Fisica geral II 1

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<p>Física Geral e</p><p>Experimental II</p><p>Fenômenos Oscilantes</p><p>Material Teórico</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. José Agostinho Gonçalves de Medeiros</p><p>Revisão Textual:</p><p>Profa. Esp. Natalia Conti</p><p>5</p><p>A proposta desta aula é informá-lo a respeito dos conceitos de Fenômenos Oscilantes, em</p><p>especial dos movimentos periódicos harmônicos simples. Serão apresentadas as equações</p><p>que descrevem o movimento, tais como as equações da posição, velocidade e aceleração.</p><p>Ao fim desta aula esperamos que seja capaz de interpretar, conceituar e calcular:</p><p>• Movimento harmônico simples;</p><p>• Energia do oscilador harmônico simples;</p><p>• Comparar o movimento harmônico simples com o movimento circular uniforme;</p><p>• Modelar um pêndulo simples;</p><p>• Oscilações amortecidas</p><p>A leitura do Conteúdo Teórico com atenção é essencial para compreender os conceitos</p><p>apresentados, é usual encontrarmos conceitos que a princípio divergem do que observamos</p><p>no dia a dia. Os exemplos e exercícios resolvidos ajudam a consolidar os conceitos estudados.</p><p>Não deixe de utilizar todos os recursos disponíveis e acessar os links sugeridos no texto.</p><p>Nesta aula voltaremos nossa atenção para os conceitos de Fenômenos</p><p>Oscilantes, especificamente dos fenômenos harmônicos. Inicialmente</p><p>será considerado um movimento mais simples, que pode ser descrito por</p><p>funções periódicas do tipo seno ou cosseno. A partir das equações do</p><p>movimento e da lei de conservação da energia, são obtidas as relações</p><p>para o calculo da energia cinética e potencial.</p><p>Ao final do texto é abordado um sistema mais realista, considerando</p><p>sistemas não conservativos.</p><p>Apresentaremos também exercícios resolvidos para fixar os conceitos</p><p>apresentados. Os alunos devem ter especial atenção aos pontos destacados</p><p>e aos exercícios resolvidos.</p><p>Fenômenos Oscilantes</p><p>· Introdução</p><p>· Movimento Periódico</p><p>· Energia do Oscilador Harmônico Simples</p><p>· Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme</p><p>· Pêndulo Simples</p><p>· Oscilações Amortecidas</p><p>· Oscilações Forçadas</p><p>6</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Contextualização</p><p>Fenômenos Oscilantes</p><p>Em todo o universo físico é possível encontrar sistemas oscilantes que se comportam de</p><p>maneira harmônica, que oscilam em períodos constantes. Mesmo em situações encontradas no</p><p>cotidiano este tema possui grande importância. Os engenheiros, ao realizar os seus projetos,</p><p>devem conhecer os fenômenos oscilantes e prever os seus efeitos no projeto final. Projetos de</p><p>instrumentos musicais, motores, edifícios, pontes, sistemas de transmissão, sistemas elétricos,</p><p>etc. são exemplos de projetos que devem incluir um estudo de fenômenos oscilantes.</p><p>Um clássico exemplo de um projeto que inicialmente não considerou os efeitos dos movimentos</p><p>oscilantes é a ponte Tacoma. Texto retirado do link abaixo:</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_Tacoma_Narrows</p><p>“Em 7 de Novembro de 1940, caiu a ponte pênsil de 1600 metros (Tacoma Narrows), apenas</p><p>poucos meses após a sua inauguração.