Prova de Álgebra Linear - UFES 2012

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 15 de maio de 2012
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Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
 1 −1 01 1 1
−1 −5 −3

(a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0.
(b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi
determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0.
(c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e
e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b).
2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde
v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1).
Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal.
3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W .
(a) Determine uma base ortogonal de W .
(b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado
por B.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w.
(b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer
u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais.
(c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o
cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
(d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence
ao espac¸o-coluna de A.
Boa Prova!!!