREMA DE PITÁGORAS E 
SUAS APLICAÇÕES, RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO 
TRIANGULO RETÂNGULO. TEOREMA DE TALES. GEO-
METRIA PLANA: CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO DE 
POLÍGONOS. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO: COMPRI-
MENTO DA CIRCUNFERÊNCIA, ÁREA DO CÍRCULO
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de 
um ângulo. Considere o triângulo retângulo ABC.
Neste triângulo, temos que: c² = a² + b²
Dividindo os membros por c²
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
27
Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos é uma importante ferramenta matemática 
para o cálculo de medidas dos lados e dos ângulos de triângulos 
quaisquer.
Lei dos Senos
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC.
!":ℎ!"#$%&'() = ! 
!": !"#$#%!!"!#$!!!!!!!!!"#!$%&'%!!!! = ! 
!": !"#$#%!!"#!$%&'%!!!!!!!!"!#$!!!!! = ! 
!
Temos:
sen!α =
cateto!oposto!a!!
hipotenusa =
!
! 
 
 
cos! =
cateto!adjacente!a!!
hipotenusa =
!
! 
 
 
tg!α =
cateto!oposto!a!!
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1
cos! =
ℎ!"#$%&'()
!"#$#%!!"#!$%&'%!!!!
=
!
! 
 
!"#$!!! =
1
!"#$ =
ℎ!"#$%&'()
!"#$#%!!"!#$!!!!!
=
!
!! 
!
Teorema de Pitágoras
c² = a² + b²
Considere um arco , contido numa circunferência de raio r, 
tal que o comprimento do arco seja igual a r.
Dizemos que a medida do arco é 1 radiano(1rad)
Transformação de arcos e ângulos
Determinar em radianos a medida de 120°
!"#$ = 180°!
π ---- 180
X ---- 120
! =
120!
180 =
2!
3 !"# 
!
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
28
Circunferência Trigonométrica
Redução ao Primeiro quadrante
Sen (π - x) = senx
Cos (π - x) = -cos x
Tg (π - x) = -tg x
Sen (π + x) = -sen x
Cos (π + x) = -cos x
Tg (π + x) = tg x
Sen (2π - x) = -sen x
Cos (2π - x) = cos x
Tg (2π - x) = -tg x
Funções Trigonométricas
Função seno
A função seno é uma função !:! → !! que a todo arco 
de medida x ϵ R associa a ordenada y’ do ponto M.
! ! = !"#!!!
D=R e Im=[-1,1]
Exemplo
Sem construir o gráfico, determine o conjunto imagem da fun-
ção f(x)=2sen x.
Solução
-1 ≤ sen x ≤ 1
-2 ≤ 2 sen x ≤ 2
-2 ≤ f (x) ≤ 2
Im = [-2,2]
Função Cosseno
A função cosseno é uma função !:! → !! que a todo arco 
de medida x ϵ R associa a abscissa x do ponto M.
D = R
Im = [-1,1]
Exemplo
Determine o conjunto imagem da função f (x) = 2 + cos x.
Solução
-1 ≤ cos x ≤ 1
-1 + 2 ≤ 2 + cos x ≤ 1 + 2
1 ≤ f (x) ≤ 3
Logo, Im = [1,3]
Função Tangente
A todo arco de medida x associa a ordenada yT do pontoT. 
O ponto T é a interseção da reta com o eixo das tangentes.
!! = !"!!!
! = ! ∈ ! ! ≠
!
2 + !", ! ∈ ! !
Im = R
Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, as ope-
rações da soma e da diferença entre esses arcos será dada pelas 
seguintes identidades: 
 
!"# ! + ! = !"#!! ∙ cos ! + cos! ∙ !"#!! 
 
cos ! + ! = cos! ∙ cos ! − !"#!! ∙ !"#!! 
 
!" ! + ! =
!"!! + !"!!
1− !"!! ∙ !"!! 
!
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
29
Duplicação de arcos
 
!"#2! = 2!"#$! ∙ !"#$ 
 
!"#2! = !"!!! − !"!!! 
 
!"2! =
2!"#
1− !!!! 
!
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas se-
mirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de la-
dos do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
Triângulo
Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um 
vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo intercepta o 
lado oposto
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de 
um ângulo do triângulo que liga um vértice a um ponto do lado 
oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um 
ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
30
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a 
esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo 
que é mediatriz de um dos lados desse triângulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno: três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos
Triângulo retângulo: tem um ângulo reto
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
31
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que 
a soma dos outros dois.Em qualquer triângulo, ao maior ângulo 
opõe-se o maior lado, e vice-versa.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes 
(iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares 
entre si (formam ângulo de 90°) e são bissetrizes dos ângulos inter-
nos (dividem os ângulos ao meio).
Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b é a 
medida da base menor e h é medida da altura.
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a 
medida da altura.
3 - Retângulo: A = b.h
4 - Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e d 
é a medida da diagonal menor.
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
Polígono
Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados 
lados do polígono, enquanto os pontos são chamados vértices do 
polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades 
são vértices não-consecutivos desse polígono.
Número de Diagonais
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono con-
vexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, convenientemente es-
colhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das medidas dos ângu-
los internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos 
internos dos n-2 triângulos.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
32
Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a 
razão de dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à ra-
zão dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são váli-
das as seguintes proporções:
Exemplo
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ân-
gulos internos tiverem, respectivamente, as mesmas medidas, e os 
lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices 
correspondentes, então esses triângulos são congruentes.
2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcio-
nais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então es-
ses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcio-
nais, então esses dois triângulos são semelhantes.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
33
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC.
Temos:
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de 
um ângulo. Considere o triângulo retângulo ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado trian-
gulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chamamos relações métricas as relações existentes entre os 
diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa 
pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela 
altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos (Teorema de Pitágoras).
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
34
Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. 
Nesse caso são chamadas retas coplanares. Podem também não 
estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas rever-
sas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coinci-
dentes.
NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL – CÁLCULO DO VO-
LUME DE PARALELEPÍPEDOS E CILINDROS CIRCULARES 
RETOS.
Cilindros
Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de centro O 
contido num deles, e uma reta s concorrente com os dois.
Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de to-
dos os segmentos paralelos a s, com extremidades no círculo e no 
outro plano.
Classificação
Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando as geratri-
zes são perpendiculares às bases. 
Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é equilá-
tero.
Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.
Área
Área da base: Sb=πr²
Volume
Cones
Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, um pon-
to V que não pertence ao plano.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmen-
tos de reta que tem uma extremidade no ponto V e a outra num 
ponto do círculo denomina-se cone circular.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
35
Classificação
-Reto: eixo VO perpendicular à base;
Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em tor-
no de um de seus catetos. Porisso o cone reto é também chamado 
de cone de revolução.
Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é denomi-
nado cone equilátero.
g2 = h2 + r2
-Oblíquo: eixo não é perpendicular
Área
Volume
Pirâmides
As pirâmides são também classificadas quanto ao número de 
lados da base. 
Área e Volume 
Área lateral: Sl = n. área de um triângulo
Onde n = quantidade de lados
Stotal = Sb + Sl
Prismas
Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R contido 
em α e uma reta r concorrente aos dois.
Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião de todos 
os segmentos paralelos a r, com extremidades no polígono R e no 
plano β.
Assim, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e 
paralelas cujas outras faces são paralelogramos obtidos ligando-se 
os vértices correspondentes das duas faces paralelas.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
36
Classificação
Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases
Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.
PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO
Classificação pelo polígono da base
TRIANGULAR QUADRANGULAR
E assim por diante...
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se pa-
ralelepípedos.
PARALELEPÍPEDO RETO PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces quadra-
das.
Prisma Regular
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o 
prisma é dito regular.
As faces laterais são retângulos congruentes e as bases são con-
gruentes (triângulo equilátero, hexágono regular,...)
Área
Área cubo: St = 6a2
Área paralelepípedo: St = 2(ab + ac + bc)
A área de um prisma: St = 2Sb + St
Onde: St = área total
Sb = área da base
Sl = área lateral, soma-se todas as áreas das faces laterais.
Volume
Paralelepípedo: V = a . b . c
Cubo: V = a³
Demais: V = Sb . h
MATEMÁTICA FINANCEIRA: 
PORCENTAGEM, JURO SIMPLES 
Matemática Financeira
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual 
sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidia-
no das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações 
de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, 
aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre 
outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas 
na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um emprés-
timo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais 
acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é 
superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o 
nome de juros.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação finan-
ceira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Pre-
sente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado 
pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Taxa de juros e Tempo
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro 
emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente 
expressa da forma percentual, em seguida da especificação do perí-
odo de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que 
é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Montante
Também conhecido como valor acumulado é a soma do Capi-
tal Inicial com o juro produzido em determinado tempo.
Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver 
questões.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
37
M = C + J
M = montante
C = capital inicial
J = juros
M=C+C.i.n
M=C(1+i.n)
Juros Simples
Chama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo em-
préstimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por um 
prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.
Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado 
é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações 
envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C i n, onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, 
ano...)
Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplica-
ção devem ser referentes a um mesmo período. Ou seja, os dois 
devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O 
que não pode ocorrer é um estar em meses e outro em anos, ou 
qualquer outra combinação de períodos.
Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JU-
ROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.
Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser tra-
balhada de várias maneiras para se obter cada um de seus valores, 
ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou 
seja, como exemplo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) 
e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso vale para 
qualquer combinação.
Exemplo
Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. 
Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a 
oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de 
R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de 
juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
Resposta Letra “e”. 