</p><p>De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h, fazendo a estrutura oscilar muito, deslizando</p><p>em alta velocidade. A polícia fechou então a ponte ao tráfego. Às 9h30 a ponte oscila em 8 ou</p><p>9 segmentos com amplitude de 0,9m e frequência de 36 ciclos por minuto. Às 10h00 dá-se um</p><p>afrouxamento da ligação do cabo de suspensão norte ao tabuleiro, o que faz a ponte entrar num</p><p>modo de vibração torcional a 14 ciclos por minuto. O eixo da via, os dois pilares e o meio da</p><p>ponte são nodos. A partir daí a situação não se alterou muito durante cerca de uma hora, até</p><p>que às 11h00 se desprende um primeiro pedaço de pavimento e às 11h10 a ponte entra em</p><p>colapso, caindo no rio.</p><p>Os grandes defeitos da ponte foram a sua enorme falta de rigidez transversal e torcional, pois</p><p>estava ausente o reticulado por baixo do tabuleiro, e a frente aerodinâmica do perfil. Não houve</p><p>vítimas deste acidente.</p><p>Uma nova ponte foi construída no local, e ainda se encontra em funcionamento.”</p><p>Explore</p><p>Link, vídeo sobre a ponte de Tacoma:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=mfQk6ac4res</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>7</p><p>Introdução</p><p>Os fenômenos periódicos são assim chamados por serem repetitivos e ocorrerem após um</p><p>intervalo de tempo fixo. Uma bola; a boias nas ondas do mar; o pêndulo de um relógio são</p><p>exemplos de movimentos ou eventos repetitivos. Estas repetições são chamadas de oscilações</p><p>que podem ser simuladas como movimentos chamados harmônicos simples. Estes movimentos</p><p>podem servir para repetir outros fenômenos baseados em ondas mecânicas que podem ser</p><p>ondas sonoras, sísmicas (que provocam terremotos), ondas na água.</p><p>Figura 1 – Ondas na superfície de água.</p><p>iStock/Getty Images</p><p>Movimento Periódico</p><p>O movimento periódico de um objeto é aquele que se repete em intervalos regulares de</p><p>tempo. O objeto retorna a uma posição após um intervalo de tempo fixo.</p><p>Na natureza e no nosso dia a dia há várias situações descritas pelo movimento periódico. A</p><p>Terra voltando a uma distância na órbita do Sol, nós irmos e voltarmos do trabalho, um ônibus</p><p>ou metrô que retorna a uma estação. Há outros eventos que não enxergamos e descrevem</p><p>movimento oscilatório simples, tais como moléculas em sólido, ondas luminosas, ondas de rádio.</p><p>Um tipo especial de movimento periódico é aquele de uma força atuando em um objeto que</p><p>seja proporcional à posição do objeto relativa a alguma posição de equilíbrio.</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>iS</p><p>to</p><p>ck</p><p>/G</p><p>et</p><p>ty</p><p>Im</p><p>ag</p><p>es</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>8</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>FS</p><p>x</p><p>x</p><p>m</p><p>x = 0</p><p>FS= 0</p><p>x</p><p>m</p><p>x = 0</p><p>x</p><p>FS</p><p>x</p><p>m</p><p>x = 0</p><p>Figura 2 – Sistema mola e objeto descrevendo um movimento periódico</p><p>(movimento harmônico simples)</p><p>Na figura 2, o bloco está conectado a uma mola presa à parede. (a) Quando o bloco se</p><p>desloca para a direita da posição de equilíbrio a força atua para a esquerda; (b) Quando o</p><p>bloco se encontra na posição x = 0 a força é nula FS = 0; (c) Quando o bloco se afasta para a</p><p>esquerda da posição de equilíbrio a força atua para a direita.