Series Numericas

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<p>DIVISAO DE ENGENHARIA</p><p>CURSO DE ENGENHARIA DE PROCESSAMENTO MINERAL</p><p>Matemática 2</p><p>SERIES NUMERICAS E DE FUNÇÕES</p><p>Descentes:</p><p> Edison Junior</p><p> Antônio Mário</p><p> Claudio Benny</p><p> Cosme Romão</p><p>INDICE</p><p>CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO ............................................................................................. 5</p><p>1.1 Objectivos ........................................................................................................................ 6</p><p>1.1.2 Objectivo geral ............................................................................................................... 6</p><p>1.1.3 Objetivos Específicos ..................................................................................................... 6</p><p>CAPITULO II: REVISÃO DA LITERATURA .................................................................... 7</p><p>2.1 Series Numéricas............................................................................................................... 7</p><p>2.1.2 Series Convergêntes e Divergêntes ........................................................................... 7</p><p>2.1.3 Séries Alternadas ...................................................................................................... 10</p><p>2.3 Series de Funções ............................................................................................................ 10</p><p>2.2.1 Convergência de série de funções ............................................................................ 10</p><p>2.4 Exercicios propostos ........................................................................................................... 11</p><p>CAPÍTULO III: CONCLUSÃO ........................................................................................... 13</p><p>Referências Bibliograficas ........................................................................................................ 14</p><p>CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO</p><p>A matemática, muitas vezes chamada de linguagem do universo, apresenta-nos um vasto reino</p><p>de conceitos intrigantes, desafios e beleza intrínseca. Entre esses, destacam-se as séries</p><p>numéricas e de funções, fundamentais na análise matemática e essenciais para compreender</p><p>fenômenos complexos em diversas áreas do conhecimento.</p><p>As séries numéricas, somas infinitas de termos, convidam-nos a explorar a convergência e a</p><p>divergência de somas que, à primeira vista, parecem desafiar nossa compreensão finita. Esses</p><p>intricados padrões numéricos desvendam segredos sobre a natureza infinita dos números,</p><p>proporcionando insights valiosos em análises detalhadas.</p><p>Além disso, as séries de funções expandem esse fascínio ao somar não apenas números, mas</p><p>funções, transformando infinitude em expressões analíticas. Esse conceito, com aplicações em</p><p>física, engenharia e ciência da computação, oferece uma ferramenta poderosa para modelar</p><p>fenômenos complexos que permeiam nosso mundo.</p><p>1.1 Objectivos</p><p>1.1.2 Objectivo geral</p><p>O objetivo geral deste trabalho é explorar a teoria e as aplicações das séries numéricas e de</p><p>funções, destacando sua importância na análise matemática e investigando as implicações</p><p>práticas desses conceitos em diferentes contextos científicos e tecnológicos.</p><p>1.1.3 Objetivos Específicos</p><p> Compreender a Teoria das Séries Numéricas</p><p> Analisar Séries de Funções:</p><p> Aplicar Séries em Contextos Práticos:</p><p> Estudar Métodos de Convergência:</p><p>CAPITULO II: REVISÃO DA LITERATURA</p><p>2.1 Series Numéricas</p><p>Séries numéricas são somas infinitas de termos de uma sequência. Elas são fundamentais na</p><p>análise matemática e desempenham um papel crucial na compreensão de fenômenos contínuos.</p><p>Uma série numérica é frequentemente representada como:</p><p>S = a1 + a2 + a3 + …</p><p>Onde a1, a2, a3 … são os termos da sequência</p><p>2.1.2 Series Convergêntes e Divergêntes</p><p>Series Convergêntes</p><p>Uma série é dita convergente se a soma dos termos se aproxima de um valor finito à medida</p><p>que se adicionam mais termos.</p><p>A série ∑ 𝑎𝑛 dez-se convergente se existir e for finito o limite.</p><p>lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑆𝑛 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>∑ 𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Series Divergêntes</p><p>Uma série é dita divergente se a soma dos termos se aproxima de infinito à medida que se</p><p>adicionam mais termos.</p><p>No caso de convergˆencia chama-se soma da s´erie ao valor, S, do limite, isto ´e</p><p>lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑆𝑛 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>∑ 𝑎𝑛</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Exemplos:</p><p>Sn = ∑ 𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>= ∑ 𝑎1𝑟𝑖−1 = 𝑎1.