O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a pri-
meira foi à vista. Sendo assim, o valor devido seria R$40 (85-45) e a 
parcela a ser paga de R$45.
Aplicando a fórmula M = C + J:
45 = 40 + J
J = 5
Aplicando a outra fórmula J = C i n:
5 = 40 X i X 1
i = 0,125 = 12,5%
Juros Compostos
o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo 
no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada in-
tervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render 
juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utilizajuros com-
postos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras 
com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações finan-
ceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos 
de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de 
juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do pro-
cesso de desconto simples de duplicatas.
O cálculo do montante é dado por:
M = C (1 + i)t
Exemplo
Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de 
R$25000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses
C = 25000
i = 25%aa = 0,25
i = 72 meses = 6 anos
M = C (1 + i)t
M = 25000 (1 + 0,25)6
M = 25000 (1,25)6
M = 95367,50
M = C + J
J = 95367,50 - 25000 = 70367,50
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu sím-
bolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos 
nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de cal-
cular, etc. 
Os acréscimos e os descontos é importante saber porque ajuda 
muito na resolução do exercício.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determina-
do valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse 
valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for 
de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela 
abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 x 1,10 = R$ 11,00
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
38
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação =1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 X 0,90 = R$ 9,00
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e 
venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro=preço de venda -preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas 
formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analistade Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula 
com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse total está com gripe. Se x% 
das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível 
para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se to-
dos os meninos estiverem gripados, assim apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
ESTATÍSTICA: CÁLCULO DE MÉDIA ARITMÉTICA SIM-
PLES E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se 
obtém dividindo a soma dos elementos pelo número de elementos 
do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na 
pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritméti-
ca para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferen-
tes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil estabe-
lecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos 
jogadores é:
1,85 + 1,85 + 1,95 + 1,98 + 1,98 + 1,98 + 2,01 + 2,01+2,07+2,07
+2,07+2,07+2,10+2,13+2,18 = 30,0
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obte-
remos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adi-
ção e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chama-
da média aritmética ponderada.
Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol: x1 , x2 , x3 , ... xn
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo xi tal que o núme-
ro de termos da sequência que precedem xi é igual ao número de 
termos que o sucedem, isto é, xi é termo médio da sequência (xn) 
em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média arit-
mética entre os termos xj e xj +1, tais que o número de termos que 
precedem xj é igual ao número de termos que sucedem xj +1, isto é, 
a mediana é a média aritmética entre os termos centrais da sequ-
ência (xn) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
39
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 
12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética 
entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
Moda (Mo)
Num conjunto de números: x1 , x2 , x3 , ... xn, chama-se moda 
aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, 
isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
Medidas de dispersão
Duas distribuições de frequência com medidas de tendência 
central semelhantes podem apresentar características diversas. 
Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o 
grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de 
qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados 
medidas de dispersão.
Variância 
Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um 
conjunto de números em relação à sua média aritmética, e que é 
chamado de variância. Esse índice é assim definido:
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua 
média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se 
por , o número:
Isto é:
E para amostra
Exemplo 1:
Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o se-
guinte desempenho, descrito na tabela abaixo:
JOGO NÚMERO DE PONTOS
1 22
2 18
3 13
4 24
5 26
6 20
7 19
8 18
a) Qual a média de pontos por jogo?
b) Qual a variância do conjunto de pontos?
Solução:
a) A média de pontos por jogo é:
b) A variância é:
Desvio médio
Definição
Medida da dispersão dos dados em relação à média de uma se-
quência. Esta medida representa a média das distâncias entre cada 
elemento da amostra e seu valor médio.
Desvio padrão
Definição
Seja o conjunto de números x1 , x2 , x3 , ... xn, tal que é sua mé-
dia aritmética. Chama-se desvio padrão desse conjunto, e indica-se 
por , o número:
Isto é:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
40
Exemplo:
As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 
2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:
a) A estatura média desses jogadores.
b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.
Solução:
Sendo a estatura média, temos:
Sendo o desvio padrão, tem-se:
APLICAÇÃO DOS CONTEÚDOS ACIMA LISTADOS EM 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Prezado Candidato, o conteúdo relacionado ao tópico acima supra-
citado será abordado ao final do conteúdo no tópico “Exercícios”.
ESTRUTURA LÓGICA DE RELAÇÕES ARBITRÁRIAS EN-
TRE PESSOAS, LUGARES, OBJETOS OU EVENTOS FICTÍ-
CIOS; DEDUZIR NOVAS INFORMAÇÕES DAS RELAÇÕES 
FORNECIDAS E AVALIAR AS CONDIÇÕES USADAS PARA 
ESTABELECER A ESTRUTURA DAQUELAS RELAÇÕES. 
DIAGRAMAS LÓGICOS. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS: 
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO, VALORES LÓGICOS DAS 
PROPOSIÇÕES, PROPOSIÇÕES SIMPLES, PROPOSIÇÕES 
COMPOSTAS. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSI-
ÇÕES: NEGAÇÃO, CONJUNÇÃO, DISJUNÇÃO, DISJUN-
ÇÃO EXCLUSIVA, CONDICIONAL, BICONDICIONAL. 
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE. TAUTOLOGIAS, 
CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS. IMPLICAÇÃO 
LÓGICA, EQUIVALÊNCIA LÓGICA, LEIS DE MORGAN. 
ARGUMENTAÇÃO E DEDUÇÃO LÓGICA. SENTENÇAS 
ABERTAS, OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS 
ABERTAS. QUANTIFICADOR UNIVERSAL, QUANTIFI-
CADOR EXISTENCIAL, NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 
QUANTIFICADAS. ARGUMENTOS LÓGICOS DEDUTI-
VOS; ARGUMENTOS CATEGÓRICOS
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
Este tipo de raciocínio testa sua habilidade de resolver proble-
mas matemáticos, e é uma forma de medir seu domínio das dife-
rentes áreas do estudo da Matemática: Aritmética, Álgebra, leitura 
de tabelas e gráficos, Probabilidade e Geometria etc. Essa parte 
consiste nos seguintes conteúdos:
- Operação com conjuntos.
- Cálculos com porcentagens.
- Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geomé-
tricos e matriciais.
- Geometria básica.
- Álgebra básica e sistemas lineares.
- Calendários.
- Numeração.
- Razões Especiais.
- Análise Combinatória e Probabilidade.
- Progressões Aritmética e Geométrica.
RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO 
Este tipo de raciocínio está relacionado ao conteúdo Lógica de 
Argumentação.
ORIENTAÇÕES ESPACIAL E TEMPORAL 
O raciocínio lógico espacial ou orientação espacial envolvem 
figuras, dados e palitos. O raciocínio lógico temporal ou orientação 
temporal envolve datas, calendário, ou seja, envolve o tempo.
O mais importante é praticar o máximo de questões que envol-
vam os conteúdos:
- Lógica sequencial
- Calendários
RACIOCÍNIO VERBAL
Avalia a capacidade de interpretar informação escrita e tirar 
conclusões lógicas.
Uma avaliação de raciocínio verbal é um tipo de análise de ha-
bilidade ou aptidão, que pode ser aplicada ao se candidatar a uma 
vaga. Raciocínio verbal é parte da capacidade cognitiva ou inteli-
gência geral; é a percepção, aquisição, organização e aplicação do 
conhecimento por meio da linguagem.
Nos testes de raciocínio verbal, geralmente você recebe um 
trecho com informações e precisa avaliar um conjunto de afirma-
ções, selecionando uma das possíveis respostas:
A – Verdadeiro (A afirmação é uma consequência lógica das in-
formações ou opiniões contidas no trecho)
B – Falso (A afirmação é logicamente falsa, consideradas as in-
formações ou opiniões contidas no trecho)
C – Impossível dizer (Impossível determinar se a afirmação é 
verdadeira ou falsa sem mais informações)
ESTRUTURAS LÓGICAS
Precisamos antes de tudo compreender o que são proposições. 
Chama-se proposição toda sentença declarativa à qual podemos 
atribuir um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca ambos.Trata-se, portanto, de uma sentença fechada.
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógi-
co verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, 
não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? 
– Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a 
televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, am-
bíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro 
do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO 
valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será conside-
rada uma frase, proposição ou sentença lógica.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As 
proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições 
simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Proposições Compostas – Conectivos
As proposições compostas são formadas por proposições simples ligadas por conectivos, aos quais formam um valor lógico, que po-
demos vê na tabela a seguir:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Bicondicional ↔ p se e somente se q
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
Exemplo: 
(MEC – CONHECIMENTOS BÁSICOS PARA OS POSTOS 9,10,11 E 16 – CESPE)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F corres-
pondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição horizontal é igual a
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos:
R Q P [ P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
Resposta: Certo
Proposição
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas transmitem pensamentos, 
isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes.
Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e uma falsidade, se a proposi-
ção é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns aximos da lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA 
existindo um terceiro caso.
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.”
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
• Sentença aberta:quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não 
é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova?- Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro do 
meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada 
uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As 
proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições sim-
ples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R...,também chamadas letras proposicionais.
Exemplo
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Exemplos: 
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos considerando a quantidade 
certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? -como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa.
Resposta: B.
Conectivos (conectores lógicos) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. São eles:
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA TABELA VERDADE
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Exemplo: 
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da 
linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apre-
senta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧. A negação é repre-
sentada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma 
proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representada pelo símbolo (→).
Resposta: B.