</p><p>Pela lei de Hooke sabemos que a força da mola (força restauradora) é:</p><p>FS= – kx</p><p>Se esta for a única força atuando na mola, sabemos pela segunda lei de Newton que:</p><p>kx= – max</p><p>=-x</p><p>k</p><p>a x</p><p>m</p><p>Esta aceleração é proporcional à posição do bloco e a sua direção é oposta ao deslocamento do</p><p>equilíbrio. Sistemas que se comportam desta maneira apresentam um movimento harmônico</p><p>simples. E se quisermos representar matematicamente este movimento sabemos que a aceleração</p><p>é a derivada da velocidade ou simplesmente a segunda derivada da posição em relação ao tempo:</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= =</p><p>=-</p><p>dv d x</p><p>a</p><p>dt dt</p><p>d x k</p><p>x</p><p>dt m</p><p>9</p><p>Por razões algébricas, iremos definir a razão k/m como:</p><p>2= w</p><p>k</p><p>m</p><p>e assim temos que:</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =-w</p><p>d x</p><p>x</p><p>dt</p><p>A solução para a equação diferencial acima é uma função x(t), que quando derivada seja</p><p>ela mesma e multiplicada por 2ω− . Sabe-se que as funções trigonométricas Seno e Cosseno</p><p>apresentam este comportamento, portanto, pode apresentar a seguinte função como solução da</p><p>equação abaixo:</p><p>( ) ( )x t Acos tω φ= +</p><p>onde , A eω φ são constantes. Vejamos se a função acima satisfaz a equação inicialmente proposta:</p><p>( ) ( )cos= w +f =-w w +f</p><p>dx d</p><p>A t Asen t</p><p>dt dt</p><p>( ) ( )</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =-w w +f =-w w +f</p><p>d x d</p><p>A sen t Acos t</p><p>dt dt</p><p>isto é, provamos que:</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =-w</p><p>d x</p><p>x</p><p>dt</p><p>As constantes presentes nesta equação são:</p><p>1) A, a amplitude do movimento que é o valor máximo da posição da partícula, quer na</p><p>direção positiva ou na direção negativa de x.</p><p>2) ω , que é a frequência angular, cuja unidade é em radianos/segundo (rad/s). É a medida</p><p>de quão rápido as oscilações estão ocorrendo; a frequência angular depende da constante de</p><p>elástica da mola k e da massa m.</p><p>w =</p><p>k</p><p>m</p><p>3) A constante angular φ é chamada constante de fase ou ângulo de fase inicial, e determina-</p><p>se quando t=0. Se a partícula estiver na posição máxima em t =0 a fase será nula. A quantidade</p><p>( ) tω φ+ é chamada de fase do movimento. Observe que a função</p><p>x(t) é periódica e, portanto,</p><p>se repete a cada vez que a quantidade ( )tω + ϕ aumentar de 2π.</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>10</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>4) O período T do movimento é o intervalo de tempo em que a partícula completa um ciclo.</p><p>A cada fase de 2π rad o ciclo se reinicia assim:</p><p>( ) ( ) 2t T tω φ ω φ π+ + − + =  </p><p>2p</p><p>=</p><p>w</p><p>T</p><p>5) A frequência de movimento é o inverso do período. A frequência é o número de oscilações</p><p>que a partícula sofre por unidade de tempo:</p><p>1</p><p>2</p><p>w</p><p>= =</p><p>p</p><p>f</p><p>T</p><p>A unidade em ciclos por segundo é chamada de hertz (Hz). Podemos ainda escrever a</p><p>frequência e o período em função da constante k e da massa m:</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>p</p><p>= = p</p><p>w</p><p>= =</p><p>p</p><p>m</p><p>T</p><p>k</p><p>k</p><p>f</p><p>T m</p><p>A partir da equação solução podemos obter a equação da velocidade e da aceleração:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>A= =-w w +f</p><p>= =-w w +f</p><p>dx</p><p>v sen  t</p><p>dt</p><p>d x</p><p>a Acos t</p><p>dt</p><p>11</p><p>Como é sabido, os valores máximos (mínimos) das funções trigonométricas seno e cosseno são</p><p>±1, e assumindo isto temos que os valores máximos da posição, velocidade e aceleração vão ser:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>max min</p><p>max min</p><p>2</p><p>max min</p><p>x A</p><p>v A</p><p>a A</p><p>ω</p><p>ω</p><p>= ±</p><p>= ±</p><p>= ±</p><p>Podemos substituir pela constante k e a massa m e teremos:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>max min</p><p>2</p><p>max min</p><p>=±w =</p><p>=±w =</p><p>k</p><p>v A