Matematica Geral - 4 Conteudo Moodle

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<p>Unidade de Estudo Nº4: Funções elementares e seus gráficos</p><p>Introdução</p><p>Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função.</p><p>Nesta unidade o nosso objectivo principal será o de apresentar a definição de função e vários tipos</p><p>especiais de funções, chamadas de modo geral de funções elementares que são importantes para o</p><p>desenvolvimento do módulo. Uma função pode ser apresentada por uma tabela, por um gráfico ou</p><p>por meio de uma expressão analítica. As funções são de grande relevância nas engenharias, pois,</p><p>através delas, os fenômenos naturais são descritos.</p><p>Objectivos da Unidade</p><p>No fim desta unidade você deve ser capaz de:</p><p>Identificar uma função real de variável real;</p><p>Identificar as funções elementares e construir os seus gráficos;</p><p>Aplicar os conceitos de funções na resolução de problemas concretos.</p><p>Palavras-chave</p><p>Funções; Gráfico; Expressão analítica.</p><p>Tempo de Estudo</p><p>Esta unidade terá duração de 12 horas lectivas, o correspondente</p><p>1</p><p>Para o estudo desta unidade você deverá ter em sua posse:</p><p>Computador ou tablet com acesso à internet e com acesso ás plataformas Zoom, Moodle e e-</p><p>mail;</p><p>Manuais indicados na bibliografia, em formato digital e/ou físico; e</p><p>Papel e Esferográfica.</p><p>Recursos de Aprendizagem</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>4.3 Noção de Função</p><p>Sejam D e B subconjuntos de R.</p><p>Desenvolvimento</p><p>2</p><p>Definição 4.3.1 (Função) Chama-se função à uma correspondência entre um</p><p>conjunto D e um conjunto B, que a cada elemento x do conjunto D faz corresponder um, e um só um,</p><p>elemento y do conjunto B. Neste caso, representa-se por</p><p>f : D → B.</p><p>Definição 4.3.2 (Domínio e Imagem) Nas condições da definição 4.3.1 acima,</p><p>o conjunto D é denominado Domínio da função f, e denota-se por r D .</p><p>O conjunto de todos os elementos de B, com correspondência no domínio D, denomina-se Imagem</p><p>ou Contradomínio de f e representa-se por Im (f) ou D´.</p><p>O domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores de x que fazem com que a função exista e</p><p>tenha sentido.</p><p>O Cálculo de domínio depende do tipo de função:</p><p>f</p><p>f</p><p>Funções polinomiais: o domínio é sempre pertencente a R, isto é, D = R.</p><p>Funções racionais fraccionárias: o domínio é todo R excepto os valores que anulam o</p><p>denominador.</p><p>Funções irracionais: O domínio depende do índice do radical:</p><p>– Quando o índice do radical é ímpar, o domínio é sempre D = R;</p><p>– Quando o índice do radical é par, o domínio determina-se protegendo que o radicando seja</p><p>não negativo;</p><p>Funções exponenciais: O domínio é sempre D = R.</p><p>Funções logarítmicas: O domínio determina-se protegendo que o logaritmando seja positivo;</p><p>Funções trigonométricas</p><p>– Função seno e co-seno: O domínio é sempre R</p><p>– Função tangente e co-tangente: O domínio é tal que depende da exclusão dos valores que</p><p>anulam o dominador.</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>3</p><p>Exemplo 4.3.1 Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:</p><p>Resolução:</p><p>A expressão tem sentido se o radicando for não negativo, isto é, 3−x² ≥ 0.</p><p>Resolvendo esta desigualdade temos</p><p>Seja y = Então y ≥ 0. Resolvendo esta equação em ordem a variável x teremos</p><p>Esta igualdade terá sentido somente se Logo Im(f) =</p><p>Seja Então y ≤ 0. Resolvendo esta equação em ordem a variável x obtemos,</p><p>x = y² − 2 que faz sentido para qualquer número real. Isto significa que y ≤ 0 e logo Im(g) = ]−∞; 0].