Tabela Verdade 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a com-
põe. O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes, 
ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
• Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte 
teorema:
“A tabela verdade de umaproposição composta com n* proposições simples componentes contém 2n linhas.”
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da propo-
sição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência 
• Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma tautologia, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma tautologia, quaisquer que sejam 
as proposições P0, Q0, R0, ...
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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• Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). A contradição é a negação da Tauto-
logia e vice versa. 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma contradição, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma contradição, quaisquer que sejam 
as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contingência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna). Em outros termos a contingência é uma proposição 
composta que não é tautologia e nem contradição.
Exemplos: 
4. (DPU – ANALISTA – CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual 
identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). 
No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas.
() Certo 
() Errado
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalência
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma 
solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES.
Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para tal, trocamos o conectivo 
por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO 
transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
CONECTIVOS
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. 
OPERAÇÃO CONECTIVO ESTRUTURA LÓGICA EXEMPLOS
Negação ~ Não p A cadeira não é azul.
Conjunção ^ p e q Fernando é médico e Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Inclusiva v p ou q Fernando é médico ou Nicolas é Engenheiro.
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Fernando é médico ou João é Engenheiro.
Condicional → Se p então q Se Fernando é médico então Nicolas é Engenheiro.
Bicondicional ↔ p se e somente se q Fernando é médico se e somente se Nicolas é Engenheiro.
Conectivo “não” (~)
Chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) 
quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. Pela tabela verdade temos:
Conectivo “e” (˄)
Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:
ATENÇÃO: Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumen-
tos lógicos, tiverem valores verdadeiros.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Conectivo “ou” (v)
Este inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente).
Conectivo “ou” (v)
Este exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa).
• Mais sobre o Conectivo “ou”
– “inclusivo”(considera os dois casos) 
– “exclusivo”(considera apenas um dos casos)
Exemplos:
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das proposições é verdadeira, podendo ser ambas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser verdadeira
Ele pode ser “inclusivo”(considera os dois casos) ou “exclusivo”(considera apenas um dos casos)
Exemplo: 
R: Paulo é professor ou administrador 
S: Maria é jovem ou idosa 
No primeiro caso, o “ou” é inclusivo,pois pelo menos uma das proposições é verdadeira, podendo ser ambas. 
No caso da segunda, o “ou” é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser verdadeiro
Conectivo “Se... então” (→)
Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, 
então irei à praia”.
1. Podem ocorrer as situações:
2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)
5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia). 
Temos então sua tabela verdade:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. 
Conectivo “Se e somente se” (↔)
Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é con-
dição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.
Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:
1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade). Sua tabela verdade:
Observe que uma bicondicional só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras.
ATENÇÃO: O importante sobre os conectivos é ter em mente a tabela de cada um deles, para que assim você possa resolver qualquer 
questão referente ao assunto.
Ordem de precedência dos conectivos:
O critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática 
prioriza as operações de acordo com a ordem listadas:
Em resumo:
Exemplo: 
(PC/SP - DELEGADO DE POLÍCIA - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da 
linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apre-
senta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p ->q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧. A negação é repre-
sentada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma 
proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representada pelo símbolo (→).
Resposta: B
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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CONTRADIÇÕES
São proposições compostas formadas por duas ou mais propo-
sições onde seu valor lógico é sempre FALSO, independentemente 
do valor lógico das proposições simples que a compõem. Vejamos:
A proposição: p ̂ ~p é uma contradição, conforme mostra a sua 
tabela-verdade:
Exemplo: 
(PEC-FAZ) Conforme a teoria da lógica proposicional, a propo-
sição ~P ∧ P é:
(A) uma tautologia.
(B) equivalente à proposição ~p ∨ p.
(C) uma contradição.
(D) uma contingência.
(E) uma disjunção. 
Resolução:
Montando a tabela teremos que:
P ~p ~p ^p
V F F
V F F
F V F
F V F
Como todos os valores são Falsidades (F) logo estamos diante 
de uma CONTRADIÇÃO.
Resposta: C
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,-
q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. 
Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente 
temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distin-
tos. O primeiro (“→”) representa a condicional, que é um conec-
tivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica 
que pode ou não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas 
de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Em ou-
tras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de propo-
sições verdadeiras já existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
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• Modus Tollens
Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das 
proposições p e q, dá-se a nova proposição p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → 
Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica 
p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer propo-
sição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a 
condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Lógica de primeira ordem
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposi-
ções com quantificadores. Numa proposição categórica, é impor-
tante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coeren-
te e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira 
ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas 
proposições categóricas.
• Classificação de uma proposição categórica de acordo com 
o tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fun-
damentais: qualidade e extensão ou quantidade.
– Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição 
categórica em afirmativa ou negativa.
– Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica 
uma proposição categórica em universal ou particular. A classifica-
ção dependerá do quantificador que é utilizado na proposição. 
Entre elas existem tipos e relações de acordo com a qualidade 
e a extensão, classificam-se em quatro tipos, representados pelas 
letras A, E, I e O.
• Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”
Teremos duas possibilidades.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no 
conjunto “B”, ou seja, que todo e qualquer elemento de “A” é tam-
bém elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de 
“Todo B é A”.
• Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum 
entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “nenhum A é B” é o mes-
mo que dizer “nenhum B é A”.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte dia-
grama (A ∩ B = ø):
• Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
52
Podemos ter 4 diferentes situações para representar esta pro-
posição:
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” 
tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto “B”. Con-
tudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo 
A é B. Observe “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
• Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três 
representações possíveis:
Proposições nessa forma: Algum A não é B estabelecem que o 
conjunto “A” tem pelo menos um elemento que não pertence ao 
conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo 
que Algum B não é A.
• Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as 
seguintes convenções de equivalência:
– Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos 
uma proposição categórica particular.
– Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição 
categórica particular geramos uma proposição categórica universal.
– Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, 
sempre, uma proposição de natureza negativa; e, pela recíproca, 
negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, 
uma proposição de natureza afirmativa.
Em síntese:
Exemplos: 
(DESENVOLVE/SP - CONTADOR - VUNESP) Alguns gatos não 
são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. 
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afir-
mação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são par-
dos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos 
não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é 
pardo.
Resolução:
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição 
do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a sua negação. 
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo 
o esquema, pelos quantificadores universais (todos ou nenhum). 
Logo, podemos descartar as alternativas A e E.
A negação de uma conjunção se faz através de uma disjunção, 
em que trocaremos o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Descarta-
mos a alternativa B.
Vamos, então, fazer a negação da frase, não esquecendo de 
que a relação que existe é: Algum A é B, deve ser trocado por: Todo 
A é não B.
Todos os gatos que são pardos ou os gatos (aqueles) que não 
são pardos NÃO miam alto.
Resposta: C
(CBM/RJ - CABO TÉCNICO EM ENFERMAGEM - ND) Dizer que a 
afirmação “todos os professores é psicólogos” e falsa, do ponto de 
vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira
(A) Todos os não psicólogos são professores.
(B) Nenhum professor é psicólogo.
(C) Nenhum psicólogo é professor.
(D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
(E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
Resolução:
Se a afirmação é falsa a negação será verdadeira. Logo, a nega-
ção de um quantificador universal categórico afirmativo se faz atra-
vés de um quantificador existencial negativo. Logo teremos: Pelo 
menos um professor não é psicólogo.
Resposta: E
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
53
• Equivalência entre as proposições
Basta usar o triângulo a seguir e economizar um bom tempo na 
resolução de questões.
Exemplo:(PC/PI - ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL - UESPI) Qual a negação 
lógica da sentença “Todo número natural é maior do que ou igual 
a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-
-se a sua negação. 
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o 
esquema abaixo, pelo quantificador algum, pelo menos um, existe 
ao menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com To-
dos e Nenhum, que também são universais.
Portanto, já podemos descartar as alternativas que trazem 
quantificadores universais (todo e nenhum). Descartamos as alter-
nativas A, B e C. 
Seguindo, devemos negar o termo: “maior do que ou igual a 
cinco”. Negaremos usando o termo “MENOR do que cinco”.
Obs.: maior ou igual a cinco (compreende o 5, 6, 7...) ao ser 
negado passa a ser menor do que cinco (4, 3, 2,...).
Resposta: D
Diagramas lógicos
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários proble-
mas. É uma ferramenta para resolvermos problemas que envolvam 
argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento po-
dem ser formadas por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para 
conseguir resolver questões que envolvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, 
então pertence também a B.
E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que 
pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa.
I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento co-
mum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguin-
tes formas:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
54
O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a aten-
ção está sobre o(s) elemento (s) de A que 
não são B (enquanto que, no “Algum A é 
B”, a atenção estava sobre os que eram B, 
ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a dife-
rença entre conjuntos, que forma o con-
junto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO 
– IADES) Considere as proposições: “todo cinema é uma casa de 
cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é 
casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último 
diagrama vimos que não é uma verdade, pois temos que existe 
pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mes-
mo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, 
a primeira proposição já nos afirma o contrário. O diagrama 
nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justifi-
cativa é observada no diagrama da alternativa anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Cor-
reta, que podemos observar no diagrama abaixo, uma vez que 
todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura 
também não é cinema.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
55
Resposta: E
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de propo-
sições iniciais redunda em outra proposição final, que será conse-
quência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa 
um conjunto de proposições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do 
argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do argu-
mento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo dado pode ser chamado de Silogismo (argumento 
formado por duas premissas e a conclusão).