A</p><p>m</p><p>k</p><p>a A A</p><p>m</p><p>Exemplo: Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo</p><p>x. Sua posição varia de acordo com a equação:</p><p>5,00cos 0,4</p><p>3</p><p>æ öp÷ç= + ÷ç ÷çè ø</p><p>x t</p><p>Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A amplitude, frequência</p><p>e período do movimento serão respectivamente:</p><p>a) 5,00 m; 0,064 Hz; 15,71 s</p><p>b) 2,50 m; 0,064 Hz; 1 s</p><p>c) 5,00 m; 0,4 Hz; 20 s</p><p>d) 5,00 m; 0,064 Hz; 15,71 s</p><p>e) 2,50 m; 0,4 Hz; 15,71 s</p><p>12</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Comparando com a equação:</p><p>( ) cosx A tω φ= +</p><p>temos que A = 5,00 m e 0,4 /rad sω = , e, portanto,</p><p>0,4</p><p>0.063662</p><p>2 2</p><p>w</p><p>= = =</p><p>p p</p><p>f  Hz , e</p><p>1 1</p><p>15,708 15,71</p><p>0.063662</p><p>= = = »T  s</p><p>f</p><p>Exemplo:</p><p>Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Sua</p><p>posição varia de acordo com a equação:</p><p>5,00cos 0,4</p><p>3</p><p>æ öp÷ç= + ÷ç ÷çè ø</p><p>x t</p><p>Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A sua velocidade e</p><p>aceleração no instante t = 2 s será de:</p><p>a) 1,92 m/s e 0,33 m/s2</p><p>b) 0,33 m/s e -1,92 m/s2</p><p>c) 1,92 m/s e -0,22 m/s2</p><p>d) -1,92 m/s e 0,22 m/s2</p><p>e) -1,92 m/s e -0,22 m/s2</p><p>A velocidade e aceleração são dadas por:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>A= =-w w +f</p><p>= =-w w +f</p><p>dx</p><p>v sen  t</p><p>dt</p><p>d x</p><p>a Acos t</p><p>dt</p><p>Assim,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0,4 5,00  0,4 2,00 0,4</p><p>3 3</p><p>0,4 5,00 0,4 0,8 0,4</p><p>3 3</p><p>æ ö æ öp p÷ ÷ç ç= =- ´ + =- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø</p><p>æ ö æ öp p÷ ÷ç ç= =- ´ + =- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø</p><p>dx</p><p>v sen  t   sen  t</p><p>dt</p><p>d x</p><p>a cos t cos t</p><p>dt</p><p>Em t = 2 s:</p><p>2</p><p>2,00 0,4 2 1,92 /</p><p>3</p><p>0,8 0,4 2 0,22 /</p><p>3</p><p>æ öp÷ç=- ´ + =-÷ç ÷çè ø</p><p>æ öp÷ç=- ´ + =÷ç ÷çè ø</p><p>v sen     m s</p><p>a cos  m s</p><p>Trocando Ideias</p><p>Não esqueça de utilizar a sua calculadora em radianos!</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>olari</p><p>Realce</p><p>13</p><p>Exemplo:</p><p>Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Sua</p><p>posição varia de acordo com a equação:</p><p>5,00cos 0,4</p><p>3</p><p>æ öp÷ç= + ÷ç ÷çè ø</p><p>x t</p><p>Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A velocidade e aceleração</p><p>máximas serão:</p><p>a) 5,0 m/s e 0,4 m/s2</p><p>b) 2,0 m/s e 0,8 m/s2</p><p>c) 3,0 m/s e 0,6 m/s2</p><p>d) -2,0 m/s e -0,8 m/s2</p><p>e) 1,0 m/s e 0,4 m/s2</p><p>A velocidade e a aceleração máximas são dadas por</p><p>( )</p><p>( )</p><p>max min</p><p>2 2 2</p><p>max min</p><p>0, 4 5,00 2,0 /</p><p>0, 4 5,00 0,8 /</p><p>v A m s</p><p>a A m s</p><p>ω</p><p>ω</p><p>= = × =</p><p>= = × =</p><p>Exemplo:</p><p>Um bloco de 500 g está conectado a uma mola com constante elástica de 2,5 N/m. O bloco</p><p>terá um período de oscilação de:</p><p>a) 2,5 s</p><p>b) 2,6 s</p><p>c) 2,7 s</p><p>d) 2,8 s</p><p>e) 2,9 s</p><p>2,5</p><p>2,23607 /</p><p>0,5</p><p>2 2</p><p>2,8</p><p>2,23607</p><p>w = = =</p><p>p p</p><p>= = =</p><p>w</p><p>k</p><p>rad s</p><p>m</p><p>T  s</p><p>14</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Energia do Oscilador Harmônico Simples</p><p>Vamos assumir uma mola com massa desprezível e determinamos sua energia cinética como:</p><p>( )2 2 2 21 1</p><p>2 2</p><p>= = w w +fK mv m A sen t</p><p>A energia potencial de uma mola esticada de x é:</p><p>( )2 2 21 1</p><p>2 2</p><p>= = w +fU kx kA cos t</p><p>E a energia mecânica vai ser:</p><p>( ) ( )2 2 21</p><p>2</p><p>é ù= + = w +f + w +fê úë ûE K U kA sen t cos t</p><p>Lembrando que tomamos 2 k</p><p>m</p><p>ω = e que a identidade trigonométrica</p><p>2 2 1sen cosθ θ+ = , a energia final será:</p><p>21</p><p>2</p><p>=E kA</p><p>Isto é, a energia mecânica total de um oscilador harmônico simples é uma constante de</p><p>movimento e proporcional ao quadrado da amplitude. Note que K e U são sempre positivos e</p><p>a sua soma sempre é 21</p><p>2</p><p>=E kA .