</p><p>As operações algébricas podem ser aplicadas às funções reais de variável real, do modo seguinte:</p><p>Proposição 4.3.1 Sejam f(x) e g(x) funções reais.</p><p>(i) Adição e subtração: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x).</p><p>(ii) Multiplicação: (f · g)(x) = f(x) · g(x).</p><p>Em particular, se k ϵ R, (k · f)(x) = k · f(x).</p><p>(iii) Divisão:</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>4</p><p>Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de f e g tem, em cada ponto</p><p>uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das ordenadas de f e</p><p>g nos pontos correspondentes.</p><p>Definição 4.3.1 (Função) Chama-se função à uma correspondência entre um</p><p>conjunto D e um conjunto B, que a cada elemento x do conjunto D faz corresponder um, e um só um,</p><p>elemento y do conjunto B. Neste caso, representa-se por</p><p>f : D → B.</p><p>Definição 4.3.2 (Domínio e Imagem) Nas condições da definição 4.3.1 acima, o conjunto D é</p><p>denominado Domínio da função f, e denota-se por D .</p><p>O conjunto de todos os elementos de B, com correspondência no domínio D, denomina-se Imagem</p><p>ou Contradomínio de f e representa-se por Im(f) ou D′</p><p>f</p><p>f</p><p>O domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores de x que fazem com que a função exista e</p><p>tenha sentido.</p><p>O Cálculo de domínio depende do tipo de função:</p><p>Funções polinomiais: o domínio é sempre pertencente a R, isto é, D = R.</p><p>Funções racionais fraccionárias: o domínio é todo R excepto os valores que anulam o</p><p>denominador.</p><p>Funções irracionais: O domínio depende do índice do radical:</p><p>– Quando o índice do radical é ímpar, o domínio é sempre D = R;</p><p>– Quando o índice do radical é par, o domínio determina-se protegendo que o radicando seja não</p><p>negativo;</p><p>Funções exponenciais: O domínio é sempre D = R.</p><p>Funções logarítmicas: O domínio determina-se protegendo que o logaritmando seja positivo;</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>5</p><p>Funções trigonométricas</p><p>– Função seno e co-seno: O domínio é sempre R</p><p>– Função tangente e co-tangente: O domínio é tal que depende da exclusão dos valores que anulam</p><p>o dominador.</p><p>Exemplo 4.3.1 Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:</p><p>1.</p><p>Resolução:</p><p>A expressão tem sentido se o radicando for não negativo, isto é, 3−x² ≥ 0.</p><p>Resolvendo esta desigualdade temos</p><p>Seja y = Então y ≥ 0. Resolvendo esta equação em ordem a variável x teremos</p><p>Esta igualdade terá sentido somente se Logo Im(f) =</p><p>2. g(x) = −</p><p>Resolução:</p><p>Analogamente tem-se</p><p>Seja y = − Então y ≤ 0. Resolvendo esta equação em ordem a variável x obtemos,</p><p>x = y² − 2 que faz sentido para qualquer número real. Isto significa que y ≤ 0 e logo</p><p>Im(g) = ]−∞; 0].</p><p>As operações algébricas podem ser aplicadas às funções reais de variável real, do modo seguinte:</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>Proposição 4.3.1 Sejam f(x) e g(x) funções reais.</p><p>(i) Adição e subtração: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x).</p><p>(ii) Multiplicação: (f · g)(x) = f(x) · g(x).</p><p>Em particular, se k ϵ R, (k · f)(x) = k · f(x).</p><p>(iii) Divisão:</p><p>6</p><p>A função f é sobrejectiva se para todo y ϵ B, existe algum x ϵ A tal que y = f(x).</p><p>A função f é injectiva se para quaisquer elementos x , x de A, temos x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ).</p><p>A função f é bijectiva se é simultaneamente injectiva e sobrejectiva.</p><p>1 2 2 21 1</p><p>Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de f e g tem, em cada ponto</p><p>uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das ordenadas de f e g</p><p>nos pontos correspondentes.</p><p>Definição 4.3.3 Seja f : D → B uma função real:</p><p>4.4 Gráfico de uma função</p><p>Definição 4.4.1 (Gráfico de uma função) Define-se o gráfico da função f como sendo o conjunto dos</p><p>pontos do plano correspondentes a pares (x, f(x)), com x ϵ D , isto é Graf(f) = {(x, f(x)) : x ϵ D }f f</p><p>Exemplo 4.4.1 Veja abaixo, os gráficos das funções f(x) = x e g(x) = |x|, para todos os valores de x ϵ R:</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>7</p><p>Definição 4.4.2 (Função Limitada) Uma função f(x) diz-se limitada no conjunto D R se</p><p>m, M ϵ R tal que x ϵ D verifica-se a desigualdade</p><p>m ≤ f(x) ≤ M</p><p>⊂</p><p>E</p><p>A</p><p>Exemplo 4.4.2 A função f(x) no intervalo [1, 4] é limitada visto que:</p><p>Unidade de Estudo</p><p>4 - Matemática Geral</p><p>8</p><p>Exemplo 4.4.3 A função f(x) = sin x é limitada visto que −1 ≤ sin x ≤ 1.</p><p>Definição 4.4.3 (Conjunto Simétrico) Diz-se que o um conjunto I (de números reais) é simétrico,</p><p>se todo seu elemento tem oposto dentro do conjunto, isto é:</p><p>−x ϵ I sempre que x ϵ I.</p><p>Exemplo 4.4.4 Os seguintes conjuntos são simétricos</p><p>Exemplo 4.4.5 Os seguintes conjuntos não são simétricos</p><p>Definição 4.4.4 (Função Par e Ímpar) Seja f(x) uma função definida num</p><p>conjunto simétrico D</p><p>Se f(−x) = f(x) diz-se que a função f(x) é Par..</p><p>Se f(−x) = −f(x) diz-se que a função f(x) é Ímpar.</p><p>f</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>9</p><p>O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, enquanto que o gráfico de</p><p>uma função ímpar é simétrico em relação à origem.</p><p>Exemplo 4.4.6 Consideremos a função</p><p>O seu domínio, D = R \ {0}, é simétrico. Além disso, temos:</p><p>Logo, pelo primeiro ponto da definição 4.4.4, f é uma função par.</p><p>Exemplo 4.4.7 Consideremos agora a função f(x) = x⁵ − x³.</p><p>O seu domínio é D = R, obviamente simétrico. Verificamos que</p><p>Logo, pela segunda parte da definição 4.4.4, f é uma função ímpar.</p><p>Exemplo 4.4.8 A função f(x) = 1 − x³, de domínio D = R, não é par ou ímpar. Considerando x = 1,</p><p>pertencente ao domínio D , temos:</p><p>f(x) = f(1) = 1 − 1³ = 0, f(−x) = f(−1) = 1 − (−1)³ = 2.</p><p>Neste caso, nota-se que f(−x) ≠ f(x) e f(−x) ≠ −f(x).</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>10</p><p>1 (Propriedades de funções Pares e ímpares) As funções simétricas (par ou ímpar) têm as</p><p>seguintes propriedades:</p><p>A soma de funções pares é uma função par.</p><p>A soma de funções ímpares é uma função ímpar.</p><p>O produto de funções pares é uma função ímpar.</p><p>O produto de duas funções ímpares é uma função par.</p><p>O produto de uma função par por uma função ímpar, é uma função ímpar.</p><p>4.4.2 Função Periódica</p><p>Definição 4.4.5 (Função periódica) Diz-se que uma função f(x) é periódica, se existir um número</p><p>real T tal que</p><p>f(x) = f(x + T).</p><p>Neste caso, T é o período e f é chamada de função T−periódica.</p><p>Exemplo 4.4.9 As funções f(x) = B sin (Ax) e g(x) = B cos (Ax) são periódicas de período T</p><p>Em aprticular, as funções f(x) = sin x e g(x) = cos x são 2π−periódicas.</p><p>4.5 Funções monótonas</p><p>Definição 4.5.1 (Monotonia de uma função) Seja f uma função real de variável real. Diremos que:</p><p>f(x) é crescente se x , x ϵ D , x ≤ x ⇒ f(x ) ≤ f(x ).