derivadas_parciais_paloma (1)

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<p>Derivadas Parciais</p><p>Prof. Brenda Let́ıcia</p><p>1 Derivadas Parciais</p><p>Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df .</p><p>Fixado y0, podemos considerar a função g de uma variável dada por</p><p>g(x) = f(x, y0).</p><p>A derivada desta função no ponto x = x0 (caso exista) denomina-se</p><p>derivada parcial de f , em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se com</p><p>uma das notações:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) ou</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣ x = x0</p><p>y = y0</p><p>Assim,</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = g′(x0).</p><p>De acordo com a definição de derivada temos:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = g′(x0) = lim</p><p>x→x0</p><p>g(x)− g(x0)</p><p>x− x0</p><p>,</p><p>ou seja,</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = lim</p><p>x→x0</p><p>f(x, y0)− f(x0, y0)</p><p>x− x0</p><p>,</p><p>ou, ainda,</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = lim</p><p>∆x→0</p><p>f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)</p><p>∆x</p><p>.</p><p>1</p><p>Interpretação Geométrica da Derivada Parcial</p><p>A interpretação geométrica da derivada parcial é semelhante à interpretação</p><p>da derivada em funções de uma variável, mas aplicada a funções de várias</p><p>variáveis. Aqui está um resumo das principais interpretações da derivada</p><p>parcial:</p><p>1. Inclinação da Tangente em Direção a uma Variável</p><p>Para uma função de várias variáveis f(x, y, . . .), a derivada parcial de f com</p><p>respeito a uma variável espećıfica, por exemplo x, mede a taxa de variação</p><p>da função f ao longo da direção da variável x, enquanto as outras variáveis</p><p>são mantidas constantes.</p><p>Visualmente:</p><p>• Se você considerar a superf́ıcie z = f(x, y) no espaço tridimensional, a</p><p>derivada parcial de f com respeito a x, denotada ∂f</p><p>∂x</p><p>, é a inclinação da</p><p>tangente da seção da superf́ıcie que é perpendicular ao eixo x, mantendo</p><p>y fixo.</p><p>2. Plano Tangente</p><p>Em uma função de duas variáveis f(x, y):</p><p>• A derivada parcial ∂f</p><p>∂x</p><p>no ponto (x0, y0) pode ser interpretada como</p><p>a inclinação do plano tangente à superf́ıcie z = f(x, y) na direção x,</p><p>quando y é mantido constante.</p><p>• De maneira análoga, a derivada parcial ∂f</p><p>∂y</p><p>é a inclinação do plano</p><p>tangente na direção y, mantendo x constante.</p><p>3. Taxa de Variação Local</p><p>A derivada parcial fornece a taxa de variação instantânea da função na</p><p>direção da variável considerada.</p><p>• Se você tiver uma função que representa a temperatura em um ponto</p><p>espećıfico, a derivada parcial com respeito a x dirá como a temperatura</p><p>muda quando você se move na direção x, mantendo y constante.</p><p>2</p><p>4. Plano Local Aproximado</p><p>Em uma região ao redor de um ponto (x0, y0) para uma função f(x, y), a</p><p>função pode ser aproximada localmente por um plano:</p><p>f(x, y) ≈ f(x0, y0) +</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>(x0,y0)</p><p>(x− x0) +</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>(x0,y0)</p><p>(y − y0)</p><p>Este plano tangente fornece uma aproximação linear da superf́ıcie z = f(x, y)</p><p>em torno do ponto (x0, y0), com inclinações dadas pelas derivadas parciais.</p><p>Exemplo 9. (Interpretação geométrica.) Suponhamos que z =</p><p>f(x, y) admite derivadas parciais em (x0, y0) ∈ Df . O gráfico da função</p><p>g(x) = f(x, y0), no plano x′y0z</p><p>′ (veja figura), é a interseção do plano y = y0</p><p>com o gráfico de f . ∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) é, então, o coeficiente angular da reta</p><p>tangente T a esta interseção no ponto (x0, y0, f(x0, y0)):</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x0, y0) = tanα.</p><p>Interprete você ∂f</p><p>∂y</p><p>(x0, y0).