A respeito dos argumentos lógicos, estamos interessados em 
verificar se eles são válidos ou inválidos! Então, passemos a enten-
der o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem 
construído), quando a sua conclusão é uma consequência obrigató-
ria do seu conjunto de premissas.
Exemplo: 
O silogismo...
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
Q: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um 
argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da 
conclusão sejam totalmente questionáveis.
ATENÇÃO: O que vale é a CONSTRUÇÃO, E NÃO O SEU CONTE-
ÚDO! Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, 
independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!
• Como saber se um determinado argumento é mesmo váli-
do? 
Para se comprovar a validade de um argumento é utilizando 
diagramas de conjuntos (diagramas de Venn). Trata-se de um mé-
todo muito útil e que será usado com frequência em questões que 
pedem a verificação da validade de um argumento. Vejamos como 
funciona, usando o exemplo acima. Quando se afirma, na premissa 
P1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar 
essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (ho-
mens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos 
pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase 
“Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo 
menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO. 
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a pa-
lavra-chave desta sentença é NENHUM. E a ideia que ela exprime é 
de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença 
“Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em 
comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas 
vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
56
Comparando a conclusão do nosso argumento, temos:
NENHUM homem é animal – com o desenho das premissas 
será que podemos dizer que esta conclusão é uma consequência 
necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o con-
junto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do 
conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido!
Argumentos Inválidos
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado 
ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade 
das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclu-
são. 
Exemplo:
P1: Todas as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança.
Q: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois 
as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. 
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois 
a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam 
de chocolate.
Utilizando os diagramas de conjuntos para provar a validade 
do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo arti-
fício, que o argumento em análise é inválido. Comecemos pela pri-
meira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. 
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é 
criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da 
primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Pa-
trícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos 
facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo das 
crianças. É a única restrição que faz a segundapremissa! Isto posto, 
concluímos que Patrícia poderá estar em dois lugares distintos do 
diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
2º) Dentro do conjunto maior. Vejamos:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não 
gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para sabermos se este ar-
gumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado 
(se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro!
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de cho-
colate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! 
Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círcu-
lo), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! 
Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a 
veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos 
possibilitarão afirmar se um argumento é válido ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada 
quando nas premissas do argumento aparecem as palavras TODO, 
ALGUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada 
quando não for possível resolver pelo primeiro método, o que ocor-
re quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e 
nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , “e”, “” e “↔”. Baseia-se 
na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para 
cada premissa e outra para a conclusão. Este método tem a des-
vantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve 
várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e consi-
derando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a vali-
dade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na impossibi-
lidade do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. 
Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobri-
remos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em 
verdade, para que o argumento seja considerado válido.
4º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, conside-
rando premissas verdadeiras e conclusão falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do 
terceiro método não possibilitará a descoberta do valor lógico da 
conclusão de maneira direta, mas somente por meio de análises 
mais complicadas.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
57
Em síntese:
Exemplo: 
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 2º método. 
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos seguir 
adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
- 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? A resposta também 
é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
58
Resolução pelo 3º Método
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão 
verdadeira. Teremos:
- 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
- 1ª Premissa) (p ∧ q)r é verdade. Sabendo que r é falsa, 
concluímos que (p ∧ q) tem que ser também falsa. E quando uma 
conjunção (e) é falsa? Quando uma das premissas for falsa ou am-
bas forem falsas. Logo, não é possível determinamos os valores 
lógicos de p e q. Apesar de inicialmente o 3º método se mostrar 
adequado, por meio do mesmo, não poderemos determinar se o 
argumento é ou NÃO VÁLIDO.
Resolução pelo 4º Método
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Tere-
mos:
- Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verda-
deiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas 
verdadeiras! Teremos:
- 1ª Premissa) (p∧q)r é verdade. Sabendo que p e q são ver-
dadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é 
verdadeira. Daí resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: 
r é verdadeiro.
- 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é 
falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi!
Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 
4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência si-
multânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que 
o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido!
Exemplos: 
(DPU – AGENTE ADMINISTRATIVO – CESPE) Considere que as 
seguintes proposições sejam verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o 
item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as pre-
missas chegamos a uma conclusão. Enumerando as premissas: 
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudio fica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional:
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, 
utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando 
estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B 
= V – para que o argumento seja válido temos que Quando chove 
tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). 
// C → B = V - para que o argumento seja válido temos que Maria 
vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D 
= V - para que o argumento seja válido temos que Quando Cláudio 
sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). 
// E → ~A = V. – neste caso Quando Fernando está estudando pode 
ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao 
cinema (V), então Fernando estava estudando (V ou F); pois temos 
dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
Resposta: Errado
(PETROBRAS – TÉCNICO (A) DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO 
JÚNIOR – INFORMÁTICA – CESGRANRIO) Se Esmeralda é uma fada, 
então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca 
é um centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma 
bruxa.
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
Resolução:
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é 
bruxa, considerando ela como (V), precisamos ter como conclusão 
o valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) 
→ V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro 
(F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) 
→ V
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
59
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem verdadeiras, logo, a única que 
contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.Resposta: B
LÓGICA MATEMÁTICA QUALITATIVA 
Aqui veremos questões que envolvem correlação de elementos, pessoas e objetos fictícios, através de dados fornecidos. Vejamos o 
passo a passo:
01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem ê casado com quem. Eles tra-
balham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o 
nome de cada marido, a profissão de cada um e o nome de suas esposas.
a) O médico é casado com Maria.
b) Paulo é advogado.
c) Patrícia não é casada com Paulo.
d) Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da questão.
1º passo – vamos montar uma tabela para facilitar a visualização da resolução, a mesma deve conter as informações prestadas no 
enunciado, nas quais podem ser divididas em três grupos: homens, esposas e profissões.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
2º passo – construir a tabela gabarito.
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam 
meio escondidas na tabela principal. Uma tabela complementa a outra, podendo até mesmo que você chegue a conclusões acerca dos 
grupos e elementos.
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos
Luís
Paulo
3º passo preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma 
dúvida. Em nosso exemplo:
- O médico é casado com Maria: marque um “S” na tabela principal na célula comum a “Médico” e “Maria”, e um “N” nas demais 
células referentes a esse “S”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
ATENÇÃO: se o médico é casado com Maria, ele NÃO PODE ser casado com Lúcia e Patrícia, então colocamos “N” no cruzamento 
de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico, logo ela NÃO PODE ser casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo 
colocamos “N” no cruzamento do nome de Maria com essas profissões). 
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
60
– Paulo é advogado: Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
– Patrícia não é casada com Paulo: Vamos preencher com “N” na tabela principal
– Carlos não é médico: preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco. Podemos também completar a tabela gabarito.
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um “S” nesta célula. E preenchemos 
sua tabela gabarito.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro
Luís Médico
Paulo Advogado
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar informações que levem a novas conclu-
sões, que serão marcadas nessas tabelas.
Observe que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, fato que poderia ser registrado na tabela-gabarito. Mas não vamos 
fazer agora, pois essa conclusão só foi facilmente encontrada porque o problema que está sendo analisado é muito simples. Vamos con-
tinuar o raciocínio e fazer as marcações mais tarde. Além disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, 
podemos concluir que Patrícia não é casada com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N N
Maria S N N
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada com o advogado.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
61
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o engenheiro (que e Carlos) e Maria é 
casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
HOMENS PROFISSÕES ESPOSAS
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
Exemplo: 
(TRT-9ª REGIÃO/PR – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana e Paulo viajaram em janeiro, todos 
para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
Resolução:
Vamos preencher a tabela:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N
Arnaldo N
Mariana
Paulo
− Mariana viajou para Curitiba;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N
− Paulo não viajou para Goiânia;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
− Luiz não viajou para Fortaleza.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
62
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
Agora, completando o restante:
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. En-
tão, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz para Goiânia
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N S N N
Arnaldo S N N N
Mariana N N S N
Paulo N N N S
Resposta: B
Quantificador 
É um termo utilizado para quantificar uma expressão. Os quan-
tificadores são utilizados para transformar uma sentença aberta ou 
proposição aberta em uma proposição lógica.
QUANTIFICADOR + SENTENÇA ABERTA = SENTENÇA FECHADA
Tipos de quantificadores
• Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo: 
Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será 
mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
ATENÇÃO: Todo homem é mortal, mas nem todo mortal é ho-
mem.
A frase “todo homem é mortal” possui as seguintes conclusões:
1ª) Algum mortal é homem ou algum homem é mortal.
2ª) Se José é homem, então José é mortal.
A forma “Todo A é B” pode ser escrita na forma: Se A então B.
A forma simbólica da expressão “Todo A é B” é a expressão (∀ 
(x) (A (x) → B).
Observe que a palavra todo representa uma relação de inclusão 
de conjuntos, por isso está associada ao operador da condicional.
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora, se escrevermos da for-
ma ∀ (x) ∈ N / x + 2 = 5 ( lê-se: para todo pertencente a N temos x 
+ 2 = 5), atribuindo qualquer valor a x a sentença será verdadeira? 
A resposta é NÃO, pois depois de colocarmos o quantificador, 
a frase passa a possuir sujeito e predicado definidos e podemos jul-
gar, logo, é uma proposição lógica.
• Quantificador existencial (∃)
O símbolo ∃ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo:
“Algum matemático é filósofo.” O diagrama lógico dessa frase 
é:
O quantificador existencial tem a função de elemento comum. 