</p><p>Energia Cinética (roxo) e Potencial (verde) versus tempo (período) para um</p><p>oscilador harmônico.</p><p>15</p><p>Exemplo:</p><p>Uma carreta de 1,5 kg está conectada a uma mola de constante elástica de 200 N/s. A energia</p><p>total do sistema para uma oscilação com amplitude máxima de 10 cm é de:</p><p>a) 0,1 J</p><p>b) 1 J</p><p>c) 10 J</p><p>d) 5 J</p><p>e) 0,5 J 2 21 1</p><p>200 0,1 1</p><p>2 2</p><p>= = ´ =E kA  J</p><p>Pelo princípio da conservação podemos deduzir a velocidade em função da posição para</p><p>um oscilador:</p><p>( )</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>1 1 1</p><p>2 2 2</p><p>= + = + =</p><p>=± - =±w -</p><p>E K U mv kx kA</p><p>k</p><p>v A x A x</p><p>m</p><p>A aplicação do modelo do oscilador harmônico simples é muito utilizada em várias áreas da</p><p>física, e acaba sendo um bom modelo para uma larga variedade de fenômenos físicos. A partir</p><p>de alguns valores notáveis de tempo em função do período de uma oscilação é possível saber</p><p>os valores correspondentes de posição, velocidade, aceleração, e energias cinética e potencial.</p><p>Tempo</p><p>(período)</p><p>Posição</p><p>(amplitude)</p><p>Velocidade Aceleração Energia</p><p>Cinética</p><p>Energia</p><p>Potencial</p><p>Energia</p><p>Total</p><p>t x v a K U K+U</p><p>0 A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA</p><p>T/4 0 Aω 0 2½ kA 0 2½ kA</p><p>T/2 -A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA</p><p>3T/4 0 Aω 0 2½ kA 0 2½ kA</p><p>T A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA</p><p>16</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme</p><p>Como mencionado, no nosso dia a dia muitos equipamentos e dispositivos apresentam uma</p><p>relação entre o movimento oscilatório e o movimento circular.</p><p>Por exemplo, os pistões de um motor sobem e descem (oscilação) e ainda assim o movimento</p><p>resultante é circular.</p><p>Figura 3 – Motores a vapor e esquema que mostra a conversão de um motor de ciclos alternativos em movimento de rotação (o “gif”</p><p>animado encontra-se em http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocating_motion)</p><p>Considere uma partícula executando um movimento circular de raio a. Vamos considerar</p><p>que o sistema de coordenadas cartesiano tenha sua origem no centro do círculo.</p><p>A velocidade angular da partícula vai ser ω e podemos verificar que o ângulo θ varia conforme:</p><p>tθ ω=</p><p>e é fácil observar que as coordenadas cartesianas são:</p><p>cos</p><p>x acos a t</p><p>y a sen a sen t</p><p>θ ω</p><p>θ ω</p><p>= =</p><p>= =</p><p>17</p><p>Se neste movimento, quando t = 0 houver um ângulo inicial ϕ, as equações tornam-se:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>cos</p><p>x a t</p><p>y a sen t</p><p>ω φ</p><p>ω φ</p><p>= +</p><p>= +</p><p>Portanto, o movimento circular uniforme é a combinação de dois movimentos harmônicos</p><p>simples em x e y.