</p><p>Questões de Derivadas Parciais de 1ª Ordem</p><p>Questão:</p><p>O raio e a altura de um cilindro reto são respectivamente 8 cm e 20 cm, com</p><p>erro posśıvel de medida de ±0, 01 cm. Use diferenciais para aproximar o erro</p><p>máximo no cálculo do volume do cilindro.</p><p>Solução: A fórmula do volume do cilindro é:</p><p>V = πr2h</p><p>Onde r = 8 cm e h = 20 cm. O erro máximo no volume pode ser aproximado</p><p>usando diferenciais:</p><p>dV =</p><p>∂V</p><p>∂r</p><p>dr +</p><p>∂V</p><p>∂h</p><p>dh</p><p>3</p><p>Calculamos as derivadas parciais:</p><p>∂V</p><p>∂r</p><p>= 2πrh,</p><p>∂V</p><p>∂h</p><p>= πr2</p><p>Substitúımos r = 8, h = 20, dr = dh = 0, 01:</p><p>dV = 2π(8)(20)(0, 01) + π(8)2(0, 01)</p><p>dV ≈ 10, 05 cm3 + 2, 01 cm3 = 12, 06 cm3</p><p>Portanto, o erro máximo no volume é de ±12, 06 cm3.</p><p>Resposta: ±12, 06 cm3.</p><p>Questão:</p><p>A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por R = E</p><p>I</p><p>, onde I é a</p><p>corrente em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Num certo instante,</p><p>quando E = 120 volts e I = 15 ampères, E aumenta a uma velocidade de</p><p>0, 1 volts por segundo e I diminui à velocidade de 0, 05 ampères por segundo.</p><p>Encontre a taxa instantânea de variação de R.</p><p>Solução:</p><p>A resistência R, em ohms, de um circuito é dada por:</p><p>R =</p><p>E</p><p>I</p><p>onde E é a força eletromotriz em volts e I é a corrente em amperes.</p><p>Para encontrar a taxa instantânea de variação de R quando E e I estão</p><p>mudando com o tempo, precisamos calcular a derivada de R com respeito ao</p><p>tempo t. Usamos a regra do quociente para derivar R com relação a t:</p><p>dR</p><p>dt</p><p>=</p><p>I dE</p><p>dt</p><p>− E dI</p><p>dt</p><p>I2</p><p>Dado:</p><p>• E = 120 volts</p><p>• I = 15 amperes</p><p>• dE</p><p>dt</p><p>= 0.1 volts por segundo</p><p>• dI</p><p>dt</p><p>= −0.05 amperes por segundo</p><p>4</p><p>Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:</p><p>dR</p><p>dt</p><p>=</p><p>15 · 0.1− 120 · (−0.05)</p><p>152</p><p>Calculando passo a passo:</p><p>15 · 0.1 = 1.5</p><p>120 · (−0.05) = −6</p><p>1.5− (−6) = 1.5 + 6 = 7.5</p><p>152 = 225</p><p>dR</p><p>dt</p><p>=</p><p>7.5</p><p>225</p><p>= 0.0333 ohms por segundo</p><p>A taxa instantânea de variação da resistência R é aproximadamente</p><p>0.0333 ohms por segundo.</p><p>Resposta: 1</p><p>30</p><p>ohm/segundo.</p><p>Questão:</p><p>Calcular o valor aproximado da variação da hipotenusa de um triângulo cujos</p><p>catetos medem 6 e 8 cm, quando o cateto menor é aumentado de 1/4 cm e o</p><p>maior é diminúıdo de 1/8 cm.</p><p>Solução:</p><p>Vamos calcular a variação aproximada na hipotenusa de um triângulo</p><p>retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm, quando o cateto menor é au-</p><p>mentado em 1</p><p>4</p><p>cm e o cateto maior é diminúıdo em 1</p><p>8</p><p>cm.</p><p>A hipotenusa c do triângulo retângulo é dada por:</p><p>c =</p><p>√</p><p>a2 + b2</p><p>onde a e b são os catetos.</p><p>Para encontrar a variação aproximada na hipotenusa c, usamos diferen-</p><p>ciais. A diferencial de c é dada por:</p><p>dc =</p><p>∂c</p><p>∂a</p><p>da+</p><p>∂c</p><p>∂b</p><p>db</p><p>Primeiro, calculamos as derivadas parciais de c com respeito a a e b:</p><p>- Derivada parcial de c com respeito a a:</p><p>∂c</p><p>∂a</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂a</p><p>(√</p><p>a2 + b2</p><p>)</p><p>=</p><p>a√</p><p>a2 + b2</p><p>5</p><p>- Derivada parcial de c com respeito a b:</p><p>∂c</p><p>∂b</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂b</p><p>(√</p><p>a2 + b2</p><p>)</p><p>=</p><p>b√</p><p>a2 + b2</p><p>Dados: - Cateto menor a = 6 cm, - Cateto maior b = 8 cm, - Mudanças:</p><p>da = 1</p><p>4</p><p>cm e db = −1</p><p>8</p><p>cm,</p><p>Primeiro, calculamos a hipotenusa inicial c:</p><p>c =</p><p>√</p><p>62 + 82 =</p><p>√</p><p>36 + 64 =</p><p>√</p><p>100 = 10 cm</p><p>Substituindo os valores nas derivadas parciais:</p><p>∂c</p><p>∂a</p><p>=</p><p>6</p><p>10</p><p>= 0, 6</p><p>∂c</p><p>∂b</p><p>=</p><p>8</p><p>10</p><p>= 0, 8</p><p>Finalmente, substitúımos na fórmula da diferencial:</p><p>dc =</p><p>∂c</p><p>∂a</p><p>da+</p><p>∂c</p><p>∂b</p><p>db</p><p>dc = 0, 6 · 1</p><p>4</p><p>+ 0, 8 ·</p><p>(</p><p>−1</p><p>8</p><p>)</p><p>dc = 0, 15− 0, 1</p><p>dc = 0, 05 cm</p><p>Resposta: 1</p><p>20</p><p>cm.