A palavra algum, do ponto de vista lógico, representa termos co-
muns, por isso “Algum A é B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ 
(x)) (A (x) ∧ B).
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Escrevendo da forma (∃ x) ∈ 
N / x + 2 = 5 (lê-se: existe pelo menos um x pertencente a N tal que x 
+ 2 = 5), atribuindo um valor que, colocado no lugar de x, a sentença 
será verdadeira? 
A resposta é SIM, pois depois de colocarmos o quantificador, 
a frase passou a possuir sujeito e predicado definidose podemos 
julgar, logo, é uma proposição lógica.
ATENÇÃO: 
– A palavra todo não permite inversão dos termos: “Todo A é B” 
é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra algum permite a inversão dos termos: “Algum A é 
B” é a mesma coisa que “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplos:
Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
63
Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclusões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça de animal, pois mantém a relação de “está contido” (segunda forma de 
conclusão).
Resposta: B
(CESPE) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀ x) (x ∈ R) (∃ y) (y ∈ R) (x + y = x) é valorada como V.
Resolução:
Lemos: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais (R) existe um y pertencente ao conjunto dos números dos reais (R) tal 
que x + y = x.
– 1º passo: observar os quantificadores.
X está relacionado com o quantificador universal, logo, todos os valores de x devem satisfazer a propriedade.
Y está relacionado com o quantificador existencial, logo, é necessário pelo menos um valor de x para satisfazer a propriedade.
– 2º passo: observar os conjuntos dos números dos elementos x e y.
O elemento x pertence ao conjunto dos números reais.
O elemento y pertence ao conjunto os números reais.
– 3º passo: resolver a propriedade (x+ y = x).
A pergunta: existe algum valor real para y tal que x + y = x?
Existe sim! y = 0.
X + 0 = X.
Como existe pelo menos um valor para y e qualquer valor de x somado a 0 será igual a x, podemos concluir que o item está correto.
Resposta: CERTO
LÓGICA SEQUENCIAL
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, 
o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam 
de mais elementos para definir sua lógica1. Um bom conhecimento em Progressões Algébricas (PA) e Geométricas (PG), fazem com que 
deduzir as sequências se tornem simples e sem complicações. E o mais importante é estar atento a vários detalhes que elas possam ofe-
recer. Exemplos:
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.
Sequência de Figuras: Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer 
rotações, como nos exemplos a seguir. Exemplos:
01. Analise a sequência a seguir:
1 https://centraldefavoritos.com.br/2017/07/21/sequencias-com-numeros-com-figuras-de-palavras/
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
64
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª 
posição dessa sequência é:
Resolução:
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277 ocu-
pa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com nN. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é 
representada pela letra “B”.
Resposta: B.
02. (Câmara de Aracruz/ES - Agente Administrativo e Legislativo - IDECAN) A sequência formada pelas figuras representa as posições, 
a cada 12 segundos, de uma das rodas de um carro que mantém velocidade constante. Analise-a.
Após 25 minutos e 48 segundos, tempo no qual o carro permanece nessa mesma condição, a posição da roda erá:
Resolução:
A roda se mexe a cada 12 segundos. Percebe-se que ela volta ao seu estado inicial após 48 segundos.
O examinador quer saber, após 25 minutos e 48 segundos qual será a posição da roda. Vamos transformar tudo para segundos:
25 minutos = 1500 segundos (60x25)
1500 + 48 (25m e 48s) = 1548 
Agora é só dividir por 48 segundos (que é o tempo que levou para roda voltar à posição inicial)
1548 / 48 = vai ter o resto “12”. 
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
65
Portanto, após 25 minutos e 48 segundos, a roda vai estar na 
posição dos 12 segundos.
Resposta: B.
PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO, PROBLEMAS USANDO 
AS QUATRO OPERAÇÕES
É possível resolver problemas usando o raciocínio lógico e asso-
ciar ao mesmo, questões matemáticas básicas. No entanto, ele não 
pode ser ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através 
da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução 
de algumas habilidades mentais.
Exemplos:
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Em 
um prédio há três caixas d’água chamadas de A, B e C e, em certo 
momento, as quantidades de água, em litros, que cada uma contém 
aparecem na figura a seguir.
Abrindo as torneiras marcadas com x no desenho, as caixas fo-
ram interligadas e os níveis da água se igualaram.
Considere as seguintes possibilidades:
1. A caixa A perdeu 300 litros.
2. A caixa B ganhou 350 litros.
3. A caixa C ganhou 50 litros.
É verdadeiro o que se afirma em:
(A) somente 1;
(B) somente 2;
(C) somente 1 e 3;
(D) somente 2 e 3;
(E) 1, 2 e 3.
Resolução:
Somando os valores contidos nas 3 caixas temos: 700 + 150 + 
350 = 1200, como o valor da caixa será igualado temos: 1200/3 = 
400l. Logo cada caixa deve ter 400 l. 
Então de A: 700 – 400 = 300 l devem sair
De B: 400 – 150 = 250 l devem ser recebidos
De C: Somente mais 50l devem ser recebidos para ficar com 
400 (400 – 350 = 50). Logo As possibilidades corretas são: 1 e 3
Resposta: C.
02. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Cada 
um dos 160 funcionários da prefeitura de certo município possui 
nível de escolaridade: fundamental, médio ou superior. O quadro a 
seguir fornece algumas informações sobre a quantidade de funcio-
nários em cada nível: 
Fundamental Médio Superior
Homens 15 30
Mulheres 13 36
Sabe-se também que, desses funcionários, exatamente 64 têm 
nível médio. Desses funcionários, o número de homens com nível 
superior é:
(A) 30;
(B) 32;
(C) 34;
(D) 36;
(E) 38.
Resolução:
São 160 funcionários
No nível médio temos 64, como 30 são homens, logo 64 – 30 
= 34 mulheres
Somando todos os valores fornecidos temos: 15 + 13 + 30 + 34 
+ 36 = 128
160 – 120 = 32, que é o valor que está em branco em homens 
com nível superior.
Resposta: B. 
03. (Pref. Petrópolis/RJ – Auxiliar de coveiro- Fundação Dom 
Cintra) Um elevador pode transportar, no máximo, 7 adultos por 
viagem. Numa fila desse elevador estão 45 adultos. O número míni-
mo de viagens que esse elevador deverá dar, para que possa trans-
portar todas as pessoas que estão na fila, é:
(A) 4;
(B) 5;
(C) 6;
(D) 7;
(E) 8.
Resolução:
Dividindo 45/7= 6,42. Como 6.7 = 42 sobram 3 pessoas para 
uma próxima viagem. Logo temos 6 + 1 = 7 viagens
Resposta: D.
04. (Pref. Marilândia/ES – Aux. Serviços Gerais – IDECAN) Anel 
está para dedo, assim como colar está para
(A) papel
(B) braço
(C) perna
(D) pescoço
Resolução:
O Anel usa-se no dedo, logo o colar usa-se no pescoço.
Resposta: D.
05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE) Em uma festa com 
15 convidados, foram servidos 30 bombons: 10 de morango, 10 de 
cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bom-
bom e
•quem comeu bombom de morango comeu também bombom 
de pistache;
• quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu tam-
bém bombom de cereja;
• quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
É possível que um mesmo convidado tenha comido todos os 10 
bombons de pistache.
() Certo ( ) Errado
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
66
Resolução:
Vamos partir da 2ª informação, utilizando a afirmação do enun-
ciado que ele comeu 10 bombons de pistache:
- quem comeu dois ou mais bombons(10 bombons) de pista-
che comeu também bombom de cereja; - CERTA.
Sabemos que quem come pistache come morango, logo:
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom 
de pistache; - CERTA
Analisando a última temos:
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. – 
ERRADA, pois esta contradizendo a informação anterior.
Resposta: Errado.
EXERCÍCIOS
1. (IPRESB/SP - ANALISTA DE PROCESSOS PREVIDENCI-
ÁRIOS- VUNESP/2017) Uma gráfica precisa imprimir um lote de 
100000 folhetos e, para isso, utiliza a máquina A, que imprime 5000 
folhetos em 40 minutos. Após 3 horas e 20 minutos de funciona-
mento, a máquina A quebra e o serviço restante passa a ser fei-
to pela máquina B, que imprime 4500 folhetos em 48 minutos. O 
tempo que a máquina B levará para imprimir o restante do lote de 
folhetos é
(A) 14 horas e 10 minutos.
(B) 14 horas e 05 minutos.
(C) 13 horas e 45 minutos.
(D) 13 horas e 30 minutos.
(E) 13 horas e 20 minutos.
2. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017) 
Renata foi realizar exames médicos em uma clínica. Ela saiu de sua 
casa às 14h 45 min e voltou às 17h 15 min. Se ela ficou durante uma 
hora e meia na clínica, então o tempo gasto no trânsito, no trajeto 
de ida e volta, foi igual a
(A) 1/2h.
(B) 3/4h.
(C) 1h.
(D) 1h 15min.
(E) 1 1/2h.
3. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017) 
Uma indústria produz regularmente 4500 litros de suco por dia. Sa-
be-se que a terça parte da produção diária é distribuída em caixi-
nhas P, que recebem 300 mililitros de suco cada uma. Nessas condi-
ções, é correto afirmar que a cada cinco dias a indústria utiliza uma 
quantidade de caixinhas P igual a
(A) 25000.
(B) 24500.
(C) 23000.
(D) 22000.
(E) 20500.
