LISTA2 - Matematica Discreta B

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/2
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Seja A = {3, 4, 5, 7, 9, 11, 13}. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras
ou falsas (justifique sua resposta).
a) (∀x ∈ A) x2 > 10
b) (∃x ∈ A) x+ 3 ∈ A
c) (∀x ∈ A) x e´ ı´mpar
d) (∀x ∈ A)(∀y ∈ A) xy 6∈ A
e) (∃x ∈ A)(∀y ∈ A)(x+ y /∈ A)
f) (∃x ∈ A)(∃!y ∈ A)(x+ y ∈ A)
g) (∃!x ∈ A)(∃!y ∈ A)(x+ y ∈ A)
2. Determine o valor verdade de cada uma das proposic¸o˜es abaixo, e em seguida
escreva sua negac¸a˜o:
a) (∀x ∈ Z)(∀y ∈ Z)(x2 = y)
b) (∀x ∈ Z)(∃y ∈ Z)(x2 = y)
c) (∃x ∈ Z)(∃y ∈ Z)(x2 = y)
d) (∀y ∈ Z)(∃x ∈ Z)(x2 = y)
e) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(5x = y)
f) (∀x ∈ Z)(∃y ∈ Z)(x− y ∈ Z)
g) (∀x ∈ N)(∀y ∈ N)(x− y ∈ N)
3. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o. Dizemos que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em x0 ∈ R
se e somente se para cada � > 0 existe um nu´mero δ > 0 tal que |f(x)−f(x0)| < �,
sempre que |x− x0| < δ.
a) Reescreva a definic¸a˜o acima utilizando os quantificadores ∀,∃ e os conectivos
lo´gicos estudados.
b) Negue a proposic¸a˜o acima; ou seja, complete a frase: Dizemos que f na˜o e´
cont´ınua em x0 ∈ R se e somente se ...
4. A RECI´PROCA de uma proposic¸a˜o do tipo p −→ q e´ dada pela proposic¸a˜o
q −→ p. Escreva em linguagem corrente, a rec´ıproca e a negac¸a˜o das seguintes
afirmac¸o˜es:
a) Se todos os gatos esta˜o miando enta˜o algum cachorro latiu.
b) Se todos os bixos sa˜o pintados enta˜o todos os veteranos ficam felizes.
c) Se o Cebolinha ganhar do Casca˜o na disputa de bolinha de gude, enta˜o ele
passara´ a falar corretamente.
5. Negue as seguintes proposic¸o˜es, expressando-as em linguagem corrente.
a) Todos os triaˆngulos sa˜o iso´sceles.
b) Todo nu´mero inteiro e´ racional.
c) Algumas retas do plano na˜o sa˜o paralelas.
d) Nenhum triaˆngulo escaleno e´ iso´sceles.
6. Quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras? Justifique.
a) (∀n ∈ N) n = 2 =⇒ n2 − n− 2 = 0.
b) (∀n ∈ N) n2 − n− 2 = 0 =⇒ n = 2.
c) (∀n ∈ Z) n2 − n− 2 = 0 =⇒ (n = −1 ∨ n = 2).
d) (∀n ∈ Z) n2 > 25 =⇒ n > 5.
7. Negue as proposic¸o˜es do exerc´ıcio anterior.
8. Demonstre os fatos abaixo. (Lembre que, para nu´meros inteiros x, y, a notac¸a˜o
x | y significa que x divide y e x - y significa que x na˜o divide y.)
a) Se a | b e b | c, enta˜o a | c.
b) Se dois nu´meros inteiros teˆm a mesma paridade, enta˜o a sua soma e´ par.
c) Se x e´ um inteiro ı´mpar, enta˜o x3 e´ ı´mpar.
d) Seja x um nu´mero inteiro tal que x3 e´ ı´mpar. Enta˜o x e´ ı´mpar.
e) Se a, b ∈ Z e a ≥ 2, enta˜o a - b ou a - (b+ 1).
f) (∀n ∈ N) n e´ ı´mpar ⇐⇒ n e´ soma de dois nu´meros naturais consecutivos.
9. Decida se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique (no caso
de a afirmac¸a˜o ser verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, apresente um contra-
exemplo).
a) Sejam a, b, c nu´meros inteiros positivos tais que a | c, b | c e a < b. Enta˜o
a | b.
b) Sejam a, b nu´meros inteiros tais que a | b. Enta˜o a2 | b2.
c) Sejam x e y nu´meros reais na˜o-negativos. Enta˜o 2 · √xy ≤ x+ y.
d) (∀a, b ∈ Z) a|b e b|a =⇒ a = b.
e) A soma de treˆs nu´meros naturais consecutivos e´ um nu´mero natural mu´ltiplo
de treˆs.
f) Se n e´ nu´mero natural mu´ltiplo de treˆs, enta˜o n e´ a soma de treˆs nu´meros
naturais consecutivos.
(g) Se n e´ nu´mero natural na˜o nulo que e´ um mu´ltiplo de treˆs, enta˜o n e´ a soma
de treˆs nu´meros naturais consecutivos.
(h) (∀n ∈ N) k ≤ n =⇒ k | (n! + k)
10. Mostre que:
a) (∀n ∈ N) n e´ um mu´ltiplo de 3 ⇐⇒ n2 e´ um mu´ltiplo de 3.
b)
√
3 e´ um nu´mero irracional.