</p><p>Exerćıcio 1</p><p>Nas funções abaixo, determine apenas as derivadas parciais de primeira nos</p><p>pontos indicados.</p><p>a) f(x, y) = 5x2 + 4xy3 + 2y</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 10x+ 4y3</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 12xy2 + 2</p><p>6</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 10 · 1 + 4 · 64 = 10 + 256 = 266</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 12 · 1 · 16 + 2 = 192 + 2 = 194</p><p>b) f(x, y) = −x3 + x3y5 + 2yx</p><p>Ponto: (-3, 2)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −3x2 + 3x2y5 + 2y</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 5x3y4 + 2x</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(−3,2)</p><p>= −3(−3)2+3(−3)2·32+2·2 = −27+3·9·32+4 = −27+864+4 = 841</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(−3,2)</p><p>= 5(−3)3 ·24+2 · (−3) = −5 · (−27) ·16−6 = 2160−6 = 2154</p><p>c) f(x, y) = 3x2 − 3xy3 + 2y + 2x+ 6</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 6x− 3y3 + 2</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −9xy2 + 2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 6 · 1− 3 · 64 + 2 = 6− 192 + 2 = −184</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= −9 · 1 · 16 + 2 = −144 + 2 = −142</p><p>d) f(x, y) =</p><p>√</p><p>x2 − x2y3 + x</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>x√</p><p>x2</p><p>− 2xy3 + 1</p><p>7</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −3x2y2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>− 2 · 1 · 64 + 1 = 1− 128 + 1 = −126</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= −3 · 12 · 16 = −48</p><p>e) f(x, y) = 5x2 − 6xy3 + 2y + 123</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 10x− 6y3</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −18xy2 + 2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 10 · 1− 6 · 64 = 10− 384 = −374</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= −18 · 1 · 16 + 2 = −288 + 2 = −286</p><p>f) f(x, y) = sin(5x2) + 4xy3 + y − x3</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 10x cos(5x2) + 4y3 − 3x2</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 12xy2 + 1</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 10 ·1 ·cos(5)+4 ·64−1 = 10 cos(5)+256−1 = 10 cos(5)+255</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 12 · 1 · 16 + 1 = 192 + 1 = 193</p><p>8</p><p>g) f(x, y) = e3x + 2y − 5x2 − 7xy</p><p>+ 2y3 + 12</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 3e3x − 10x− 7y</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 2− 7x+ 6y2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 3e3 − 10− 7 · 4 = 3e3 − 10− 28 = 3e3 − 38</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= 2− 7 · 1 + 6 · 16 = 2− 7 + 96 = 91</p><p>h) f(x, y) = cos(xy)− sin(xy) + 10</p><p>Ponto: (1, 4)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −y sin(xy)− y cos(xy)</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −x sin(xy)− x cos(xy)</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= −4 sin(4)− 4 cos(4)</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,4)</p><p>= −1 sin(4)− 1 cos(4)</p><p>Exerćıcio 2</p><p>Seja f(x, y) = x2y3. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem.</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 2xy3</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 3x2y2</p><p>9</p><p>Exerćıcio 3</p><p>Seja f(x, y) = −5x5 + xy − 3y. Calcule as derivadas parciais de primeira</p><p>ordem.