</p><p>Exemplo:</p><p>Uma partícula faz uma rotação no sentido horário em um círculo de 5,00 m de raio com</p><p>velocidade angular constante de 12 rad/s. No instante t =0, a partícula encontra-se em x = 3,00</p><p>m e está movendo para a direita. A posição de x em t = 4 s será:</p><p>a) 0,75 m</p><p>b) -0,75 m</p><p>c) -1,15 m</p><p>d) 1,15 m</p><p>e) 5,00 m</p><p>cos( )</p><p>12 /</p><p>5,00</p><p>5,00cos(12 )</p><p>x A t</p><p>w rad s</p><p>A m</p><p>x t</p><p>= ω + φ</p><p>=</p><p>=</p><p>= + φ</p><p>Quando x = 3,00, t = 0 , assim:</p><p>1</p><p>3,00 5,00</p><p>3,00 53,13 0,9273</p><p>5,00</p><p>cos</p><p>cos ou rad</p><p>φ</p><p>φ −</p><p>=</p><p> = = ° </p><p> </p><p>Então teremos:</p><p>( )5,00 cos 12 0,9273x t= +</p><p>e em t = 4 s</p><p>( )5,00cos 12 4 0,9273 1,15258 1,15 x m= × + = ≈</p><p>18</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Pêndulo Simples</p><p>O pêndulo simples é outro sistema que apresenta movimento periódico. Ele consiste de uma</p><p>massa m suspensa por um fio de massa desprezível e comprimento L fixo na parte superior. O</p><p>movimento ocorre no plano vertical e é acionado pela força gravitacional. Quando o ângulo máximo</p><p>de oscilação for menor que 10o, o movimento se assemelha a um oscilador harmônico simples.</p><p>As forças atuantes são a tração T para cima e a força gravitacional mg para baixo. A componente</p><p>tangencial mgsenθ que sempre</p><p>restaura a posição da massa presa para a posição em que θ =0,</p><p>onde a posição é a mais baixa em relação ao solo. Aplicando-se a segunda lei de Newton:</p><p>2</p><p>2=- q =tan</p><p>d s</p><p>F mgsen m</p><p>dt</p><p>Como s Lθ= , e L é constante, temos:</p><p>2</p><p>2</p><p>q</p><p>=- q</p><p>d g</p><p>sen</p><p>dt L</p><p>Mas para pequenos ângulos senθ θ≈ e assim:</p><p>2</p><p>2</p><p>q</p><p>=- q</p><p>d g</p><p>dt L</p><p>Esta equação é da mesma estrutura que a do movimento harmônico simples e tem como solução:</p><p>( )cosmax tθ θ ω φ= +</p><p>Onde maxθ é o ângulo máximo de oscilação e a frequência angular ω :</p><p>w =</p><p>g</p><p>L</p><p>19</p><p>g é a aceleração da gravidade. O período de oscilação vai ser:</p><p>2</p><p>2</p><p>p</p><p>= = p</p><p>w</p><p>L</p><p>T</p><p>g</p><p>O período e frequência de oscilação de um pêndulo depende somente do comprimento da</p><p>linha (fio) e da aceleração da gravidade.</p><p>Oscilações Amortecidas</p><p>Os movimentos oscilantes até o momento são aqueles ideais, isto é, a oscilação vai ocorrer</p><p>indefinidamente pela ação de uma força única e restauradora. Mas, os sistemas reais apresentam</p><p>forças não conservativas, como o atrito, que retardam o movimento. A força retardadora é</p><p>proporcional, em geral, à velocidade do objeto:</p><p>=-</p><p></p><p></p><p>R bv</p><p>onde b é o coeficiente de amortecimento, e novamente aplicando a segunda lei de Newton</p><p>ao sistema, temos:</p><p>2</p><p>2</p><p>ˆ ˆ ˆ.=- - =</p><p>- - =</p><p>åF   kxi bvi m ai</p><p>dx d x</p><p>kx b m</p><p>dt dt</p><p>a solução para tal sistema é um pouco avançada, e será apresentada sem prova, porém sua</p><p>forma não é tão complicada assim:</p><p>( )2 cos</p><p>-</p><p>= w +f</p><p>b</p><p>t</p><p>mx Ae t</p><p>onde a frequência angular de oscilação é:</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>æ ö æ ö÷ ÷ç çw = - = w -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øo</p><p>k b b</p><p>m m m</p><p>onde /w =o k m que é a frequência natural de oscilação sem amortecimento. Vamos</p><p>perceber que a amplitude de oscilação decai exponencialmente com o tempo e significa que a</p><p>posição vai tendendo à posição de equilíbrio e a velocidade de oscilação vai diminuindo.</p><p>Grá� co de posição versus o tempo para um oscilador amortecido (b=0,08 kg/s, b=0,2 kg/s). As linhas tracejadas (laranja) são</p><p>chamadas de “envelope”.