</p><p>f(x) é estritamente crescente se x , x ϵ D , x , f(x ).</p><p>A</p><p>1 2 2 1 2</p><p>1 2 1 2 21</p><p>A</p><p>f</p><p>f</p><p>A</p><p>1 2 1 2f 1 2</p><p>A</p><p>1 2 1 2 1 2</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>11</p><p>Exemplo 4.5.1 Sejam as funções f(x) = 1 − 3x, com domínio D = R e g(x) = x², com domínio</p><p>Dg =]0, +∞[.</p><p>Mostremos que a função f(x) = 1 − 3x é decrescente.</p><p>De facto, x1, x2 ϵ R tal que x1 ≤ x2 tem-se:</p><p>(1 − 3x ) − (1 − 3x ) = 1 − 3x − 1 + 3x = 3(x − x )</p><p>Como x ≤ x , então x − x ≥ 0 ⇒ 3(x − x ) ≥ 0. Isto significa f(x ) ≥ f(x )</p><p>Mostremos que g(x) = x² é crescente no domínio Dg. Esta função é crescente no seu domínio x ≥ 0. De</p><p>facto,</p><p>uma vez que para x1 ≤ x .</p><p>4.6 Composição de funções</p><p>Definição 4.6.1 (Composição de funções) Dadas as funções f(x) e g(x), a função</p><p>(f ◦ g)(x) = f [g(x)]</p><p>denomina-se por função composta de f com g (ou f após g). O domínio de f ◦ g é constituído pelos</p><p>valores x ϵ Dg tais que g(x) ϵ D , isto é,</p><p>D = {x ϵ R: x ϵ D ∧ (x) ϵ Df } .</p><p>f</p><p>A</p><p>1 2 1 2 2 1</p><p>1 2 2 1 12 1 2</p><p>2</p><p>f</p><p>f◦g g g</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>12</p><p>Exemplo 4.6.1 Consideremos as funções f(x) = 2x − 5 e g(x) = x² + 2, então:</p><p>Vêm-se assim que a operação de composição não é comutativa pois não se verifica a igualdade entre</p><p>(f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x).</p><p>4.7 Função inversa</p><p>Definição 4.7.1 ((Função Inversa).) Seja f : A → B uma função injectiva. A invervsa da função f(x)</p><p>é a função f ¹: B → A tal que</p><p>• f (f(x)) = x para todo x ϵ A e</p><p>• f ( f (y)) = y para todo y ϵ B1̄</p><p>Método para determinar a inversa</p><p>Passo 1: Escreva a equação y = f(x) que define a função f;</p><p>Passo 2: Resolva a equação do passo 1 em função de x para obter x = f (y);</p><p>Passo 3: Troque x por y e escreva y = f (x).</p><p>1̄</p><p>1̄</p><p>Exemplo 4.7.1 Determine a inversa da função f(x) = e .</p><p>Resolução: A função f é injectiva (verifique!), então ela possui inversa. Agora, seja y = f(x), portanto</p><p>Trocando x por y temos a função inversa f (x) = ln x.</p><p>Exemplo 4.7.2 Determine a inversa da função</p><p>x</p><p>1̄</p><p>1̄</p><p>1̄̄1</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>13</p><p>Resolução; Seja y = f(x), então teremos</p><p>Trocando x por y tem-se</p><p>4.8 Funções elementares</p><p>4.8.1 - Funções lineares</p><p>Definição 4.8.1 (Função linear) Chama-se função linear ou função do primeiro grau a uma</p><p>incógnita x, a toda função da forma y = ax + b, onde a, b ϵ R e a ≠ 0.</p><p>O gráfico de uma função linear é uma recta não paralela aos eixos x e y. O ponto b (de abcissa 0,</p><p>ponto onde a recta corta o eixo das ordenadas) chama-se ordenada na origem.</p><p>1̄</p><p>• Domínio: R • Domínio: R</p><p>• Contradomínio: R • Contradomínio: R</p><p>Exemplo 4.8.1 Exemplos de função linear</p><p>Exemplo 4.8.2 Constrói o gráfico da função y = 3x − 6</p><p>Resolução: O gráfico da função y = 3x − 6 é uma recta. Logo, precisamos de dois pontos distintos</p><p>para determiná-la. Para isso, atribuímos a x dois valores reais, distintos, quaisquer e calculamos a</p><p>imagem y de cada um deles:</p><p>Assim, o gráfico da função y = 3x − 6 é:</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>14</p><p>Definição 4.8.2 (Ordenada na origem e declive de uma recta) Seja f(x) = ax + b, a função linear</p><p>cujo gráfico é</p><p>• m = tan α chama-se declive ou coeficiente angular da recta. O declive de uma</p><p>recta mede a ’sua inclinação.