</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −25x4 + y</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= x− 3</p><p>Exerćıcio 4</p><p>Calcule as derivadas parciais de primeira ordem para cada uma das funções</p><p>abaixo.</p><p>(a) f(x, y) = (x+ 4y − 31)5</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 5(x+ 4y − 31)4</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 20(x+ 4y − 31)4</p><p>(b) f(x, y) = x</p><p>y</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>1</p><p>y</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= − x</p><p>y2</p><p>(c) f(x, y) = 3x(x− y)</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 6x− 3y</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −3x</p><p>Exerćıcio 5</p><p>Seja f(x, y) = −2x2 + 5y3.</p><p>10</p><p>(a) Calcule ∂f</p><p>∂x</p><p>e ∂f</p><p>∂y</p><p>no ponto (1, 5).</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −4x</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 15y2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,5)</p><p>= −4 · 1 = −4</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(1,5)</p><p>= 15 · 25 = 375</p><p>(b) Calcule ∂f</p><p>∂x</p><p>e ∂f</p><p>∂y</p><p>no ponto (4, 2).</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −4x</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 15y2</p><p>Soluções:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣</p><p>(4,2)</p><p>= −4 · 4 = −16</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>∣∣∣∣</p><p>(4,2)</p><p>= 15 · 4 = 60</p><p>Questão d</p><p>Seja f(x, y) = e−x2−y2 .</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x, y) =</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>e−x2−y2</p><p>)</p><p>= e−x2−y2 · (−2x) = −2xe−x2−y2</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>(x, y) =</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>e−x2−y2</p><p>)</p><p>= e−x2−y2 · (−2y) = −2ye−x2−y2</p><p>11</p><p>Questão h</p><p>Seja f(x, y) = 3</p><p>√</p><p>x3 + y2 + 3 = (x3 + y2 + 3)</p><p>1</p><p>3 .</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x, y) =</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>(x3 + y2 + 3)</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>(x3+y2+3)−</p><p>2</p><p>3 (3x2) =</p><p>x2</p><p>3</p><p>√</p><p>(x3 + y2 + 3)2</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>(x, y) =</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>(x3 + y2 + 3)</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>(x3+y2+3)−</p><p>2</p><p>3 (2y) =</p><p>2y</p><p>3 3</p><p>√</p><p>(x3 + y2 + 3)2</p><p>Questão m</p><p>Seja z = x sin y</p><p>cos(x2+y2)</p><p>.</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>x sin y</p><p>cos(x2 + y2)</p><p>)</p><p>=</p><p>cos(x2 + y2) sin y − (x sin y)[− sin(x2 + y2)(2x)]</p><p>[cos(x2 + y2)]2</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>sin y[cos(x2 + y2) + 2x2 sin(x2 + y2)]</p><p>[cos(x2 + y2)]2</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>x sin y</p><p>cos(x2 + y2)</p><p>)</p><p>=</p><p>cos(x2 + y2)x cos y − x sin y[− sin(x2 + y2)(2y)]</p><p>[cos(x2 + y2)]2</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>x cos y cos(x2 + y2) + 2xy sin y sin(x2 + y2)</p><p>[cos(x2 + y2)]2</p><p>Questão 10</p><p>Seja a equação xyz + z3 = x. Vamos derivar em relação a x, mantendo y</p><p>constante:</p><p>xy</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ yz + 3z2</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= 1</p><p>Isolando ∂z</p><p>∂x</p><p>:</p><p>(xy + 3z2)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= 1− yz</p><p>12</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>=</p><p>1− yz</p><p>xy + 3z2</p><p>.</p><p>Agora, derivando em relação a y, mantendo x constante:</p><p>xy</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>+ xz + 3z2</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 0</p><p>Isolando ∂z</p><p>∂y</p><p>:</p><p>(xy + 3z2)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −xz</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>=</p><p>−xz</p><p>xy + 3z2</p><p>.</p><p>13</p>