P3T_Sol_2012_2

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Uma soluc¸a˜o Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 23 de abril de 2013
1. Sejam a, b, c ∈ R. Considere a matriz A =
 a 1√2 1√3b − 1√
2
1√
3
c 0 1√
3
.
(a) Encontre v = (a, b, c) ∈ R3 tal que a matriz A seja ortogonal. O vetor v e´ u´nico?
Sol.: Sejam v1 = (
1√
2
,− 1√
2
, 0) e v2 = (
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
). Como < v1, v2 >= 0 e ||v1|| = ||v2|| = 1,
enta˜o, escolhendo v = v1 × v2 = (− 1√6 ,− 1√6 ,
√
2√
3
) temos: ||v|| = 1, < v, v1 >=
< v, v2 >= 0. Portanto, β = {v, v1, v2} sera´ ortonormal e A sera´ uma matriz ortogonal,
para esta escolha de v. Perceba que −v tambem e´ soluc¸a˜o do problema. Logo, v na˜o e´
u´nico.
(b) Seja β = {v, ( 1√
2
,− 1√
2
, 0), ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)}, onde v e´ uma soluc¸a˜o do item (a). Encontre as
coordenadas do vetor u = (0, 1, 1) na base β.
Sol.: Veja que A e´ matriz de mudanc¸a de base, da base β, definida no item (a), para a base
conoˆnica de R3, ale´m disso, A−1 = AT . Portanto, [u]β = AT [u]can = ( 1√6 ,− 1√2 , 2√3).
2. Considere a matriz
A =

1 0 3 0
0 −1 −1 0
0 2 2 0
1 0 3 1
 .
(a) Encontre os auto-valores de A.
Sol.: Veja que det(λI − A) = λ(λ− 1)3. Logo os auto-valores de A sa˜o 0 e 1.
(b) A e´ diagonaliza´vel? Explique!
Sol.: Na˜o, pois a dimensa˜o do auto-espac¸o associado ao auto-valor 1 tem diensa˜o 1. De
fato,
I − A =

0 0 3 0
0 −2 −1 0
0 2 1 0
1 0 3 0
 .
Como 3 linhas de (I − A) sa˜o L.I., o espac¸o nulo de I − A tem dimensa˜o 1. A seria
diagonaliza´vel se a dimensa˜o do auto-espac¸o associado ao auto-valor 1 fosse 3.
3. Seja T a transformac¸a˜o linear de R2 em R3 definida por
T (x, y) = (x+ 2y, y − x, x+ y).
(a) Encontre o nu´cleo de T . A transformac¸a˜o T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
Sol.: T (x, y) = (0, 0, 0)⇒
 x+ 2y = 0y − x = 0x+ y = 0 ⇒ x = 0 e y = 0.
Logo N(T ) = {(0, 0)} e T e´ injetora. T na˜o pode ser sobrejetora pois a dimensa˜o do domı´nio
(R2) e´ menor que a dimensa˜o do contra-domı´nio (R3).
2
(b) Encontre a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases
β = {(1, 2), (3,−1)} e β′ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
Sol.: Sejam α e α′ as bases conoˆnicas do R2 e R3 respectivamente. Enta˜o, [T ]α′,α = 1 2−1 1
1 1
 . Sejam P = [ 1 3
2 −1
]
e Q =
 1 1 10 1 1
0 0 1
 as matrizes de mudanc¸a de base de
β para α e de β′ para α′ respectivamente. Assim
[T ]β′,β = Q
−1 [T ]α′,α P =
 1 −1 00 1 −1
0 0 1
 1 2−1 1
1 1
[ 1 3
2 −1
]
=
 4 5−2 −6
3 2
 .
4. Seja S ⊂ R5 o espac¸o-linha da matriz
A =
 1 −2 −1 2 −12 −3 −5 4 −1
−1 3 −2 −2 2
 .
(a) Encontre bases β e β′ para S e para o seu complemento ortogonal S⊥, respectivamente.
Sol.: A e´ equivalente por linhas a matriz 1 −2 −1 2 −10 1 −3 0 1
0 0 0 0 0
 .
Sejam v1 = (1,−2,−1, 2,−1) e v2 = (0, 1,−3, 0, 1). Enta˜o β = {v1, v2} e´ uma base orto-
gonal de S. Como o nu´cleo de A, N(A), e´ o complemento ortogonal do espac¸o linha de A,
temos que S⊥ = N(A) = ger{v3 = (7, 3, 1, 0, 0), v4 = (−2, 0, 0, 1, 0), v5 = (−1,−1, 0, 0, 1)}.
Assim, β′ = {v3, v4, v5} e´ uma base para S⊥.
(b) Ortogonalize a base B do R5 obtida pela unia˜o de β e β′ (B = β ∪ β′).
Sol.: Como v1 e v2 sa˜o ortogonais e todo vetor de S e´ ortogonal a todo vetor de S
⊥, basta
aplicar Gram-Schimidt em β′. Seja u3 = v3, u4 = v4 − <u3,v4>||u3||2 u3 e u5 = v5 −
<u4,v5>
||u4||2 u4 −
<u3,v5>
||u3||2 u3. B = {v1, v2, u3, u4, u5} e´ uma base ortogonal de R5 obtida da ortogonalizac¸a˜o de
B.
(c) Defina um operador linear T : R5 → R5 tal que{
Im(T ) = S
Nuc(T ) = S⊥.
Sol.: Basta definir T na base B da seguinte forma: T (v1) = v1, T (v2) = v2, T (u3) =
T (u4) = T (u5) = 0.