</p><p>1 − 𝑟𝑛</p><p>1 − 𝑟</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>∑ 𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>=</p><p>𝑎1</p><p>1 − 𝑟</p><p>Se r = 1 a serie e uma serie de termo geral constante, isto é</p><p>∑ 𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>= ∑ 𝑎1</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Tendo, assim Sn = na1 e, se a1 ≠ 0, 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.</p><p>2.1.2.1 Exercicios resolvidos</p><p>1) Consideremos a serie ∑</p><p>1</p><p>√𝑥</p><p>∞</p><p>𝑛=1 , contruamos a sucessão das suas somas parciais e</p><p>estudemos o seu limete</p><p>S1 = 1</p><p>S2 = 1 +</p><p>1</p><p>√2</p><p>S3 = 1 +</p><p>1</p><p>√2</p><p>+</p><p>1</p><p>√3</p><p>Sn = 1 +</p><p>1</p><p>√2</p><p>+</p><p>1</p><p>√3</p><p>+ …+</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>Como:</p><p>1 +</p><p>1</p><p>√2</p><p>+</p><p>1</p><p>√3</p><p>+ …+</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>≥</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>+</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>+</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>+…+</p><p>1</p><p>√𝑛</p><p>=</p><p>𝑛</p><p>√𝑛</p><p>= √𝑛</p><p>e lim</p><p>𝑛→∞</p><p>√𝑛 = +∞, a sucess˜ao Sn tem limite +∞ e a s´erie em estudo ´e divergente</p><p>2) Consideremos a série ∑</p><p>1</p><p>𝑛(𝑛+1)</p><p>∞</p><p>𝑛=1 . sabemos que</p><p>1</p><p>𝑛(𝑛+1)</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛+1</p><p>, Podemos escrever a</p><p>sucessão das somas parciais.</p><p>S1 = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>S2 = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>3</p><p>= 1 −</p><p>1</p><p>3</p><p>S3 = 1 −</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>= 1 −</p><p>1</p><p>4</p><p>Sn = 1 −</p><p>1</p><p>n + 1</p><p>Como lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑆𝑛 = 1, a serie e conergente e a sua soma e 1</p><p>3𝑎)𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑</p><p>1</p><p>𝑛(𝑛 + 3)(𝑛 + 6)</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑛(𝑛 + 3)(𝑛 + 6)</p><p>=</p><p>1</p><p>18</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 3</p><p>)</p><p>−</p><p>1</p><p>8</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑛 + 3</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 6</p><p>). 𝐴 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ (</p><p>1</p><p>𝑛 + 3</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 6</p><p>) 𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>𝑒 𝑘</p><p>= 3. 𝑐𝑜𝑚 lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑎𝑛 = 0 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑒 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>11</p><p>6</p><p>∑ (</p><p>1</p><p>𝑛 + 3</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 6</p><p>) 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛 =</p><p>1</p><p>𝑛 + 3</p><p>𝑒 𝑘</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>= 3. 𝐶𝑜𝑚𝑜 lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑎𝑛 = 0 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑒</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>=</p><p>37</p><p>60</p><p>2.1.3 Séries Alternadas</p><p>uma série é chamada de alternada se os termos positivos e negativos se alternam.</p><p>Supondo que o primeiro termo da serie e positivo podemos escreve-la na forma</p><p>∑(−1)𝑛−1𝑎𝑛 𝑎𝑛 > 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Teorema (Criteria de Leibnitz)</p><p>Se 𝑎𝑛 e uma sucessao decrescente de termos positivos e lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑎𝑛 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒</p><p>∑(−1)𝑛−1𝑎𝑛, 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Demonstração:</p><p>𝒔𝒏 = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 − ⋯ + (−𝟏)𝒏−𝟏</p><p>Vamos estudar as subsucessoes de indeces pares e de indeces impares. Seja k ∈ 𝑛</p><p>𝒔𝟐𝒌 = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒌−𝟏 − 𝒂𝟐𝒌</p><p>𝒔𝟐𝒌+𝟏 = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒌−𝟏 − 𝒂𝟐𝒌 + 𝒂𝟐𝒌+𝟏</p><p>2.3 Series de Funções</p><p>Chama-se série de funções a toda série na qual o termo geral é uma função duma variável x</p><p>𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) + 𝑓3(𝑥) + · · · + 𝑓𝑛(𝑥) + · · · = ∑ 𝑓𝑛(𝑥)</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Atribuindo a x diferentes valores numéricos obtemos diferentes séries numéricas as quais</p><p>podem tanto convergir assim como divergir</p><p>2.2.1 Convergência de série de funções</p><p>Diz se a serie</p><p>∑ 𝑓𝑛(𝑥)</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎</p><p>∈ 𝑋 𝑠𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎 ∑ 𝑓𝑛(𝑥)</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>𝑓𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠</p><p>Pontos D c X podemos definr uma função .</p><p>Exemplo: Estude a convergencia da serie:</p><p>∑</p><p>𝑥2</p><p>(1 + 𝑥2)𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>= 𝑥2 ∑</p><p>1</p><p>(1 + 𝑥2)𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>= 𝑥2 ∑(</p><p>1</p><p>1 + 𝑥2</p><p>)𝑛 𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧𝑎𝑜 𝑟</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>=</p><p>1</p><p>1 + 𝑥2</p><p>;</p><p>𝑐𝑜𝑚𝑜 |𝑟|</p>