4. (UNIRV/GO – AUXILIAR DE LABORATÓRIO – UNIRV-
GO/2017) Uma empresa farmacêutica distribuiu 14400 litros de 
uma substância líquida em recipientes de 72 cm3 cada um. Sabe-se 
que cada recipiente, depois de cheio, tem 80 gramas. A quantidade 
de toneladas que representa todos os recipientes cheios com essa 
substância é de 
(A) 16
(B) 160 
(C) 1600
(D) 16000
5. (MPE/GO – OFICIAL DE PROMOTORIA – MPEGO/2017) 
João estuda à noite e sua aula começa às 18h40min. Cada aula tem 
duração de 45 minutos, e o intervalo dura 15 minutos. Sabendo-se 
que nessa escola há 5 aulas e 1 intervalo diariamente, pode-se afir-
mar que o término das aulas de João se dá às:
(A) 22h30min
(B) 22h40min
(C) 22h50min
(D) 23h
(E) Nenhuma das anteriores
6. (IBGE – AGENTE CENSITÁRIO ADMINISTRATIVO- 
FGV/2017) Quando era jovem, Arquimedes corria 15km em 
1h45min. Agora que é idoso, ele caminha 8km em 1h20min.
Para percorrer 1km agora que é idoso, comparado com a época 
em que era jovem, Arquimedes precisa de mais: 
(A) 10 minutos; 
(B) 7 minutos;
(C) 5 minutos;
(D) 3 minutos;
(E) 2 minutos.
7. (IBGE – AGENTE CENSITÁRIO ADMINISTRATIVO- 
FGV/2017) Lucas foi de carro para o trabalho em um horário de 
trânsito intenso e gastou 1h20min. Em um dia sem trânsito intenso, 
Lucas foi de carro para o trabalho a uma velocidade média 20km/h 
maior do que no dia de trânsito intenso e gastou 48min.
A distância, em km, da casa de Lucas até o trabalho é: 
(A) 36; 
(B) 40; 
(C) 48; 
(D) 50; 
(E) 60.
8. (EMDEC - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO JR – IBFC/2016) 
Carlos almoçou em certo dia no horário das 12:45 às 13:12. O total 
de segundos que representa o tempo que Carlos almoçou nesse dia 
é:
(A) 1840
(B) 1620
(C) 1780
(D) 2120
9. (ANP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2016) 
Um caminhão-tanque chega a um posto de abastecimento com 
36.000 litros de gasolina em seu reservatório. Parte dessa gasolina 
é transferida para dois tanques de armazenamento, enchendo-os 
completamente. Um desses tanques tem 12,5 m3, e o outro, 15,3 
m3, e estavam, inicialmente, vazios.
Após a transferência, quantos litros de gasolina restaram no 
caminhão-tanque?
(A) 35.722,00
(B) 8.200,00
(C) 3.577,20
(D) 357,72
(E) 332,20
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
67
10. (DPE/RR – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – FCC/2015) 
Raimundo tinha duas cordas, uma de 1,7 m e outra de 1,45 m. Ele 
precisava de pedaços, dessas cordas, que medissem 40 cm de com-
primento cada um. Ele cortou as duas cordas em pedaços de 40 cm 
de comprimento e assim conseguiu obter 
(A) 6 pedaços. 
(B) 8 pedaços. 
(C) 9 pedaços. 
(D) 5 pedaços. 
(E) 7 pedaços.
11. (PREFEITURA DE SALVADOR /BA - TÉCNICO DE NÍVEL 
SUPERIOR II - DIREITO – FGV/2017) Em um concurso, há 150 can-
didatos em apenas duas categorias: nível superior e nível médio.
Sabe-se que:
• dentre os candidatos, 82 são homens;
• o número de candidatos homens de nível superior é igual ao 
de mulheres de nível médio;
• dentre os candidatos de nível superior, 31 são mulheres.
O número de candidatos homens de nível médio é 
(A) 42. 
(B) 45. 
(C) 48. 
(D) 50.
(E) 52.
12. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA 
- MSCONCURSOS/2017) Raoni, Ingrid, Maria Eduarda, Isabella e 
José foram a uma prova de hipismo, na qual ganharia o competidor 
que obtivesse o menor tempo final. A cada 1 falta seriam incremen-
tados 6 segundos em seu tempo final. Ingrid fez 1’10” com 1 falta, 
Maria Eduarda fez 1’12” sem faltas, Isabella fez 1’07” com 2 faltas, 
Raoni fez 1’10” sem faltas e José fez 1’05” com 1 falta. Verificando a 
colocação, é correto afirmar que o vencedor foi: 
(A) José 
(B) Isabella 
(C) Maria Eduarda 
(D) Raoni 
13. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - 
MSCONCURSOS/2017) O valor de √0,444... é: 
(A) 0,2222... 
(B) 0,6666... 
(C) 0,1616... 
(D) 0,8888... 
14. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO - VUNESP/2017) 
Se, numa divisão, o divisor e o quociente são iguais, e o resto é 10, 
sendo esse resto o maior possível, então o dividendo é
(A) 131.
(B) 121.
(C) 120.
(D) 110.
(E) 101.
15. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) As expressões 
numéricas abaixo apresentam resultados que seguem um padrão 
específico: 
1ª expressão: 1 x 9 + 2
2ª expressão: 12 x 9 + 3
3ª expressão: 123 x 9 + 4
...
 7ª expressão: █ x 9 + ▲
Seguindo esse padrão e colocando os números adequados no 
lugar dos símbolos █ e ▲, o resultado da 7ª expressão será 
(A) 1 111 111. 
(B) 11 111. 
(C) 1 111. 
(D) 111 111. 
(E) 11 111 111.
16. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) Durante um 
treinamento, o chefe da brigada de incêndio de um prédio comer-
cial informou que, nos cinquenta anos de existência do prédio, nun-
ca houve um incêndio, mas existiram muitas situações de risco, fe-
lizmente controladas a tempo. Segundo ele, 1/13 dessas situações 
deveu-se a ações criminosas, enquanto as demais situações haviam 
sido geradas por diferentes tipos de displicência. Dentre as situa-
ções de risco geradas por displicência,
− 1/5 deveu-se a pontas de cigarro descartadas inadequada-
mente;
− 1/4 deveu-se a instalações elétricas inadequadas;
− 1/3 deveu-se a vazamentos de gás e;
− As demais foram geradas por descuidos ao cozinhar.
De acordo com esses dados, ao longo da existência desse pré-
dio comercial, a fração do total de situações de risco de incêndio 
geradas por descuidos ao cozinhar corresponde à 
(A) 3/20. 
(B) 1/4. 
(C) 13/60. 
(D) 1/5. 
(E) 1/60.
17. (ITAIPU BINACIONAL - PROFISSIONAL NÍVEL TÉCNICO 
I - TÉCNICO EM ELETRÔNICA – NCUFPR/2017) Assinale a alterna-
tiva que apresenta o valor da expressão 
(A) 1.
(B) 2. 
(C) 4.
(D) 8. 
(E) 16.
18. (UNIRV/GO – AUXILIAR DE LABORATÓRIO – UNIRV-
GO/2017)
 Qual o resultado de ?
(A) 3 
(B) 3/2
(C) 5
(D) 5/2
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
68
19. (IBGE – AGENTE CENSITÁRIO MUNICIPAL E SUPERVI-
SOR – FGV/2017) Suponha que a # b signifique a - 2b .
Se 2#(1#N)=12 , então N é igual a: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
(D) 4; 
(E) 6.
20. (IBGE – AGENTE CENSITÁRIO MUNICIPAL E SUPERVI-
SOR – FGV/2017) Uma equipe de trabalhadores de determinada 
empresa tem o mesmo número de mulheres e de homens. Certa 
manhã, 3/4 das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram 
para um atendimento externo.
Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mu-
lheres é:
(A) 3/4;
(B) 8/9;
(C) 5/7;
(D) 8/13;
(E) 9/17.
21. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA 
-MSCONCURSOS/2017) Um aparelho de televisão que custa 
R$1600,00 estava sendo vendido, numa liquidação, com um des-
conto de 40%. Marta queria comprar essa televisão, porém não ti-
nha condições de pagar à vista, e o vendedor propôs que ela desse 
um cheque para 15 dias, pagando 10% de juros sobre o valor da 
venda na liquidação. Ela aceitou e pagou pela televisão o valor de:
(A) R$1120,00 
(B)R$1056,00
(C)R$960,00 
(D) R$864,00
22. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) A equipe de 
segurança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca 
de 35% das ocorrências de dano ao patrimônio nas cercanias desse 
prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autorida-
des competentes. Após uma reestruturação dos procedimentos de 
segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual de 
resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca de 
63%. De acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe 
de segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patri-
mônio em
(A) 35%. 
(B) 28%. 
(C) 63%. 
(D) 41%. 
(E) 80%.
23. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) Três irmãos, An-
dré, Beatriz e Clarice, receberam de uma tia herança constituída pe-
las seguintes joias: um bracelete de ouro, um colar de pérolas e um 
par de brincos de diamante. A tia especificou em testamento que 
as joias não deveriam ser vendidas antes da partilha e que cada um 
deveria ficar com uma delas, mas não especificou qual deveria ser 
dada a quem. O justo, pensaram os irmãos, seria que cada um re-
cebesse cerca de 33,3% da herança, mas eles achavam que as joias 
tinham valores diferentes entre si e, além disso, tinham diferentes 
opiniões sobre seus valores. Então, decidiram fazer a partilha do 
seguinte modo:
− Inicialmente, sem que os demais vissem, cada um deveria 
escrever em um papel três porcentagens, indicando sua avaliação 
sobre o valor de cada joia com relação ao valor total da herança.
