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<p>Vibrações Mecânicas II</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL Universidade Federal de Itajubá</p><p>1.1 – Sistemas com 2 GDL</p><p>1.1.1 – Vibrações Livres não Amortecidas: Autovalores e Autovetores</p><p>1.1.2 – Vibrações Forçadas: Excitação Harmônica</p><p>1.2 – Sistemas com mais de 2 GDL</p><p>Bibliografia</p><p>- INMAN, D. J., 2007, “Engineering Vibration”, 3th Edition, Prentice-Hall.</p><p>- THOMSON, W. T., DAHLEH, M. D., 1998, “Theory of Vibration with Application”, 5ª Edition,</p><p>Prentice-Hall.</p><p>- RAO, S., 2008, “Vibrações Mecânicas”, Pearson Prentice Hall, SP.</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL</p><p>1.1 – Sistemas com 2 GDL</p><p>Alguns sistemas podem ser aproximados por sistemas de apenas 1 GDL. Porém, esta análise é</p><p>muito restrita e se faz necessário um estudo mais avançado.</p><p>Para expandir o estudo à sistemas mais complexos, iremos estudar sistemas de 2 GDL.</p><p>Um sistema de 2 GDL é um sistema que requer duas coordenadas generalizadas independentes</p><p>que definem completamente o movimento do sistema em qualquer instante.</p><p>k1</p><p>c1</p><p>m1</p><p>x1(t)</p><p>c2 k2</p><p>m2</p><p>x2(t)</p><p>f(t) sistema com</p><p>2 GDL</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>1.1.1 – Vibrações Livres não Amortecidas</p><p>Considere o sistema dado pela figura abaixo:</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>y</p><p>x</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>Obtenção do diagrama de corpo livre:</p><p>DCL</p><p>analisando o</p><p>movimento</p><p>vibratório chega-se</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>y</p><p>x</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>As equações diferenciais do movimento são dadas por:</p><p>Escrevendo na forma matricial tem-se:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22x</p><p>11x</p><p>xmF</p><p>xmF</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2212</p><p>2111</p><p>kxxxkxm2</p><p>xxkkxxm</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0kx2kxxm2</p><p>0kxkx2xm</p><p>212</p><p>211</p><p></p><p></p><p>(1)</p><p>           0txKtxM </p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m20</p><p>0m</p><p>M</p><p>matriz de massa</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>k2k</p><p>kk2</p><p>K</p><p>matriz de rigidez</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>)(</p><p>)(</p><p>2</p><p>2</p><p>)(</p><p>)(</p><p>20</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>tx</p><p>tx</p><p>kk</p><p>kk</p><p>tx</p><p>tx</p><p>m</p><p>m</p><p></p><p></p><p>onde</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>Agora, admitindo-se que as massas m e 2m tenham movimentos hormônicos com a mesma</p><p>frequência  e amplitudes de vibrações A1 e A2. Assim:</p><p>Substituindo as respostas (2) nas equações do movimento (1) chega-se:</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>tsenAx</p><p>tsenAx</p><p></p><p></p><p>22</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ti</p><p>ti</p><p>eAx</p><p>eAx</p><p></p><p></p><p>22</p><p>11ou (2)</p><p>   </p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>022</p><p>02</p><p>212</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>tsenkAkAAm</p><p>tsenkAkAAm</p><p></p><p></p><p>(3)</p><p>i ii</p><p>A equação (3) possui solução não trivial se: i 0</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>Na forma matricial tem-se:</p><p>A equação (5) é satisfeita para qualquer valor de A1 e A2, se o determinante abaixo for igual a</p><p>zero. Assim:</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>022</p><p>02</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>21</p><p>2</p><p>AmkkA</p><p>kAAmk</p><p></p><p></p><p>(4)</p><p> </p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>mkk</p><p>kmk</p><p></p><p></p><p>(5)</p><p> </p><p> </p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>mkk</p><p>kmk</p><p></p><p> Agora, necessita-se resolver o determinante.</p><p>Para tal, faremos 2 =</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>As duas raízes são chamadas de “Autovalores” do sistema.</p><p>Conclui-se que um sistema com 2 GDL possui duas frequências naturais e sua curva em função da</p><p>frequência é dada pela figura a seguir:</p><p>0</p><p>m</p><p>k</p><p>2</p><p>3</p><p>m</p><p>k3</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  (6)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>11</p><p></p><p></p><p>(7)</p><p>As duas frequências naturais do sistema são então dadas por:</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p><p>Cada sistema possui sua</p><p>própria equação característica</p><p>sempre</p><p>nessa</p><p>ordem</p><p>𝜔2 > 𝜔1</p><p>Capítulo 1 – Sistemas com Vários GDL</p><p>Sistemas com 2 GDL – Autovalores e Autovetores</p><p>Exemplo de uma resposta em frequência de um sistema de 2 GDL.</p><p>Mais adiante, veremos como plotar essa curva.</p><p>1 2</p><p>Universidade Federal de Itajubá</p>