</p><p>∆y</p><p>∆x =</p><p>y2 - y1</p><p>x2 - x1</p><p>=</p><p>4.8.2 Funções polinomiais</p><p>Definição 4.8.3 (Função polinomial) Uma função diz-se polinomial sse for definida em R por uma</p><p>expressão do tipo:</p><p>f(x) = a + a x + a x² + · · · + a −1x + a x</p><p>onde n ϵ N e a , a1, · · · , a ϵ R.</p><p>No caso particular em que f(x) = a , f diz-se uma função constante.</p><p>• Domínio: R</p><p>• Contradomínio: R</p><p>0 1 2 n n</p><p>nn-1</p><p>0 n</p><p>0</p><p>4.8.3 Funções potências</p><p>Definição 4.8.4 (Função potência) Uma função potência é uma função da forma f(x) = x , onde n</p><p>≠ 0 é uma constante real.</p><p>O comportamento das funções potências depende do valor de n:</p><p>n</p><p>n Domínio Contradomínio</p><p>Inteiro positivo ímpar R R</p><p>Inteiro positivo par R [0, +∞[</p><p>Inteiro negativo ímpar R* R*</p><p>Inteiro negativo par R* R+</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>15</p><p>Vejamos alguns gráficos de funções potências para diferentes casos:</p><p>Exemplo 4.8.3 a) Quando n é um número inteiro positivo: f(x) = x</p><p>b) Quando n é inteiro negativo: f(x) = x</p><p>c) Quando n é um número fraccionário: f(x) = x</p><p>D) Funções racionais</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>Definição 4.8.5 (Função racional) Uma função diz-se racional sse for definida pelo quociente de</p><p>duas funções polinomiais.</p><p>onde N(x) e D(x) são polinómios.</p><p>f(x)=</p><p>N(x)</p><p>N(x)</p><p>Exemplo 4.8.4 As seguintes funções são racionais</p><p>E) Funções algébricas</p><p>Definição 4.8.6 (Função algébrica) Uma função algébrica é uma função que resulta de somas,</p><p>diferenças, produtos, quocientes ou raízes de funções polinomiais.</p><p>Uma função que não é algébrica, diz-se transcendente.</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>16</p><p>Exemplo 4.8.5 a) Exemplos de funções algébricas: =</p><p>b) Exemplos de funções transcendentes:</p><p>F) Funções trigonométicas</p><p>Definição 4.8.7 (Função seno) Chamamos de função seno a função f(x) =sin x, cujo domínio é</p><p>D = R e a imagem é Im(f)</p><p>= [−1, 1].f</p><p>Definição 4.8.8 (Função cosseno) Chamamos de função seno a função f(x) =cos x, cujo domínio é</p><p>D = R e a imagem é Im(f) = [−1, 1].f</p><p>Definição 4.8.9 (Função Tangente) Chamamos de função tangente a função f(x) = tan x =</p><p>cujo domínio é D = {xϵ R : cos x ≠ 0} e a imagem é Im(f) = R.</p><p>sin x</p><p>cos x</p><p>___</p><p>f</p><p>Definição 4.8.10 (Função Cotangente) Chamamos de função tangente a função f(x) = cot x =</p><p>cujo domínio é D = {xϵ R : sin x ≠ 0} e a imagem é Im(f) = R.</p><p>cos x</p><p>sin x</p><p>___</p><p>f</p><p>Definição 4.8.11 (Função Secante) Uma função secante é uma função definida por f(x) = sec x</p><p>= cujo domínio é D = {x ϵ R : cos x ≠ 0} e a imagem é Im(f) = R\] − 1, 1[.</p><p>1</p><p>cos x</p><p>___</p><p>f</p><p>Definição 4.8.12 (Função Cossecante) Uma função cossecante é uma função</p><p>definida por f(x) = x = cujo domínio é D = {x ϵ R : cos x ≠ 0} e a imagem é Im(f) = R\] − 1, 1[.</p><p>1</p><p>sin x</p><p>___</p><p>f</p><p>Unidade de Estudo 4 - Matemática Geral</p><p>17</p><p>G) Funções exponenciais</p><p>Definição 4.8.13 (Função Exponencial) Chama-se função exponencial toda</p><p>função f : R → R*+ tal que f(x) = a , onde a é uma constante real positiva e diferente de 1.</p><p>Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente, de acordo com os valores de a:</p><p>a) Se a > 1 então f(x) = a é uma função crescente.</p><p>b) Se 0 1 então f(x) = log x é uma função crescente.</p><p>b) Se 0</p>