− A seguir, todos deveriam mostrar aos demais suas avaliações.
− Uma partilha seria considerada boa se cada um deles rece-
besse uma joia que avaliou como valendo 33,3% da herança toda 
ou mais.
As avaliações de cada um dos irmãos a respeito das joias foi a 
seguinte:
ANDRÉ Bracelete: 40% Colar: 50% Brincos: 10%
BEATRIZ Bracelete: 30% Colar: 50% Brincos: 20%
CLARICE Bracelete: 30% Colar: 20% Brincos: 50%
Assim, uma partilha boa seria se André, Beatriz e Clarice rece-
bessem, respectivamente, 
(A) o bracelete, os brincos e o colar. 
(B) os brincos, o colar e o bracelete.
(C) o colar, o bracelete e os brincos. 
(D) o bracelete, o colar e os brincos. 
(E) o colar, os brincos e o bracelete.
24. (UTFPR – TÉCNICO DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO 
– UTFPR/2017) Um retângulo de medidas desconhecidas foi alte-
rado. Seu comprimento foi reduzido e passou a ser 2/ 3 do com-
primento original e sua largura foi reduzida e passou a ser 3/ 4 da 
largura original.
Pode-se afirmar que, em relação à área do retângulo original, a 
área do novo retângulo:
(A)foi aumentada em 50%.
(B) foi reduzida em 50%.
(C) aumentou em 25%.
(D) diminuiu 25%.
(E)foi reduzida a 15%.
25. (MPE/GO – OFICIAL DE PROMOTORIA – MPEGO/2017) 
Paulo, dono de uma livraria, adquiriu em uma editora um lote de 
apostilas para concursos, cujo valor unitário original é de R$ 60,00. 
Por ter cadastro no referido estabelecimento, ele recebeu 30% de 
desconto na compra. Para revender os materiais, Paulo decidiu 
acrescentar 30% sobre o valor que pagou por cada apostila. Nestas 
condições, qual será o lucro obtido por unidade?
(A) R$ 4,20.
(B) R$ 5,46.
(C) R$ 10,70.
(D) R$ 12,60.
(E) R$ 18,00.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
69
26. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) Joana 
foi fazer compras. Encontrou um vestido de R$ 150,00 reais. Des-
cobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de 
muito pensar, Joana pagou à vista o tal vestido. Quanto ela pagou?
(A) R$ 120,00 reais
(B) R$ 112,50 reais
(C) R$ 127,50 reais
(D) R$ 97,50 reais
(E) R$ 90 reais
27. (TJ/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VU-
NESP/2017) A empresa Alfa Sigma elaborou uma previsão de re-
ceitas trimestrais para 2018. A receita prevista para o primeiro tri-
mestre é de 180 milhões de reais, valor que é 10% inferior ao da 
receita prevista para o trimestre seguinte. A receita prevista para o 
primeiro semestre é 5% inferior à prevista para o segundo semes-
tre. Nessas condições, é correto afirmar que a receita média trimes-
tral prevista para 2018 é, em milhões de reais, igual a
(A) 200.
(B) 203.
(C) 195.
(D) 190.
(E) 198.
28. (CRM/MG – TÉCNICO EM INFORMÁTICA- FUNDEP/2017) 
Veja, a seguir, a oferta da loja Magazine Bom Preço:
Aproveite a Promoção!
Forno Micro-ondas
De R$ 720,00
 Por apenas R$ 504,00
Nessa oferta, o desconto é de:
(A) 70%.
(B) 50%.
(C) 30%.
(D) 10%.
29 (CODAR – RECEPCIONISTA – EXATUS/2016) Considere 
que uma caixa de bombom custava, em novembro, R$ 8,60 e pas-
sou a custar, em dezembro, R$ 10,75. O aumento no preço dessa 
caixa de bombom foi de:
(A) 30%. 
(B) 25%. 
(C)20%. 
(D) 15%
30. (ANP – TÉCNICO EM REGULAÇÃO DE PETRÓLEO E DE-
RIVADOS – CESGRANRIO/2016) Um grande tanque estava vazio 
e foi cheio de óleo após receber todo o conteúdo de 12 tanques 
menores, idênticos e cheios.
Se a capacidade de cada tanque menor fosse 50% maior do que 
a sua capacidade original, o grande tanque seria cheio, sem exces-
sos, após receber todo o conteúdo de
(A) 4 tanques menores
(B) 6 tanques menores
(C) 7 tanques menores
(D) 8 tanques menores
(E) 10 tanques menores
31. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VU-
NESP/2017) A figura, com dimensões indicadas em centímetros, 
mostra um painel informativo ABCD, de formato retangular, no qual 
se destaca a região retangular R, onde x > y.
Sabendo-se que a razão entre as medidas dos lados correspon-
dentes do retângulo ABCD e da região R é igual a 5/2 , é correto 
afirmar que as medidas, em centímetros, dos lados da região R, in-
dicadas por x e y na figura, são, respectivamente,
(A) 80 e 64.
(B) 80 e 62.
(C) 62 e 80.
(D) 60 e 80.
(E) 60 e 78.
32. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VU-
NESP/2017) O piso de um salão retangular, de 6 m de comprimento, 
foi totalmente coberto por 108 placas quadradas de porcelanato, 
todas inteiras. Sabe-se que quatro placas desse porcelanato cobrem 
exatamente 1 m2 de piso. Nessas condições, é correto afirmar que 
o perímetro desse piso é, em metros, igual a
(A) 20.
(B) 21.
(C) 24.
(D) 27.
(E) 30.
33. (IF/ES – Administrador – IFES/2017) Seis livros diferentes 
estão distribuídos em uma estante de vidro, conforme a figura abai-
xo:
 
Considerando-se essa mesma forma de distribuição, de quan-
tas maneiras distintas esses livros podem ser organizados na estan-
te?
(A) 30 maneiras
(B) 60 maneiras
(C) 120 maneiras
(D) 360 maneiras
(E) 720 maneiras
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
70
34. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – 
UTFPR/2017) Em um carro que possui 5 assentos, irão viajar 4 pas-
sageiros e 1 motorista. Assinale a alternativa que indica de quantas 
maneiras distintas os 4 passageiros podem ocupar os assentos do 
carro.
(A) 13.
(B) 26.
(C) 17.
(D) 20.
(E) 24.
35. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – 
UTFPR/2017) A senha criada para acessar um site da internet é for-
mada por 5 dígitos. Trata-se de uma senha alfanumérica. André tem 
algumas informações sobre os números e letras que a compõem 
conforme a figura.
Vogal Algarismo 
Ímpar Vogal Algarismo 
Ímpar
Algarismo 
Ímpar
Sabendo que nesta senha as vogais não se repetem e também 
não se repetem os números ímpares, assinale a alternativa que in-
dica o número máximo de possibilidades que existem para a com-
posição da senha.
(A) 3125.
(B) 1200.
(C) 1600.
(D) 1500.
(E) 625.
36. (PREF. DE PIRAUBA/MG – ASSISTENTE SOCIAL – MS-
CONCURSOS/2017) A probabilidade de qualquer uma das 3 crian-
ças de um grupo soletrar, individualmente, a palavra PIRAÚBA de 
forma correta é 70%. Qual a probabilidade das três crianças soletra-
rem essa palavra de maneira errada? 
(A) 2,7% 
(B) 9%
(C) 30% 
(D) 35,7%37. (UFTM – TECNÓLOGO – UFTM/2016) Lançam-se simulta-
neamente dois dados não viciados, a probabilidade de que a soma 
dos resultados obtidos seja nove é:
(A) 1/36 
(B) 2/36 
(C) 3/36 
(D) 4/36
38. (CASAN – TÉCNICO DE LABORATÓRIO – INSTITUTO 
AOCP/2016) Um empresário, para evitar ser roubado, escondia seu 
dinheiro no interior de um dos 4 pneus de um carro velho fora de 
uso, que mantinha no fundo de sua casa. Certo dia, o empresário se 
gabava de sua inteligência ao contar o fato para um de seus amigos, 
enquanto um ladrão que passava pelo local ouvia tudo. O ladrão ti-
nha tempo suficiente para escolher aleatoriamente apenas um dos 
pneus, retirar do veículo e levar consigo. Qual é a probabilidade de 
ele ter roubado o pneu certo?
(A) 0,20.
(B) 0,23.
(C) 0,25.
(D) 0,27.
(E) 0,30.
39. (MRE – OFICIAL DE CHANCELARIA – FGV/2016) Em uma 
urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se ale-
atoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. 
A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da 
urna seja par é: 
(A) 1/2;
(B) 3/7;
(C) 4/7;
(D) 7/15;
(E) 8/15.
40. (CASAN – ADVOGADO – INSTITUTO AOCP/2016) Lançan-
do uma moeda não viciada por três vezes consecutivas e anotando 
seus resultados, a probabilidade de que a face voltada para cima 
tenha apresentado ao menos uma cara e ao menos uma coroa é:
(A) 0,66.
(B) 0,75.
(C) 0,80.
(D) 0,98.
(E) 0,50.
41. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - 
MSCONCURSOS/2017) O dobro do quadrado de um número na-
tural aumentado de 3 unidades é igual a sete vezes esse número. 
Qual é esse número?
