Demonstrações Matemáticas

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Universidade Federal de Goia´s
Instituto de Informa´tica
Sistemas de Informac¸a˜o
Lista 2 - Te´cnicas de Demonstrac¸o˜es
1. Prove que para x um inteiro. Enta˜o, x e´ par se e somente se x+1 e´ ı´mpar.
2. Demonstre que se n e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o n e´ ı´mpar se e
somente se 5n+ 6 for ı´mpar.
3. Use uma demonstrac¸a˜o por contraposic¸a˜o para demonstrar que se n e´ um
nu´mero inteiro e 3n+ 2 e´ par, enta˜o n e´ par.
4. Mostre que se n e´ um nu´mero inteiro par, enta˜o n2 e´ um nu´mero inteiro
par.
5. Demonstre que se m+ n e n+ p sa˜o nu´meros inteiros pares, em que m,n
e p sa˜o nu´meros inteiros, enta˜o m + p e´ par. Que tipo de demonstrac¸a˜o
voceˆ utilizou?
6. Mostre que se n e´ um nu´mero inteiro e n3+5 e´ ı´mpar, enta˜o n e´ par. Que
tipo de demonstrac¸a˜o voceˆ utilizou?
7. Sejam a, b, c e d nu´meros inteiros. Prove que se a|b, b|c e c|d, enta˜o a|d.
8. Sejam a, b e c nu´meros inteiros. Prove que se a|b e b|c, enta˜o a|c.
9. Demonstre que se m e n sa˜o nu´meros inteiros e mn e´ par, enta˜o m e´ par
ou n e´ par.
10. Prove, por contradic¸a˜o, que inteiros consecutivos na˜o podem ser ambos
pares.
11. Prove, por contradic¸a˜o, que inteiros consecutivos na˜o podem ser ambos
ı´mpares.
12. Refute: Se a e b, com a|b, enta˜o a ≤ b.
13. Prove que se n e´ um inteiro e n3 + 5 e´ ı´mpar, enta˜o n e´ par.
14. Refute: Se a, b e c sa˜o inteiros positivos com a|(bc), enta˜o a|b ou a|c.
15. Demonstre que se n e´ um nu´mero inteiro e 3n+ 2 e´ par, enta˜o n e´ par.
16. Se n e´ um inteiro positivo, enta˜o n e´ ı´mpar se e somente se n2 e´ ı´mpar.
17. Demonstre ou refute que o produto de dois nu´meros irracionais e´ irra-
cional.
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