</p><p>20</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Oscilações Forçadas</p><p>Quando os sistemas oscilantes decrescem devido às forças não conservativas, há meios de se</p><p>compensar a perda de energia ao se aplicar uma força externa ao sistema, de maneira a realizar</p><p>trabalho sobre o sistema, ou seja, ceder energia, perdida nos desgastes e resistências internas</p><p>do sistema oscilante. Ao empurrarmos uma criança no balanço, quando este oscila com menor</p><p>amplitude, é um exemplo de nosso dia a dia. Um exemplo de um oscilador forçado é um oscilador</p><p>amortecido acionado por uma força externa que varie periodicamente F(t)=Fo sen tω , onde ω</p><p>é a frequência angular e F0 é uma constante, mais uma vez aplicando a segunda lei de Newton:</p><p>2</p><p>0 2= ® w - - =å dx d x</p><p>F ma F sen   t b kx m</p><p>dt dt</p><p>A solução passo a passo também foge do escopo deste curso e apresentaremos tão somente</p><p>os resultados. Depois que a força atuando no sistema estacionário comece a surtir efeito, a</p><p>amplitude de oscilações irá aumentar. Depois de um período longo de tempo comparado</p><p>ao tempo de oscilação, a energia por ciclo adicionada ao sistema irá se equiparar à energia</p><p>transformada em energia interna em cada ciclo, e um novo estado estacionário será alcançado</p><p>e as oscilações irão proceder com amplitude constante:</p><p>( ) x Acos tω φ= +</p><p>e</p><p>( )</p><p>0</p><p>2</p><p>22 2</p><p>0</p><p>/</p><p>=</p><p>æ öw÷çw -w + ÷ç ÷çè ø</p><p>F m</p><p>A</p><p>b</p><p>m</p><p>e 0 /k mω = é a frequência natural do sistema sem amortecimento, isto é, para b=0.</p><p>O sistema irá oscilar com grandes amplitudes quando a frequência da força atuante for próxima</p><p>da frequência natural, ou quando 0ω ω≈ . Quando a frequência estiver muito próxima, o</p><p>sistema entra em ressonância e a amplitude atinge valores muito elevados, o que pode causar</p><p>danos estruturais ao sistema. Um exemplo muito famoso é o da ponte de Tacoma no estado</p><p>de Washington, quando em 1940 a força de um vento moderado, mas com frequência muito</p><p>próxima à da frequência de ressonância da ponte fez com que a mesma entrasse em colapso.</p><p>Explore</p><p>Ponte de Tacoma entrando em colapso, para ver o vídeo acesse:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs</p><p>21</p><p>Material Complementar</p><p>Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade, veja os vídeos indicados e</p><p>consulte a bibliografia indicada.</p><p>Textos</p><p>• Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações</p><p>http://goo.gl/4cSDZQ</p><p>Vídeos</p><p>• Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações - Parte 1</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=WBUcT8NVwuk</p><p>• Fundação Lemann</p><p>http://goo.gl/nLjfWE</p><p>22</p><p>Unidade: Fenômenos Oscilantes</p><p>Referências</p><p>ALONSO, M. Física: um curso universitário. – 12a. edição – São Paulo: Edgard Blucher, 2011.</p><p>HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e</p><p>termodinâmica – 9ª. Edição - Rio de Janeiro: LTC editora, 2012.</p><p>LANDULFO, E. Meio Ambiente & Física. São Paulo: Editora Senac, 2005.</p><p>NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. 4a ed. São</p><p>Paulo: Edgard Blücher Ltda, 2002.</p><p>SEARS; ZEMANSKY. Física II, Termodinâmica e Ondas. – 12a. Edição – São Paulo:</p><p>Addison Wesley, 2003.</p><p>SERWAY, R; JEWETT Jr., J. W. Princípios de Física, Vol.2. São Paulo - THOMPSON Editora; 2004.</p><p>TIPLER, P.A. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas,</p><p>termodinâmica - 4a Ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos S.A., 2000.</p><p>23</p><p>Anotações</p>