(A) 2
(B) 3
(C) 4 
(D) 5
42. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO -VUNESP/2017) 
Um carro parte da cidade A em direção à cidade B pela rodovia que 
liga as duas cidades, percorre 1/3 do percurso total e para no ponto 
P. Outro carro parte da cidade B em direção à cidade A pela mesma 
rodovia, percorre 1/4 do percurso total e para no ponto Q. Se a 
soma das distâncias percorridas por ambos os carros até os pontos 
em que pararam é igual a 28 km, então a distância entre os pontos 
P e Q, por essa rodovia, é, em quilômetros, igual a
(A) 26.
(B) 24.
(C) 20.
(D) 18.
(E) 16.
43. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO -VUNESP/2017) 
Nelson e Oto foram juntos a uma loja de materiais para construção. 
Nelson comprou somente 10 unidades iguais do produto P, todas 
de mesmo preço. Já Oto comprou 7 unidades iguais do mesmo pro-
duto P, e gastou mais R$ 600,00 na compra de outros materiais. Se 
os valores totais das compras de ambos foram exatamente iguais, 
então o preço unitário do produto P foi igual a
(A) R$ 225,00.
(B) R$ 200,00.
(C) R$ 175,00.
(D) R$ 150,00.
(E) R$ 125,00.
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
71
44. (TRT – 14ªREGIÃO -TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2016)
Carlos presta serviço de assistência técnica de computadores em 
empresas. Ele cobra R$ 12,00 para ir até o local, mais R$ 25,00 por 
hora de trabalho até resolver o problema (também são cobradas 
as frações de horas trabalhadas). Em um desses serviços, Carlos re-
solveu o problema e cobrou do cliente R$ 168,25, o que permite 
concluir que ele trabalhou nesse serviço
(A) 5 horas e 45 minutos.
(B) 6 horas e 15 minutos.
(C) 6 horas e 25 minutos.
(D) 5 horas e 25 minutos.
(E) 5 horas e 15 minutos.
45. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) No sis-
tema de coordenadas cartesianas da figura abaixo, encontram-se 
representados o gráfico da função de segundo grau f, definida por 
f(x), e o gráfico da função de primeiro grau g, definida por g(x).
Os valores de x, soluções da equação f(x)=g(x), são 
(A)-0,5 e 2,5.
(B) -0,5 e 3. 
(C) -1 e 2. 
(D) -1 e 2,5. 
(E) -1 e 3.
GABARITO
1. Resposta: E.
3h 20 minutos-200 minutos
5000-----40
x----------200
x=1000000/40=25000
Já foram impressos 25000, portanto faltam ainda 75000
4500-------48
75000------x
X=3600000/4500=800 minutos
800/60=13,33h
13 horas e 1/3 hora
13h e 20 minutos
2. Resposta: C.
Como ela ficou 1hora e meia na clínica o trajeto de ida e volta 
demorou 1 hora.
3. Resposta: A.
4500/3=1500 litros para as caixinhas
1500litros=1500000ml
1500000/300=5000 caixinhas por dia
5000.5=25000 caixinhas em 5 dias
4. Resposta: A.
14400litros=14400000 ml
200000⋅80=16000000 gramas=16 toneladas
5. Resposta: B.
5⋅45=225 minutos de aula
225/60=3 horas 45 minutos nas aulas mais 15 minutos de in-
tervalo=4horas
18:40+4h=22h:40
6. Resposta: D.
1h45min=60+45=105 minutos
15km-------105
1--------------x
X=7 minutos
1h20min=60+20=80min
8km----80
1-------x
X=10minutos
A diferença é de 3 minutos
7. Resposta: B.
V------80min
V+20----48
Quanto maior a velocidade, menor o tempo(inversamente)
80v=48V+960
32V=960
V=30km/h
30km----60 min
x-----------80
60x=2400
X=40km
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
72
8 Resposta: B.
12:45 até 13:12 são 27 minutos
27x60=1620 segundos
9. Resposta: B.
1m³=1000litros
36000/1000=36 m³
36-12,5-15,3=8,2 m³x1000=8200 litros
10.Resposta: E.
1,7m=170cm
1,45m=145 cm
170/40=4 resta 10
145/40=3 resta 25
4+3=7
11. Resposta: B.
150-82=68 mulheres
Como 31 mulheres são candidatas de nível superior, 37 são de 
nível médio.
Portanto, há 37 homens de nível superior.
82-37=45 homens de nível médio.
12. Resposta: D.
Como o tempo de Raoni foi 1´10” sem faltas, ele foi o vencedor.
13. Resposta: B.
Primeiramente, vamos transformar a dízima em fração
X=0,4444....
10x=4,444...
9x=4
14. Resposta: A.
Como o maior resto possível é 10, o divisor é o número 11 que 
é igua o quociente.
11x11=121+10=131
15. Resposta: E.
A 7ª expressão será: 1234567x9+8=11111111
16. Resposta: D.
Gerado por descuidos ao cozinhar:
Mas, que foram gerados por displicência é 12/13(1-1/13)
17. Resposta: C.
18. Resposta: D.
19. Resposta: C.
2-2(1-2N)=12
2-2+4N=12
4N=12
N=3
20. Resposta: E.
Como tem o mesmo número de homens e mulheres:
Dos homens que saíram:
Saíram no total
21. Resposta: B.
Como teve um desconto de 40%, pagou 60% do produto.
1600⋅0,6=960
Como vai pagar 10% a mais:
960⋅1,1=1056
22. Resposta: E.
63/35=1,80
Portanto teve um aumento de 80%.
23. Resposta: D.
Clarice obviamente recebeu o brinco.
Beatriz recebeu o colar porque foi o único que ficou acima de 
30% e André recebeu o bracelete. 
24. Resposta: B.
A=b⋅h
Portanto foi reduzida em 50%
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO
73
25. Resposta: D.
Como ele obteve um desconto de 30%, pagou 70% do valor:
60⋅0,7=42
Ele revendeu por:
42⋅1,3=54,60
Teve um lucro de: 54,60-42=12,60
26. Resposta: D.
Como teve um desconto de 35%. Pagou 65%do vestido
150⋅0,65=97,50
27. Resposta: C.
Como a previsão para o primeiro trimestre é de 180 milhões e é 
10% inferior, no segundo trimestre temos uma previsão de 
180-----90%
x---------100
x=200
200+180=380 milhões para o primeiro semestre
380----95
x----100
x=400 milhões
Somando os dois semestres: 380+400=780 milhões
780/4trimestres=195 milhões
28. Resposta: C.
Ou seja, ele pagou 70% do produto, o desconto foi de 30%.
OBS: muito cuidado nesse tipo de questão, para não errar con-
forme a pergunta feita.
29. Resposta: B.
8,6(1+x)=10,75
8,6+8,6x=10,75
8,6x=10,75-8,6
8,6x=2,15
X=0,25=25%
30. Resposta: D.
50% maior quer dizer que ficou 1,5
Quantidade de tanque: x
A quantidade que aumentaria deve ficar igual a 12 tanques
1,5x=12
X=8
31. Resposta: A
5y=320
Y=64
5x=400
X=80
32. Resposta: B.
108/4=27m²
6x=27
X=27/6
O perímetro seria
33. Resposta: E.
P6=6!=6.5.4.3.2.1=720
34. Resposta: E.
P4=4!= 4.3.2.1=24
35. Resposta: B.
Vogais: a, e, i, o, u
Números ímpares: 1,3,5,7,9
5 5 4 4 3
Vogal Algarismo 
Ímpar Vogal Algarismo 
Ímpar
Algarismo 
Ímpar
5.5.4.4.3=1200
36. Resposta: A.
A probabilidade de uma soletrar errado: 0,3
__ __ __
0,3.0,3.0,3=0,027=2,7%
37. Resposta: D.
Para dar 9, temos 4 possibilidades
3+6
6+3
4+5
5+4
P=4/36
38. Resposta: C.
A probabilidade é de 1/4, pois o carro tem 4 pneus e o dinheiro 
está em 1.
1/4=0,25
39. Resposta: D.
Temos duas possibilidades
As bolas serem par/par ou ímpar/par
Ser par/par:
Os números pares são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Ímpar/par:
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11 ,13, 15
MATEMÁTICA/RACIOCÍNIO LÓGICO74
A probabilidade é par/par OU ímpar/par
40. Resposta: B.
São seis possibilidades:
Cara, coroa, cara
Cara, coroa, coroa
Cara, cara, coroa
Coroa, cara, cara
Coroa, coroa, cara
Coroa, cara, coroa
41. Resposta: B.
2x²+3=7x
2x²-7x+3=0
∆=49-24=25
Como tem que ser natural, apenas o número 3 convém.
42. Resposta: C.
MMC (3,4)=12
4x+3x=336
7x=336
X=48
A distância entre A e B é 48km
Como já percorreu 28km
48-28=20 km entre P e Q.
43. Resposta: B.
Sendo x o valor do material P
10x=7x+600
3x=600
X=200
44.Resposta: B.
F(x)=12+25x
X=hora de trabalho
168,25=12+25x
25x=156,25
X=6,25 horas
1hora---60 minutos
0,25-----x
X=15 minutos
Então ele trabalhou 6 horas e 15 minutos
45. Resposta: E.
Como a função do segundo grau, tem raízes -2 e 2:
(x-2)(x+2)=x²-4
A função do primeiro grau, tem o ponto (0, -1) e (2,3)
Y=ax+b
-1=b
3=2a-1
2a=4
A=2
Y=2x-1
Igualando a função do primeiro grau e a função do segundo 
grau:
X²-4=2x-1
X²-2x-3=0
∆=4+12=16